专题2.11 有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（解析版）

专题2.11有理数的运算（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的加法1、加法法则：(1)同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，绝对值相等时何为0，绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)一个数同0相加，仍得这个数。2、运算律：交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+（b+c）【知识点二】有理数的减法减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。特别注意：将减法转化成加法时，注意两变：一是减号变加号，二是减数变为其相反数。【知识点三】有理数的乘法1、有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0。特别注意：（1）如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1；（2）※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。2、有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积；乘积为1的两个有理数互为倒数。特别注意：①零没有倒数；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。带分数要先化成假分数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。【知识点四】有理数的除法有理数除法法则：①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。指数底数指数底数幂特别注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。【知识点六】有理数混合运算法则：法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。②如果有括号,先算括号里面的。第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的加减运算【例1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)2(2)【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数加减运算中的简便运算、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．（1）根据有理数加减运算法则求解即可；（2）根据加法运算律将原式整理为，然后求解即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知有理数在数轴上的对应点如图，请化简，下列结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的运算，数轴与绝对值，先根据数轴判断出、、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号后进行计算即可求解，由是解题的关键．解：由数轴可得，，，∴，，，∴原式，，故选：．【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简等知识，原式利用绝对值的意义进行化简化简，再进行加减计算即可得到结果．解：．故答案为：【题型2】有理数的乘除运算【例2】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用有理数的乘法分配律和乘法法则计算，再利用有理数的加减法法则计算即可；（2）利用有理数的乘除混合运算顺序和运算法则计算即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘法运算律和运算法则是解题的关键．【变式1】计算：（

）A．1 B．36 C． D．6【答案】B【分析】先把除法运算转化成乘法运算，再根据有理数的乘法法则运算求解即可．解：．故选：B．【点拨】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟悉掌握有理数的乘除运算法则运算是解题的关键．注意符号的处理．【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么．【答案】【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可．解：由题意得：，，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键．【题型3】有理数的加减乘除混合运算【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键．（1）根据有理数乘法运算律进行计算即可；（2）根据有理数乘法运算律进行计算即可．（1）解：；（2）解：．【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列四个选项中，计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据运算法则计算判断即可．解：A.，错误，不符合题意；B.，错误，不符合题意；C.，正确，符合题意；

D.，错误，不符合题意；故选C．【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）点，，在数轴上的位置如图，点表示的数是，点表示的数是3，点是的中点，则点表示的数是．【答案】【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征．由已知条件，根据中点坐标公式计算得到中点表示的数为：．解：点表示的数是，点表示的数是3，线段的中点表示的数为：，故答案为：．【题型4】有理数的乘方及应用【例4】（22-23七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞；(2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞．【答案】(1)16(2)【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；（2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案．解：（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，∴经过2小时后，可分裂成16个细胞；故答案为：16；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞；经过n小时即个30分钟分裂为个细胞；故答案为：．【点拨】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现的末位数字按照，，，循环，用即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键．解：∵，，，，，，，，…，∴，∴的末位数字是，故选：．【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么．【答案】4【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值．解：∵，∴，∴．∵，∴，因此．故答案为：4．【题型5】含乘方的加减乘除混合运算【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．（1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题．（2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．（1）解：；（2）解：．【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，某公园有一长方形广场，长为米，宽为米，在其两角修建半径均为米的扇形花坛，在广场中心修建一个直径为米的圆形喷泉水池，则该广场的空地面积为（取3）（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列出算式并准确解答是解题的关键，求出长方形的面积，扇形花坛的面积，圆形喷泉水池的面积，即可求出广场空地的面积．解：该广场的空地面积为：，故选：B．【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可．解：故答案为：．【题型6】用简便方法进行有理数运算【例6】（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把改写成，把改写成，然后把除法转化为乘法，再按乘法分配律计算即可；（2）先算乘方，然后把一、四项结合，二、三项结合，逆用乘法分配律计算．（1）解：原式．（2）解：原式．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键．【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）再加上（

）后，结果就是．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案．解：．，故再加上后，结果就是．故选C．【点拨】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键．【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算；【答案】【分析】根据有理数简便运算凑整优先的原则，逐步化简计算即可．解：原式=【点拨】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键．【题型7】有理数加减混合运算的应用【例7】（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减(1)根据记录可知前三天共生产_______辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【答案】(1)599(2)26(3)84675【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据表格中的数据可以解答本题；（2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题；（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题．（1）解：（辆），故答案为：599；（2）（辆），故答案为：26；（3），（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．【变式1】如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（

）A．13 B．10 C．9 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出左边及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键．解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为，∴方格中心位置的空格里面的数为，下面的空格里面的数为，∴的值为，故选：C．【变式2】（23-24七年级上·浙江·期末）某市一天早晨的气温是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，则这天傍晚的气温是．【答案】解：本题主要考查了有理数的加减混合运算，先根据题意，列出算式，再把算式写成省略加号和的形式，进行简便计算即可，解题的关键是理解题意，列出算式．解：：由题意得：，，，，∴这天傍晚的气温是，故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解．解：由题意得，，，则，∴，，，观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0．2、拓展延伸【例1】（2024七年级·全国·竞赛）某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米……(1)小时后他离地多远？(2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由．【答案】(1)小时后，这个人离地米．(2)能到达地，需要分钟．【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键．（1）根据题意，小时共行（米），，当时，，由此得到答案．（2）由，得到他走的总路程是，再由路程、速度、时间的关系，求出答案．（1）解：根据题意得：小时共行（米），又，当时，，（米），答：小时后，这个人离地米．（2），他走的总路程是：，，，（米）（分钟），答：能到达地，需要分钟．【例2】（23-24七年级上·广东汕头·期末）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不