江苏省淮安市金湖中学20192020年高二下学期期中数学试题

金湖中学高二期中考试试题一、单选题1.复数2i的实部为（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的概念，的实部为.故选：D【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.2.等于（）A.8 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据排列数、组合数的公式求解.【详解】因为.故选：B【点睛】本题考查排列数、组合数的公式计算，考查求解运算能力，属于基础题.3.的展开式中，的系数为（）A.4 B.12 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，写出展开式中的系数，即可求解.【详解】因为的展开式中通项公式为，令，所以的系数为.故选：D.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，属于基础题.4.函数的单调递减区间为（）A. B.（0，1） C.（1，1） D.【答案】C【解析】【分析】求出，令，解出的范围，即为函数相应的单调递减区间.【详解】，令，解得.所以函数单调递减区间为.故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5.设函数的导函数为，且，则.A.0 B.4 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】可先求函数的导数，先令求出，再令即可求解【详解】由，令得，解得，则，故选B【点睛】本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题6.某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为图1A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】可把最短路程归结为6步中有2个横步的不同走法的总数即可.【详解】从到共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，故最短路程的不同走法数为，故选C．【点睛】本题考查组合数的应用，注意利用对应关系把实际问题转化为组合问题（如本题中的走法与横步和竖步的组合的对应），此类问题属于基础题.7.已知，则的值为（）A.32 B.1 C.81 D.64【答案】A【解析】【分析】根据所求与已知关系，令，即可求得答案.【详解】，令，即可得.故选：A【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.8.已知不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式恒成立，转化成求新函数的最小值大于，即可求解.【详解】令，则，，故可知在上，在上，在上又不等式恒成立，.故选：B【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，导数与最值的关系，考查理解辨析能力与运算求解能力.二、多选题9.已知复数z满足，若，则的值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则及复数模的计算公式，即可求解.【详解】，，，故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算法则，复数模的计算公式，考查运算求解能力及方程思想，属于基础题.10.若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论【详解】解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题11.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为．若，，则的值可以是（）A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【答案】C【解析】【分析】根据已知中和对模同余的定义,结合二项式定理,我们可以求出的值,结合，比照四个答案中的数字，即可求解.【详解】，又被除得的余数为，同理被除得的余数也要为，观察四个选项，可知选C.故选：C【点睛】本题考查的知识点是同余定理,其中正确理解和对模同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理求出的值,也很关键.12.已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.【详解】解：，令，又，，且，令，则，再令，在上单调递增又，在上，；在上，，则上，；在上，，且当时，；当时，，或或所以结合选项，可知答案选B.故选：B【点睛】本题考查函数的导数与极值、最值的应用，考查转化思想，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.三、填空题13.在二项式的展开式中，常数项是_______．【答案】【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，即可求解.【详解】因为二项式的展开式的通项公式为：，令，所以常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，属于基础题.14.函数（其中e=2.718…是自然对数的底数）的极值点是_____，极小值=______．【答案】①.与②.【解析】【分析】先求的导函数，令，求出导函数的零点，判断零点左右两边的导函数值的正负情况，即可对本题求解.【详解】令，解得或，且由函数性质知：在，上，在上，故函数的极值点为：与；极小值为.故答案为：与；【点睛】本题考查函数导数与极值的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.15.江苏省金湖中学高二数学组有6名男老师，4名女老师，为抗击新冠肺炎，加强师生卫生防护，高二数学组老师主动参加志愿者活动，从中选择3名男老师，2名女老师，且既是男老师又是组长的王锋老师必须参加，则不同的选派方案共有______种．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据特殊元素优先安排，先选出既是男老师又是组长的王锋老师，再分两步，选出剩下的参加的男老师、女老师，即可求解.【详解】根据题意，不同的选派方案共有种.点睛】本题考查分步乘法计数原理与组合，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.16.已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据函数的零点与方程根的关系，令，则可得，结合所求令，则函数有四个不同的零点，等价于关于的方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由数形结合的知识，即可求解.【详解】解：由题意令，，令，则所以函数有四个不同的零点，等价于关于的方程，即方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由上，；上，，，且当时，；当时，，所以由数形结合可知：，故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，函数的导数与单调性、极值与最值的综合应用，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.四、解答题17.若复数，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限【答案】(1)或：(2)；(3).【解析】【分析】(1)是实数，根据虚部为，列方程即可求解；(2)是纯虚数，根据实部为，虚部不为，列方程组即可求解；(3)对应的点在第二象限，根据实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解.【详解】解：由题意：(1)或，当或时，是实数.(2)，当时，是纯虚数.(3)当时，对应的点在第二象限.【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.18.一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由题意可以分类，红球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案.(2)从中任取个球，使总分不少于6分情况有：红球个和白球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案.【详解】解:(1)从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.当取红球个时，取法有种；当取红球个和白球个时，.取法有种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.(2)使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.第一种，红球个和白球个，取法有种;第二种，红球个和白球个，取法有种,根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.【点睛】本题考查计算原理，组合及组合数公式，考查理解辨析能力与运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题.19.同学们刚刚结束了史上最长寒假，经高二各班数学老师了解，同学们每天沉迷于学习中不能自拔，每天认真完成作业，作业正确率很高，为同学们点赞!某个周日一位同学正在三河滩锻炼身体，突然接到级部通知回家开网络学生会，从三河滩某处A到对岸公路BC的距离AB为2km，B处与家C间的距离为4km，从A到C，必须先步行到BC上的某一点D，步行速度为5km/h，再乘电动车到C，电动车车速为10km/h，记（1）试将由A到C所用的时间t表示为的函数；（2）间为多少时，由A到C所用的时间t最少?【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)用分别表示出与，从而可以表示出，由路程除以速度等于时间，即可将到所用的时间表示为的函数；(2)求出，由函数与导数的关系，即可求解.【详解】解：(1)根据题意，作出示意图如下：在中，，，，，(2)由(1)及题意：，当时，；当时，，当时，由到所用的时间最少.【点睛】本题考查解三角形的实际应用、函数的导数与最值，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.20.设展开式中仅有第1011项的二项式系数最大．（1）求n；（2）求；（3）求【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)根据二项展开式的项数与指数的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开式中总共有多少项，从而可以求出指数的值；(2)根据(1)式求得的值，观察所求与的特点，令，即可求得所需要的结果；(3)根据(1)式求得的值，观察所求与的特点，令，求出，再令，即可求得所需要的结果.【详解】(1)根据二项式系数的对称性，；(2)由(1)及题意，令，则；(3)由(1)及题意令，，.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.21.设函数（1）求函数的单调区间；（2）过坐标原点O作曲线的切线，求切点的横坐标．【答案】(1)时，的单调减区间为，无单调增区间；时，的单调减区间为，单调增区间为；(2).【解析】【分析】(1)根据题意先求出，再根据导数与单调性的关系，分与讨论后即可求解；(2)设出切点坐标，根据导数的几何意义，切线的斜率等于导函数在切点处的导数值，也等于切点与原点连线的直线斜率，由此等量关系列方程，即可求解.【详解】解：(1)由题意，，当时，在上，恒成立，当时，令，解得；令，解得.综上所述，可知：当时，的单调减区间为，无单调增区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为.(2),,设切点坐标为，则，所以切点的横坐标为.【点睛】本题考查函数的导数与单调性的应用及导数的几何意义的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.22.已知函数（1）若设是函数的极值点，求函数在上的最大值；（2）设函数在和两处取到极值，求实数k的取值范围．【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)先求出，再根据函数的极值点一定是导函数的零点，列出方程后可求出值，然后