函数的单调性与极值教案 人教版

函数的单调性与极值教案人教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修一第五章“函数的单调性与极值”。本章节主要内容包括函数单调性的定义、判断方法及其应用，以及函数极值的概念、判定和应用。具体内容如下：

1.函数单调性的定义与判断方法：利用导数的概念，引导学生理解函数单调递增和单调递减的定义，并通过实例讲解如何判断函数的单调性。

2.函数的极值：介绍极值的概念，引导学生掌握求函数极值的方法，并通过实例分析如何应用极值解决实际问题。

3.单调性与极值的应用：通过具体例子，让学生了解单调性和极值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。

4.课堂练习：布置具有代表性的练习题，巩固学生对函数单调性和极值的理解，提高解题能力。

5.课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固本节课所学内容，提高自主学习能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑推理、数学建模、直观想象和数据分析的核心素养。具体分析如下：

1.逻辑推理：通过学习函数单调性和极值的概念，培养学生从具体实例中归纳总结规律，提高学生逻辑推理能力。

2.数学建模：引导学生运用函数单调性和极值解决实际问题，培养学生建立数学模型的能力，提高解决实际问题的能力。

3.直观想象：通过图形和实例，让学生直观地理解函数单调性和极值的概念，提高学生的直观想象能力。

4.数据分析：教会学生如何利用函数单调性和极值分析数据，提高学生数据分析的能力。

5.数学运算：在学习函数单调性和极值的过程中，引导学生运用数学运算方法，提高学生的数学运算能力。

6.数学抽象：通过学习函数单调性和极值的概念，培养学生从具体事物中抽象出数学模型的能力，提高数学抽象水平。教学难点与重点1.教学重点：

（1）函数单调性的定义与判断方法：理解函数单调递增和单调递减的概念，掌握利用导数判断函数单调性的方法。

（2）函数的极值：掌握极值的概念，学会求函数极值的方法，并能够应用极值解决实际问题。

（3）单调性与极值的应用：通过具体例子，理解单调性和极值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。

（4）数学建模：能够运用函数单调性和极值建立数学模型，解决实际问题。

2.教学难点：

（1）函数单调性的判断：理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，能够熟练运用到实际问题中。

（2）函数极值的求解：掌握求函数极值的方法，能够正确求解复杂函数的极值。

（3）单调性与极值在实际问题中的应用：如何将单调性和极值的概念应用到实际问题中，解决实际问题。

（4）数学建模：如何从实际问题中抽象出数学模型，运用函数单调性和极值进行分析。

举例说明：

（1）教学重点举例：在学习函数单调性时，可以通过绘制函数图像，让学生直观地理解单调递增和单调递减的概念。在判断函数单调性时，可以引导学生利用导数的正负来判断函数的单调性。

（2）教学难点举例：在求解函数极值时，可以引导学生运用导数的方法，找到函数的临界点，进而确定极值。在解决实际问题时，可以引导学生将问题抽象成数学模型，运用函数单调性和极值进行分析。教学资源1.软硬件资源：

-教室内的投影仪和屏幕，用于展示函数图像和实例分析。

-计算机和投影仪，用于演示函数单调性和极值的求解过程。

-白板和粉笔，用于板书重要概念和方法。

2.课程平台：

-学校的学习管理系统（LMS），用于发布课程资料、作业和测试。

-数学教学平台，用于提供相关的教学资源和练习题。

3.信息化资源：

-数学软件，如MATLAB或GeoGebra，用于函数图像的绘制和分析。

-在线数学教育资源，如教育网站和数学论坛，用于提供额外的学习材料和实践问题。

4.教学手段：

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进合作学习和思想交流。

-实例分析：通过具体的实例分析，让学生理解和应用函数单调性和极值的概念。

-练习题：提供具有代表性的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

-反馈与评价：通过学生的提问和作业反馈，及时了解学生的学习情况，并进行针对性的指导。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“函数的单调性与极值”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数的单调性与极值的知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解“函数的单调性与极值”课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“函数的单调性与极值”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解函数的单调性与极值的概念、判断方法及其应用，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握函数的单调性与极值的判断方法。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验函数的单调性与极值的判断方法。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解函数的单调性与极值的概念。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握函数的单调性与极值的判断方法。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解函数的单调性与极值的概念，掌握函数的单调性与极值的判断方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据“函数的单调性与极值”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与“函数的单调性与极值”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的函数的单调性与极值的知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课主要涉及以下知识点：

