高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.2等比数列5大题型(精练)(原卷版+解析)

6.2等比数列5大题型【题型解读】【题型一等比数列基本量的运算】1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（）A. B. C. D.2.(2023·河南信阳市高三模拟）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．3.(2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（）A. B.2 C. D.4.(2023·安徽·合肥一中模拟预测）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．5.(2023·江西·新余四中模拟）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．26.(2023·四川成都市模拟）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（）A． B． C． D．【题型二等比数列的性质及应用】1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测）在等比数列中，若，则（

）A．5 B．10 C．15 D．202．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．43．(2023·四川遂宁市·高三三模）在递增的数列中，，若，且前项和，则（）A．3 B．4 C．5 D．64.(2023·湖北荆州市模拟）设等比数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．5．(2023·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（）A． B．C． D．n＝146.(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．【题型三等比数列的判定与证明】1.(2023·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；2.（多选）(2023·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）A． B． C． D．3．(2023·云南民族大学附属中学高三月考）已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；4．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；5.(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．【题型四等比数列的最值问题】1.(2023·青海西宁模拟）已知等比数列，，的最小值为（

）A．70 B．90 C．135 D．1502.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．3.(2023·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若，，，则A． B．C．是的最大值 D．使的的最大值是40404.(2023·安徽芜湖市·高三二模）已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列C．数列有最小项 D．数列有最大项【题型五生活中的等比数列】1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里2.(2023·江苏南通·模拟预测）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（

）（取，）A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元4.(2023·四川宜宾市·高三一模）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（）(结果精确到0.1，参考数据：，)A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.86.2等比数列5大题型【题型解读】【题型一等比数列基本量的运算】1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，因为，即，，解得，因此，.故选：C.2.(2023·河南信阳市高三模拟）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．答案：【解析】因为，，成等比数列，即解得或（舍）故答案为：3.(2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（）A. B.2 C. D.答案：B【解析】分析：根据等比数列的通项公式列出方程求解即可.【详解】，∴，即，解得或（舍）．故选：B4.(2023·安徽·合肥一中模拟预测）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．答案：D【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得．故选：D5.(2023·江西·新余四中模拟）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．2答案：D【解析】由，所以，.故选：D.6.(2023·四川成都市模拟）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为（）A． B． C． D．答案：C【解析】设等比数列公比为，若，则，不合题意，；，；，，解得：，，解得：.故选：C.【题型二等比数列的性质及应用】1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测）在等比数列中，若，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20答案：C【解析】因为，所以，所以；故选：C.2．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4答案：B【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.3．(2023·四川遂宁市·高三三模）在递增的数列中，，若，且前项和，则（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】因为在递增的数列中，，所以数列是单调递增的等比数列，因为，所以，所以，解得或(舍)，所以，即，————①又因为，即，———————②①②联立，解得，.故选：B.4.(2023·湖北荆州市模拟）设等比数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．答案：D【解析】是等比数列，也称等比数列，，设，则，，则，.故选：D.5．(2023·全国高三专题练习）(多选)在正项等比数列{an}中，已知，，则（）A． B．C． D．n＝14答案：BD【解析】设数列的公比为q，由，可得，又由，所以A、C不正确；因为，可得，所以，解得，所以B、D正确.故选：BD.6.(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．答案：C【解析】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．【题型三等比数列的判定与证明】1.(2023·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；答案：证明见解析，；【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,又∵,∴数列是首项为，公比为的等比数列，，,；2.（多选）(2023·全国课时练习）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）A． B． C． D．答案：BC【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,对于选项A,,因为不是常数,故A错误；对于选项B,,因为为常数,故B正确；对于选项C,,因为为常数,故C正确；对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.故答案为:BC3．(2023·云南民族大学附属中学高三月考）已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；答案：证明见解析，；【解析】证明：∵，，∴，，又，∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列，∴，故.4．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；【解析】证明：因为，所以，又，∴是首项为，公比为2的等比数列；5.(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．【解析】(1)因为，所以，所以，因为，所以，，故数列为等比数列，首项为，公比为2；(2)由（1）可知，所以，所以．【题型四等比数列的最值问题】1.(2023·青海西宁模拟）已知等比数列，，的最小值为（

）A．70 B．90 C．135 D．150答案：B【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，，结合可得，.由基本不等式及等比数列的性质可得，当且仅当，时等号成立，故的最小值为.故选：B2.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．答案：【解析】由题知，，又，则，当且仅当时，等号成立.即的最小值是故答案为：3.(2023·辽宁丹东市·高三月考）等比数列的公比为，前项积，若，，，则A． B．C．是的最大值 D．使的的最大值是4040答案：AD【解析】根据条件可得，则，,又选项A.，所以若，则，所以与条件矛盾.所以，所以选项A正确.选项B.由,，可得等比数列单调递减.又，可得，，所以选项B不正确.选项C.由，，可得等比数列单调递减.可得，，即数列的前项大于1，当时，所以是的最大值，所以选项C不正确.选项D.，由上可知，可得，由此类推可得当时，，由，可得，由此类推可得可得当时，所以使的的最大值是4040，所以选项D正确故选：AD4.(2023·安徽芜湖市·高三二模）已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列C．数列有最小项 D．数列有最大项答案：C【解析】因为无穷等比数列满足，所以，即，由，所以，又，所以所以当时，，递减，单调递增，所以有最小项；当时，，不具有单调性，不单调，但，，，且，所以有最小项；故选：C【题型五生活中的等比数列】1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里答案：A【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，.故选：A．2.(2023·江苏南通·模拟预测）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．答案：ABC【解析】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；依题意，，则.又时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确所以，当时，，所以，所以C正确，错误.故选：ABC.3.(2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召