2024年中考数学二次函数压轴题：菱形的存在性问题（学生版+解析）

专题12菱形的存在性问题

一、知识导航

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”

或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABC。是菱形，则其4个点坐标需满足：

xA+xc=xB+xD

《XA-XB)。+(1A-y?。=J(1c—无B，+(《c

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点

(2)1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1:先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=2+ZT(AC、80为对角线)，再结合一组邻边相等，得

到方程组.

思路2:先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，

再确定第4个点.

1.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标(1,1),8点坐标为(5,4),点C在x轴上，点。在平面中，求。点坐标，使

得以A、B、C、。为顶点的四边形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(p,q).

(1)当A5为对角线时，由题意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(机-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)当AC为对角线时，由题意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)当AD为对角线时，由题意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，痴或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C,再

确定。点.

（1）当AB=AC时，

C点坐标为（1+2#,0）,对应。点坐标为（5+2几,3）;

C点坐标为（1-2底0）,对应。点坐标为（5-2瓜3）.

（2）当8A=BC时，

C点坐标为（8,0）,对应。点坐标为（4,-3）;

C点坐标为（2,0）,对应。点坐标为（-2,-3）.

（3）AC=BC时，

C点坐标为。点坐标为11，5）.

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//、、X

船―一1/\八y

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IKi

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C'、、0*X外一;/C/Ocx

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D*'、々

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法.

二、典例精析

如图，抛物线y=尤+c与无轴交于A、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线：y=x2-x-6;

(2)先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形:

①当CA=CM时，

即CM=CA=2-JlO,M点坐标为(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

对应N点坐标为(-2,-2710)(-2,2A/10).

②当AC=AM时，

即A九f=AC=2jiU,M点坐标为(0,6),

对应N点坐标为(2,0).

③当MA=MC时，

勾股定理可求得M点坐标为10,-gj,

对应N点坐标为1-2,-g).

综上，N点坐标为卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下图依次从左到右.

三、中考真题演练

1.（2023•西藏・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线＞=-*+法+0与％轴交于A（-3,0）,以1,0）两点,

（3）如图乙，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在P、。两点使以点A,C,P,。为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出尸、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

4.(2023・湖南・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aY+x+c经过点A(-2,0)和点3(4,0),

且与直线=交于£＞、E两点(点。在点E的右侧)，点M为直线/上的一动点，设点"的横坐标为

(1)求抛物线的解析式.

⑶抛物线与V轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以昆C、M、R为顶点的四边形是菱形，请

求出所有满足条件的点R的坐标.

5.(2023・四川广安・中考真题)如图，二次函数y=/+bx+c的图象交x轴于点AB,交V轴于点C,点、B

的坐标为(L0),对称轴是直线点尸是x轴上一动点，PMLx轴，交直线AC于点以，交抛物线于

(1)求这个二次函数的解析式.

⑶若点P在x轴上运动，则在V轴上是否存在点Q,使以〃、N、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2023•重庆・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*+班+2过点(1,3),且交x轴于点A(TO),

B两点,交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线8C上方抛物线上的一动点，过点尸作PDL3C于点。，过点P作y轴的平行线交直线3C于

点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移6个单位长度，点M为平

移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点M使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写

出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

7.(2023・四川达州•中考真题)如图，抛物线尸疗+反+c过点弱(一1,0),3(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

⑶若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以3C为边，点、B、C、M、N为顶

点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

专题12菱形的存在性问题

一、知识导航

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对甭线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”

或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABC。是菱形，则其4个点坐标需满足：

xA+xc=xB+xD

[g-/丫+(%-%『=-/+(先-%『

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点

(2)1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1:先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=8+。"(AC、8。为对角线)，再结合一组邻边相等，得

到方程组.

思路2:先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，

再确定第4个点.

2.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标(1,1),8点坐标为(5,4),点C在x轴上，点。在平面中，求。点坐标，使

得以A、B、C、。为顶点的四边形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(p,q).

(1)当A5为对角线时，由题意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(机-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)当AC为对角线时，由题意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)当AD为对角线时，由题意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，痴或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C,再

确定。点.

（1）当AB=AC时，

C点坐标为（1+2#,0）,对应。点坐标为（5+2几,3）;

C点坐标为（1-2底0）,对应。点坐标为（5-2瓜3）.

（2）当8A=BC时，

C点坐标为（8,0）,对应。点坐标为（4,-3）;

C点坐标为（2,0）,对应。点坐标为（-2,-3）.

（3）AC=BC时，

C点坐标为。点坐标为11，5）.

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以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法.

二、典例精析

如图，抛物线y=尤+c与无轴交于A、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线：y=x2-x-6;

(2)先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形:

①当CA=CM时，

即CM=CA=2-JlO,M点坐标为(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

对应N点坐标为(-2,-2710)(-2,2A/10).

