高中数学竞赛真题分类汇编专题复数

(50题竞赛真题强化训练) 的值是 24.(2019山东·高三竞赛)已知虚数z满足为实数，且-1<w<2,28.(2018-河南·高三竞赛)已知i为虚数单位，则在(√3+i)的展的和是的最小值为33.(2019-全国·高三竞赛)在复平面上，复数z₁对应的点在联结1和i两点的线段上运动，复数z₂对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动.则复数z₁+Z₂对应的点_以有种取值.z3=√+(23=√sin2)+i√cosθ互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是 二、解答题比数列.试求点W的轨迹.复数均有竞赛专题12复数(50题竞赛真题强化训练)【解析】【详解】解析：x为实数根，若x=0,则4i+3=0,矛盾；故x≠0,时等号成立，故所求的最小值为1.故答案为：1.【解析】【详解】【解析】【详解】解析：由题意可得的最大值为3.故答案为：3. 【解析】【详解】因此5.(2019·甘肃·高三竞赛)在复平z|=|z₂|=√2,0z·OZ₂=0,|z+Z₂-z₃|=2,则z₃|的取值范围是_【解析】【详解】虚数单位，z为复数z的共轭复数)【答案】6【解析】【详解】【解析】【详解】【答案】4【解析】【详解】故答案为：4.,则Z00的实部为【解析】【详解】故从而实部为【解析】【详解】解析：故答案为：2.【解析】【分析】【详解】上为实数，则复数z=诚【答案】诚【解析】【分析】【详解】故答案为：【答案】【解析】【分析】【详解】14.(2021·全国·高三竞赛)已知复数(i虚【答案】36【解析】【分析】【详解】【答案】0又是8次单位根.故答案为：36.【解析】【分析】【详解】与a²+ac+c²=i联立，即有a、c均不为0且当a=1时，有c=i,b=0,此时原式为i.当a²=i时，有c²+ic=0,又c≠0,所以得a=1,矛盾.综上所述，原式仅有i一个值.故答案为：i.z,Z+Z,Z=1,Z₂Z+z₄Z=-1,z,+z₄∈R,则(z-z₃)(z₂+z₄)=【解析】【分析】【详解】即从而，所求式也为0.故答案为：0. 的取值范围为【解析】【分析】【详解】4z-2020-3iz-2019-3iz¹-4=0⇔z-2020(4-3iz)=|4-3izP²-|4z+3il²=(4+3=7(1-a²-b²)=7(1-1zP²).=5[cos(β+α)+isin(β+α)]+5cos(β+a)+18.(2021-全国·高三竞赛)若非零复数x,y满足x²+xy+y²=0,的值是【解析】【分析】【详解】(2)当i时，同理可得原式=1.故答案为：1.最小值为【解析】【分析】【详解】【点睛】【解析】【详解】f(x)=x²+1,则【答案】37【解析】【详解】=(6+i)(6-i)=37.故答案为：37.【解析】【详解】注意到z⁷=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a,b)符合条件.综上可知，符合条件的有序实数对(a,b)的对数是8.故答案为：8.【解析】【详解】故有解得为4的正三角形.又复数z,Z₂对应的点Z,Z₂关于原点O对称，所以OZ为△ZZ₁Z2的高，那么w-u²|的最小值是【解析】【详解】当x=0时等号成立.故答案为：1.【解析】【详解】所以zF₂+z₂云=0.【答案】【解析】【详解】由复数的几何意义知，z在复平面上对应的曲线是椭圆：所以即i时等号成立，故最大值为故答案为：27.(2019·江苏·高三竞赛)在复平面中，复数3-i、2-2i、1+5i分别对应点A、B、C,则△ABC的面积是【解析】【详解】即△ABC的面积是故答案为：4.的展开式中，所有奇数项的和是【答案】512【解析】【详解】易知(√3+i)"的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部.故填512.的最小值为【解析】【详解】故【答案】850【解析】【详解】【答案】0【解析】【详解】【解析】【详解】运动，复数z₂对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动.则复数z+Z₂对应的点所在区域的面积为【解析】【详解】【解析】【详解】又因为b+5a与b-5a为奇偶性相同的整数，所以，或解得a=1,b=7.故a+b=8.【答案】【解析】【详解】以有种取值.【解析】【详解】.若2201=1,则z。可因此，满足条件的z₀共有5×2009-22009=22011(个).【解析】【详解】38.(2021·全国·高三竞赛)若e为自然对数的底，则满且|2|<100的复数z的个数为【答案】32【解析】【分析】【详解】记i为虚数单位，设z是一个满足题意的复数，且z=x+yi(x,y∈R)首先，容易直接验证z≠0,1,-1.若x<0,则若x>0,则注意到z满足题意当且仅当-z满足题意，故不妨设y>0,下求满足的正实数y的个数.由以上讨论，知e”与角主值相等.在复平面中所对应的点都在单位圆上，故y应使两者的辐当y从0连续递增变动到+0时，-1+yi的辐角主值从π连续递减变到i的辐角主值从0连续递增变到故的辐角主值从π连续递减变到0+那么,注意到0<y<100,且31π<100<32π.故在(0,100)上有16故答案为32.故答案为：32.互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是【解析】【详解】因为z²+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a²-1)≠0,故a≠±1.点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，-1<a<1满足条件.上，仅当z1、z2对应的点在以z,z₄对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|-1<a<1}U{-3}.故答案为：{al-1<a<1}U{-3}.比数列.【答案】答案见解析【解析】【详解】所以(sinθ-cosθ)²=2sinθcosθ→tan²θ-4tanθ+1=0,事事对于的a对于的a分别为故所有的(a,θ)为：试求点W的轨迹.【答案】【解析】【分析】【详解】由②得所以代入③得42.(2021全国·高三竞赛)已知z∈C,存在唯一的a∈C,使得z³+(2-a)z²+(1-3a)z+a²-a=0【解析】【分析】【详解】所以=0.43.(2021·全国·高三竞赛)求证：存在非零复数c与实数d,使得对于一切模长为1的【答案】证明见解析【解析】【详解】。①在复平面中对应的点的轨迹方程.由双曲线的定义，知取满足题意.【答案】1【解析】【分析】z³+pz²+qz+r=(z-z₁-z₂)(z-z₁-z₂i另一方面，z³+x²+z+1=0的三个复数根恰是面积为1的等腰直角三角形的顶点.【答案】【解析】【分析】【详解】进一步可设z=-a+z,Z₂=-a+oz,Z₃=-a+w²z.其中是三次单位根.三形的斜边的长度.【解析】【详解】中线长的事故47.(2019-全国·高三竞赛)设a、b、c是正实数，-2<λ<2.证明：【答案】见解析【解析】【详解】注意到，于是，可构造复数;思;思【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】①由(1)(2)可得：即即【解析】很明显，复数列恒不为零，且据此结合递推关系分类讨论m为偶数和m为奇数两种情况即可证得题中的结论.【详解】由条件得当m为偶数时，设m=2s(s∈N4).利用②可得当m为奇数时，设m=2s+1(s∈N).由①、②可知综上结论获证.【点睛】本题主要考查复数列的递推关系，复数的运算法则，放缩法证明不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】值，不妨设为8和E,依据题意即可证明.【详解】(2)由(1)知，对任意的n∈N+,|x。-1|=1,又数列{x。}恒为常数，因此x,只有互为共轭的两种取值ε和E.若存在n∈N,使得x=xn+1,不妨设x=x+1=8,