1.函数单调性的定义与判断方法：

-函数单调递增：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)在区间[x1,x2]上单调递增。

-函数单调递减：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在区间[x1,x2]上单调递减。

-利用导数判断函数单调性：如果函数f(x)在某个区间内可导，且导数f'(x)在该区间内大于0，则f(x)在该区间内单调递增；如果导数f'(x)小于0，则f(x)在该区间内单调递减。

2.函数的极值：

-极值的定义：函数在某一点的左导数和右导数都存在且相等，该点称为函数的极值点。

-极值的分类：

-极大值：在函数定义域内，如果对于任意x不在该点左侧有f(x)≤f(极值点)，则该点为极大值点。

-极小值：在函数定义域内，如果对于任意x不在该点右侧有f(x)≥f(极值点)，则该点为极小值点。

-求函数极值的方法：

-解析法：对于可导函数，求出导数为0的点，再判断这些点的极值性质。

-图像法：绘制函数图像，通过观察图像来确定极值点。

-区间判断法：对于连续函数，通过判断函数在不同区间上的单调性来确定极值点。

3.单调性与极值的应用：

-最优化问题：利用函数的单调性和极值来求解最值问题，如最大利润、最小成本等。

-经济问题：在经济学中，函数的单调性和极值可以帮助分析市场变化、成本收益等问题。

-物理学中的应用：在物理学中，函数的单调性和极值可以用来分析物体运动的最快和最远等问题。

4.数学建模：

-从实际问题中抽象出数学模型：通过分析实际问题，将其抽象为函数的形式，进而运用函数的单调性和极值进行分析。

-建立数学模型：利用函数的单调性和极值来建立数学模型，如最优化问题、经济问题等。

-求解数学模型：通过求解函数的单调性和极值来求解数学模型，得到问题的解决方案。板书设计七、板书设计

一、函数单调性的定义与判断方法

1.单调递增：f(x1)≤f(x2)

2.单调递减：f(x1)≥f(x2)

3.利用导数判断单调性：f'(x)>0->单调递增；f'(x)<0->单调递减

二、函数的极值

1.极值的定义：左导数=右导数

2.极值的分类：

-极大值：f(x1)≤f(极值点)

-极小值：f(x1)≥f(极值点)

3.求极值的方法：

-解析法：导数为0的点

-图像法：函数图像

-区间判断法：连续函数的单调性

三、单调性与极值的应用

1.最优化问题

2.经济问题

3.物理学中的应用

四、数学建模

1.抽象问题为函数形式

2.建立数学模型

3.求解数学模型

```课堂1.提问评价：

-在讲解函数单调性时，可以通过提问的方式检查学生对单调递增和单调递减概念的理解。

-在讲解函数极值时，可以通过提问的方式检查学生对极值定义和分类的理解。

-在讲解单调性与极值的应用时，可以通过提问的方式检查学生对最优化问题、经济问题和物理学中应用的理解。

2.观察评价：

-在课堂讨论和小组活动中，观察学生的参与情况和理解程度，了解学生对函数单调性和极值概念的掌握情况。

-在角色扮演和实验活动中，观察学生的操作情况和解决问题的能力，了解学生对单调性与极值应用的掌握情况。

3.测试评价：

-在课堂结束时，可以设计一些针对性的测试题，检查学生对函数单调性和极值概念的理解程度。

-可以设计一些应用题，检查学生对单调性与极值应用的掌握程度。

作业评价：

1.批改作业：

-对学生提交的作业进行认真批改，检查学生对函数单调性和极值概念的理解程度。

-对学生提交的作业进行评价，指出学生存在的问题并提供改进的建议。

2.点评作业：

-在课堂上对学生的作业进行点评，表扬学生的优秀表现，鼓励学生继续努力。

-对学生的作业进行反馈，指出学生存在的问题并提供改进的建议。

3.鼓励学生：

-鼓励学生在作业中提出问题，帮助学生解决疑惑。

-鼓励学生在作业中提出自己的想法，培养学生的创新思维。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：推荐学生阅读与函数单调性和极值相关的数学书籍或学术论文，如《数学分析》、《高等数学》等。

-视频资源：推荐学生观看与函数单调性和极值相关的教学视频，如教育平台上的数学教学视频、数学讲座等。

-网络资源：推荐学生访问与函数单调性和极值相关的数学网站，如数学论坛、数学博客等。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，通过阅读材料、观看视频资源、访问网络资源等方式，进一步理解函数单调性和极值的