②当AC=AM时，

即A九f=AC=2jiU,M点坐标为(0,6),

对应N点坐标为(2,0).

③当MA=MC时，

勾股定理可求得M点坐标为10,-gj,

对应N点坐标为1-2,-g).

综上，N点坐标为卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下图依次从左到右.

三、中考真题演练

1.（2023•西藏・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线＞=-*+法+0与％轴交于A（-3,0）,以1,0）两点,

（3）如图乙，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在P、。两点使以点A,C,P,。为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出尸、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

【分析】（1）将A（—3,0）,3（1,0）代入＞=--+法+,,求出6,c,即可得出答案；

（3）抛物线y=-/-2x+3的对称轴为直线x=-l,设P（-lj）,Q（〃/,〃），求出AC'.AP2=r+4,

PC2^t2-6t+10,分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线.

【详解】（1）解：（1）VA（-3,0）,3（1,0）两点在抛物线上，

.fo=-（-3）2-3Z?+c

[0=-l2+Z?+c

仿=-2

解得，.，

，抛物线的解析式为：y=-x2-2%+3；

(3)存在，理由如下：

抛物线、=-犬-2a+3的对称轴为：直线x=-1,

设尸(-1J),Q{m,n),

'：A(-3,0),C(0,3),

则AC2=(—3)2+32=18,

?lP2=(-l+3)2+r2=/2+4,

PC2=(-l)2+(/-3)2=r2-6r+10,

•.•以A、C、P、。为顶点的四边形是菱形，

，分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线,

当以AP为对角线时，则CP=C4,如图1,

图I

“-6/+10=18,

解得：t=3±yfn，

：.^(-1,3-717)(-1,3+A/17)

•.•四边形ACPQ是菱形，

，”与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合,

当耳11,3_a)时，

,机+0-3-1〃+30+3—J17

彳-22

解得：m=-4,n=-\/17,

当弘-L3+&7)时，

(nt+0—3-1〃+30+3+J17

彳-22

解得：m=-4,n=Vl7",

以AC为对角线时，则尸C=AP,如图2,

6/+10=/+4,

解得：/=1,

・・・/?(-口)，

・・•四边形A尸。。是菱形，

・•・AC与尸。互相垂直平分，即AC与CQ中点重合,

.m-1-3+0n+10+3

•・—，—■,

2222

解得：m=-2,n=2,

23(-2,2)；

当以CP为对角线时，则AP=AC,如图3,

图3

产+4=18,

解得：r=±V14，

”-1,砌用-1,_旧，

•••四边形ACQP是菱形，

；•AQ与CP互相垂直平分，即A。与CP的中点重合,

,-3+m_0-1〃+03±^4

••----------,----=-------,

2222

解得：m=2,n=3±V14

.-.e4（2,3+V14）,（25（2,3-714）,

综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（-1，3-Vi7）,0（-4,-a）或4-1,3+拒），Q（-4,JI7）或

P（-M）,Q（-2,2）或尸（-1,亚），e（2,3+5/14）^P（-l,-Vi4）,Q（2,3-旧）

2.（2023.辽宁锦州.中考真题）如图,抛物线y=-岳2+6X+C交x轴于点A（T,0）和一交♦轴于点

顶点为O.

备用图

（1）求抛物线的表达式;

（3）在（2）的条件下，若点歹是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在

点G,使以E,F,G,H为顶点的四边形是菱形，且N£FG=60。，如果存在，请直接写出点G的坐标;

如果不存在，请说明理由.

【详解】（1）解：：抛物线、=一氐2+bx+c经过点人（一I,。），C（0,3A/3）,

-y/3-b+c=06=2白

厂，解得

c=3^3c=3\[3

抛物线的表达式为：y=S+2瓜+3后.

720532

（）解：存在，点的坐标为或

3G3，-9-3，-9-

如下图，连接CG,DG,

,/四边形EFGH是菱形，NEFG=60°,

・・・EF=FG=GH=EG,

•：/EFG=60。,

・•・_EFG是等边三角形.

・・・/FEG=60。，EF=FG,

V£(2,373),C(0,3⑹,D(1,4V3),

:・CE=2,CD=J(4g—3®+12=2,DE=J(46—3南+(2—以=2,点。与点E关于对称轴x=l对

称，

：.CE=CD=DE,DF・CE,

**•ADCE是等边三角形，NEDF=《NCDE,

・•・NCED=NFEG=NCDE=60。,

；.NCED+NCEF=NFEG+NCEF即NDEF=NCEG,ZEDF=30°,

:.ACEG%ADEF.

：.ZECG=ZEDF=30°.

