第03讲集合的基本运算（思维导图5知识点8考点过关检测）

第03讲集合的基本运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解全集、补集的含义，能求出集合的补集；2．初步理解两个集合的并集与交集的含义，能够求出两个集合的并集和交集；3．通过解决涉及集合的交集、并集、补集的相关问题，掌握集合的三种语言（自然语言、符号语言和图形语言），并能够运用这些语言解决集合运算的基本问题.知识点1并集1、并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}图形语言2、并集的运算性质性质定义满足交换律任何集合与其本身的并集等于这个集合本身任何集合与空集的并集等于这个集合本身多个集合的并集满足结合律,任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然知识点2交集1、交集的概念自然语言由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}图形语言2、交集的运算性质性质定义满足交换律空集与任何集合的交集都是空集集合与集合本身的交集仍为集合本身多个集合的交集满足结合律多个集合的综合运算满足分配律若，则交集关系与子集关系的转化两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点3全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.符号语言若，则为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.符号语言图形语言3、补集的运算性质性质定义任何集合与其补集的并集为全集任何集合与其补集的交集为空集任何集合补集的补集为集合本身全集的补集为空集，空集的补集为全集知识点4德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：（1）（2）知识点5区间及相关概念1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤考点一：并集的概念与运算例1．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，故选：A【变式11】设集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，.故选：D.【变式12】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以故选：C.【变式13】设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，所以.故选：A.考点二：交集的概念与运算例2.若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，则.故选：D.【变式21】设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，，则.故选：A【变式22】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据集合交集的定义立得.故选：A.【变式23】已知集合或，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为或，所以.故选：A考点三：补集的概念与运算例3.设全集，集合，则=（

）A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D．【答案】A【解析】，，.故选：A.【变式31】设全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，，所以，所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A【变式32】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C.【变式33】已知全集，集合，则（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.考点四：由交、并、补运算求参数例4.已知集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因为，，所以，故.故选：A【变式41】设集合，．若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以，即实数的取值范围是.故选：D【变式42】已知集合，，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由，得，解得且且，故A错；又，若2，则，，满足题意.故B对；若3，则，，不满足题意；故C错若4，则，，不满足题意；故D错；故选：B【变式43】已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，且，故.故选：D.【变式44】设全集，且，若，则m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【解析】由全集，，得，即1，4是方程的两个根，于是，解得，所以m的值等于4.故选：A考点五：交、并、补混合运算例5.已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，可得，所以.故选：B.【变式51】已知全集，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故，所以.故选：D.【变式52】设全集，集合，，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知集合，，故，故=，故选：A【变式53】设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故选：B.考点六：根据集合的混合运算求参数例6.已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，因为，所以，所以，故选：A.【变式61】已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，可得或，因为，则满足.故选：A.【变式62】已知集合.若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由，得到分两种情况考虑：①当，即时，，符合题意；②当，即时，需，解得：，综上得：，则实数的取值范围为.故选：A【变式63】已知，集合，，，则实数（

）A．或 B．或0 C．或0 D．或或0【答案】D【解析】由题可知，，则或，因为，所以当时，，则，符合题意；当时，，由知，或，即或，综上所述，实数为0或1或，故选：D．考点七：Venn图在集合运算的运用例7.设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是.故选：C.【变式71】设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为.故选：C【变式72】如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可选，也不在中，所以阴影部分可表示为.故选：D【变式73】（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】选项A，，则，故A正确；选项B，，则，故B错误；选项C，，，则，故C错误；选项D，，，则，故D正确.故选：AD考点八：集合运算在实际中的应用例8.高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（

）人，只学习必修一的有（

）人.A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9【答案】D【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人，则，解得，即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有（人），故选：D.【变式81】为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（

）A．237 B．297 C．277 D．267【答案】D【解析】画出Venn图.全集表示全校学生，分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生，则表示两项选修课都参与的学生，表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即.由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30，元素的个数为20，则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人，则，故只参与一项活动的学生数为,故选：D.【变式82】学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【答案】B【解析】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，则参加田径运动的同学人数，参加球类运动会的同学人数，两次运动会都参赛的同学人数，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为.故选：B.【变式83】建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中．【答案】【解析】由韦恩图可知：．1．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A2．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，则.故选：A.3．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C．4．已知，且，则的值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【解析】因为，，所以，得到，当时，由，解得或，所以，故，得到，所以，故选：C.5．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C【解析】设对两项运动都喜爱的人数为根据已知作出venn图，根据venn图可得，，解得.故选：C.6．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于集合中的元素，当，时，；当，时，，所以或或，故.故选：B．7．（多选）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】根据图中阴影可知，符合题意，又，∴也符合题意．故选：AC8．（多选）若全集，，，则集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对A，，，故，故A错误；对B，，故，故B正确；对C，，故，故C正确；对D，，故，故D正确.故选：BCD9．已知集合，若，满足条件的集合B有个．【答案】4【解析】根据题意可知：若集合B有一个元素，则，若集合B有两个元素，则或，若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个.10．已知集合，，则