高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.3函数的奇偶性、周期性、对称性(精练)(原卷版+解析)

2.3函数的奇偶性、周期性、对称性【题型解读】【题型一判断函数奇偶性的两种方法】1.（多选）(2023·海南高三二模）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A． B．C． D．2.(2023·北京东城区·高三期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．3.(2023·甘肃高三一模）已知函数，则（）A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增4(2023·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【题型二函数奇偶性的四种应用】1.(2023·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．2.(2023·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（

）A． B． C． D．3.(2023·上海高三月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．4.(2023·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．5.(2023·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．6.(2023·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.7.（多选）(2023·全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．8.(2023·河南高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（）A． B． C． D．9.(2023·云南丽江·高三期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．10.(2023·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16【题型三函数周期性的应用】1.(2023·广东汕头·高三期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.2.（多选）(2023·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期为4 B．C． D．3.(2023·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A． B． C． D．4.(2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.5.（多选）(2023·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．2是函数的一个周期C．D．【题型四函数对称性的应用】1.(2023·北京101中学高三）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．2.(2023·山西太原·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．的图象关于直线x=1对称 D．的图象关于点对称3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.4.（2023·江西·景德镇一中高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A．2 B． C．4 D．5.(2023·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（）A． B．C． D．【题型五函数性质的综合应用】1.(2023·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（

）A． B．C． D．2.（多选）(2023·江苏连云港市·高三月考）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数 B．为周期函数C．为奇函数 D．为偶函数3.（2023·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．4.（多选）(2023·全国高三专题练习）已知为奇函数，且，当时，，则（）A．的图象关于对称 B．的图象关于对称C． D．2.3函数的奇偶性、周期性、对称性【题型解读】【题型一判断函数奇偶性的两种方法】1.（多选）(2023·海南高三二模）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A． B．C． D．答案：AD【解析】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.故选：AD2.(2023·北京东城区·高三期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．答案：D【解析】对于A选项，设，定义域为，该函数为非奇非偶函数，故A不正确；对于B选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间上为增函数，故B不正确；对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，该函数为奇函数，但函数在区间上为减函数，故C不正确；对于D选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数，又在区间上为增函数，则该函数在区间上单调递增，故D正确.故选：D.3.(2023·甘肃高三一模）已知函数，则（）A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增答案：D【解析】因为，,定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，当时，，所以在单调递增，故选：D4(2023·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是答案：C【解析】将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减，故选：C【题型二函数奇偶性的四种应用】1.(2023·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（

）A．1 B．2 C． D．答案：D【解析】由为奇函数，所以，所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选：D2.(2023·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】是偶函数定义域关于原点对称对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误；对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误；对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确；对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；故选：C3.(2023·上海高三月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．答案：【解析】设，则，由时，，所以，又函数为偶函数，即，所以.故答案为：4.(2023·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．答案：1【解析】是奇函数，∴h(1)＋h(－1)＝0即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.故答案为：1.5.(2023·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______．答案：1【解析】由题设，，所以.故答案为：16.(2023·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【解】(1)满足，，.(2)由题意知，.当时，.由是奇函数，，综上，在上，7.（多选）(2023·全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案：AC【解析】根据题意，函数是定义在区间上的奇函数，则，即，则，解可得或（舍），即，则，解可得，故，即的取值范围为，故选：AC.8.(2023·河南高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（）A． B． C． D．答案：D【解析】当时，，所以在上单调递增.又因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于直线对称.所以在上单调递减.因为，，，所以.故选：D.9.(2023·云南丽江·高三期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】的定义域为，，所以为奇函数，在上递增，由得，∴，，解得.故选：B10.(2023·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：B【解析】由题设，且，∴，则，∴为奇函数，令，∴，即是奇函数，∴在上的最小、最大值的和为0，即，∴.故选：B【题型三函数周期性的应用】1.(2023·广东汕头·高三期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则________.答案：【解析】因为，所以奇函数的周期为.所以故答案为:2.（多选）(2023·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．最小正周期为4 B．C． D．答案：BCD【解析】因为是偶函数，所以，又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.3.(2023·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A． B． C． D．答案：A【解析】由满足，得，所以函数的最小正周期，且当时，为偶函数，所以.故选：A.4.(2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.答案：【解析】当时，，则，因为是定义域为R的偶函数，所以；当时，，则，又的周期为2，所以；故答案为：.5.（多选）(2023·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．2是函数的一个周期C．D．答案：AC【解析】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；函数是周期为2的奇函数，，故C正确；，无法判断的值，故D错误.故选：AC.【题型四函数对称性的应用】1.(2023·北京101中学高三）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．答案：B【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确2.(2023·山西太原·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．的图象关于直线x=1对称 D．的图象关于点对称答案：C【解析】因为，，所以，所以A不正确；因为，，所以，故B不正确；因为，所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；在的图象上取一点，则其关于点的点为，因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.故选：C3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.答案：【解析】由可得关于对称，所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：4.（2023·江西·景德镇一中高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A．2 B． C．4 D．答案：B【解析】因为为奇函数，所以有，故，故选:B.5.(2023·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（）A． B．C． D．答案：A【解析】当时，，则，所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，，，因此，.故选：A.【题型五函数性质的综合应用】1.(2023·四川凉山·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意，函数满足，可得，所以函数是周期为4的函数，又由为上的奇函数，可得，所以，可得函数的图象关于对称，因为当时，可函数的图象，如图所示，当时，令，解得或，所以不等式的解集为.故选：C.2.（多选）(2023·江苏连云港市·高三月考）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数 B．为周期函数C．为奇函数 D．为偶函数答案：ABC【解析】由题意知：且，∴，即，可得，∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：，即为奇函数，C正确.故选：ABC.3.（2023·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（