直线CG的表达式为：y=_3+3B

3

1-A拒

与抛物线表达式联立得

y=—\/3x2+2A/3X+3^/5

同理可证：.£FG是等边三角形，△OCE是等边三角形，\DGE^\CFE.

：.DG=CF,

■:CF=FE,GE=FE,

：.DG=GE.

：.ACDG沿ACEG.

：.ZDCG=ZECG=30°.

，直线CG的表达式为：y=*+3G

kA也

与抛物线表达式联立得

丫=-瓜2+2屈+34

点G坐标为

3.（2023•四川雅安・中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=尤2+桁+。过点4（0,2）,对称轴是直线

x=2,

（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点。的坐标为（L-1）,是否存在点R使以点A,D,E,E为顶点的四

边形为菱形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）解：由题意可得：

所以抛物线的函数表达式为y=f-4x+2；

当x=2时，y=22-4x2+2=-2,则顶点M的坐标为（2,-2）.

（3）解：存在点尸，使以点A,D,E,尸为顶点的四边形为菱形

①如图：线段AO作为菱形的边，

当AE为菱形的对角线时，作关于直线x=l的对称线段交x=2于E,连接AE,作点E关于AE的对称点

F,即ADEF为菱形，由对称性可得F的坐标为。,5）,故存在点足使以点A,D,E,尸为顶点的四边形为

菱形，此时尸（L5）.

设E（2,e）,F（x,y）,

x=2+le=2+#e=2-

则＜2+y=e-l解得:x=3或＜x=3

4+（e-2）2=1+9y=-1+#y=—l一在

/.43,-l+指）或*3,-1-指）

②线段AD作为菱形的对角线时,

如图：设E（2,e）

:菱形AEZ"7,

/.他=OE,AD的中点G的坐标为［J,；）,点G是所的中点,

•••7（0-2）2+（2-e）2=J（1一2『+（T_e）2,解得e=l,

设p（"〃）,

m+2_1

m=­l

则有:II，解得:

n+1_1n=0

FF

/.F（-1,O）.

综上，当歹（1,5）或*TO）或*3,-1+而）或网3,-1-n）时，以点A,D,E,尸为顶点的四边形为菱形.

4.（2023・湖南・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aY+x+c经过点A（-2,0）和点3（4,0）,

且与直线/：V=-x-l交于。、E两点（点。在点E的右侧），点M为直线/上的一动点，设点拉的横坐标为

（1）求抛物线的解析式.

（3）抛物线与V轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以氏C、M、R为顶点的四边形是菱形，请

求出所有满足条件的点R的坐标.

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（3）根据题意，分别求得BC,BM2,CM2,①当BC为对角线时，MB=CM,②当BC为边时，分■BM=BC,

BC=MC,根据勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：•••抛物线丫=加+尤+c经过点4(-2,0)和点3(4,0),

.J4Q-2+C=0

[16Q+4+C=0'

解得：,

抛物线解析式为：y=-^x2+x+4；

（3）:抛物线与V轴交于点C,

y=+尤+4,当x=0时，y=4,即C（0,4）,

VB（4,0）,M（/,-r-l）

BC="2+42=40，

BM2=（4-?）2+（-r-l）2=2r-6?+17,C”=〃+«+5）2=2/+I。,+25,

①当BC为对角线时，MB=CM,

2/-6f+17=2/+10t+25

V8C,MR的中点重合,

R——=4

丫2

解得:

②当8C为边时，

当四边形3MRC为菱形，BM=BC

解得：或公净,

22

,-5-739

—1=------------

2

由CM,皮?的中点重合,

6+4=1+0

&+4=y+。

或«

号+。二/4…二/4

-5+炳

2

或＜

3-739

R

2

或R个丝T

当BC=MC时；

如图所示，即四边形CM/S是菱形,

上班/3一病-5+7393+V39一屈一5

尺点为或

【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性

质，细心的计算是解题的关键.

5.（2023・四川广安・中考真题）如图，二次函数>=炉+法+。的图象交x轴于点AB,交V轴于点C,点、B

的坐标为（L0）,对称轴是直线尸-1,点尸是x轴上一动点，PMLx轴，交直线AC于点以，交抛物线于

点N.

(1)求这个二次函数的解析式.

(3)若点P在无轴上运动，则在y轴上是否存在点。，使以〃、N、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)先根据二次函数对称轴公式求出6=2,再把3(1,0)代入二次函数解析式中进行求解即可；

(3)分如图3-1,图3-2,图3-3,图3-4,图3-5,图3-6所示，MC为对角线和边，利用菱形的性质进行

列式求解即可.

【详解】(1)解：；二次函数尸无2+Zzx+c的对称轴为直线尤=-1,

：.b=2,

•••二次函数经过点3(1,0),

I2+Z?+c=0>即l+2+c=。，

c=—3f

・•・二次函数解析式为y=/+2%—3；

(2)解：•.•二次函数经过点3(1,0),且对称轴为直线x=-1,

/.A(-3,0),

，AB=4,

•二次函数y=x2+2x-3与y轴交于点C,

：.C(0,-3),

OC=3；

设直线AC的解析式为y=丘+加,

-3左+Z/=0

b'=—3

[[bk'==--\3'

・,・直线AC的解析式为y=-%-3,

设P（帆0）,则M（帆—相—3）,N{m,m2+2m—3）,

MN=—m—3—（m2+2m—3）=—m2—3m；

S=-ABOC=-x4x3=6,

ABRC22

•・S四边形ABCN=S2ABC+SAACN

=^/\ABC+^AAMN+S/\CMN

=-APMN+-OPMN+6

22

=—x3（一加2-3根）+6

375

・，.当加=一片时，S四边形MCN最大，最大值为—，

2o

,此时点尸的坐标为

(3)解：设P(〃%0),则M(利-加一3),N(m,m2+2m-3),

:PAf_Lx轴，

轴，即MN〃C。，

：.MN、CQ是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边;

如图3-1所示，当MC为对角线时，

9

：OA=OC=3f

・・・_AOC是等腰直角三角形,

・・・NACO=45。，

•：QM=QCf

：.ZQMC=ZQCM=45°,

：.ZMQC=90°f

・・.NCJ_y轴,即NC〃无轴,

.••点。与点N关于抛物线对称轴对称,

.,.点N的坐标为（一2,-3）,

•••2(0,-1)；

如图3-2所示，当A/C为边时，则MN=CM,

CM—dm2+-3）-（_3）]2=—yflm,MN=m2+2m—3—（—m—3）=m2+3m

m2+3m=-y/2m，

解得机=-3-夜或加=。（舍去），

CQ=CM=-V2m=372+2,

A2（0,372-1）；

如图3-3所示，当为边时，则MN=。欣，

同理可得CM=-"n,

—m2—3m=—y[2m，

解得加=0一3或加=0（舍去）,

・•・CQ=CM=-yf2m=372-2,

Q（O,-1-3四）

同理可得m2+3m=y/2m，

解得加=衣-3（舍去）或m=0（舍去）;

•:CQ=MQ,

：.ZQCM=ZQMC=45°,

NMQC=90。，

/.M2Ay轴，

，NC_Ly轴，这与题意相矛盾，

，此种情形不存在

如图3-6所示，当MC为对角线时，设MC,QN交于S,

Av

】。

图3-6

脑V〃y轴,

，ZNMC=180°-ZMCO=135°,

NQ1CM,

：.ZNSM=90°,这与三角形内角和为180度矛盾,

此种情况不存在;

综上所述，-1）或Q（0,372-1）或Q（0,-1-30）.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析

式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

6.（2023•重庆・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=加+乐+2过点（1,3）,且交无轴于点A（-l,0）,

⑴求抛物线的表达式;

（2）点P是直线3c上方抛物线上的一动点，过点尸作PDJL3C于点。，过点P作y轴的平行线交直线BC于

点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标;

⑶在（2）中△自按周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移下个单位长度，点M为平

移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写

出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

13

［答案］⑴无+,元+2

(2)△PDE周长的最大值6*1°,此时点P(2,3)

(3)以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形时N［-1,|)或g,手或;，-之

【分析】(1)把。,3)、4(—1,0)代入yX+for+2计算即可;

DPE周长PE4

(2)延长PE交x轴于尸，可得NDEP=NBCO,进而得到DPEOBC,万而林=就’求出山的

最大值即可;

(3)先求出平移后的解析式，再设出N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可.

3=Q+0+2

【详解】(1)把(1,3)、A(—l,0)代入丫=办2+"+2得,

0=。一。+2

1

a=——

7

解得，

b=-

I2

13

•••抛物线的表达式为y=尤+2；

:过点尸作PDL3C于点D,过点尸作y轴的平行线交直线BC于点E,

：.ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

A_DPEOBC,

.DPE周长PE

"02c周长一"BC'

：.OPE■周长=——OBC周长，

BC

当PE最大时APDE周长的最大

1Q

V抛物线的表达式为y=-1x2+|x+2,

・•・3(4,0),

「・直线3c解析式为y=-；l+2,BC=y/oc2+OB2=2^j5

■^尸(根,-3■m2+5机+2],贝u石(机,-5m+2]

PE=--m2+—m+2-|m+2|=--m2+2m=-—(m-2^+2,

22{2)22V7

・•・当机=2时?石=2最大，此时P(2,3)

止OC周长为OC+