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文档简介
6.2等比数列5大题型【题型解读】【题型一等比数列基本量的运算】1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习)已知为等比数列,为其前项和,若,,则()A. B. C. D.2.(2023·河南信阳市高三模拟)已知是等差数列,,公差,为其前n项和,若,,成等比数列,则________.3.(2023·全国·高三专题练习)已知正项等比数列的前n项和为,且满足,则公比()A. B.2 C. D.4.(2023·安徽·合肥一中模拟预测)等比数列的前n项和为,已知,,成等差数列,则的公比为(
)A. B. C.3 D.5.(2023·江西·新余四中模拟)已知是等比数列的前项和,若,,则数列的公比是()A.8 B.4 C.3 D.26.(2023·四川成都市模拟)已知等比数列的前项和为,若,,则数列的公比为()A. B. C. D.【题型二等比数列的性质及应用】1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测)在等比数列中,若,则(
)A.5 B.10 C.15 D.202.(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习)已知数列是等差数列,数列是等比数列,若则的值是(
)A. B.1 C.2 D.43.(2023·四川遂宁市·高三三模)在递增的数列中,,若,且前项和,则()A.3 B.4 C.5 D.64.(2023·湖北荆州市模拟)设等比数列的前项和为,若,则()A. B. C. D.5.(2023·全国高三专题练习)(多选)在正项等比数列{an}中,已知,,则()A. B.C. D.n=146.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为(
)A. B.2 C. D.【题型三等比数列的判定与证明】1.(2023·浙江金华市·高三三模)已知数列{an}满足,,,成等差数列,证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式;2.(多选)(2023·全国课时练习)已知数列是公比为的等比数列,则以下一定是等比数列的是()A. B. C. D.3.(2023·云南民族大学附属中学高三月考)已知数列满足,,求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;4.(2023·全国·高三专题练习)设数列满足,其中.证明:是等比数列;5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,,.(1)证明:数列为等比数列;(2)记数列的前项和为,证明:.【题型四等比数列的最值问题】1.(2023·青海西宁模拟)已知等比数列,,的最小值为(
)A.70 B.90 C.135 D.1502.(2023·全国·高三专题练习)已知等比数列的公比为q,前n项和为,若,则的最小值是______.3.(2023·辽宁丹东市·高三月考)等比数列的公比为,前项积,若,,,则A. B.C.是的最大值 D.使的的最大值是40404.(2023·安徽芜湖市·高三二模)已知无穷等比数列满足,其前项和为,则()A.数列为递增数列 B.数列为递减数列C.数列有最小项 D.数列有最大项【题型五生活中的等比数列】1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(
)A.6里 B.5里 C.4里 D.3里2.(2023·江苏南通·模拟预测)(多选)学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为,选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为,选择套餐的概率也是,如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为.一个月(30天)后,记甲、乙、丙3位同学选择套餐的人数为,则下列说法正确的是(
)A. B.数列是等比数列C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)为了更好地解决就业问题,国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召,有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元,用于进货,因质优价廉,供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费800元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为(
)(取,)A.24000元 B.26000元 C.30000元 D.32000元4.(2023·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍,则的值为()(结果精确到0.1,参考数据:,)A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.86.2等比数列5大题型【题型解读】【题型一等比数列基本量的运算】1.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习)已知为等比数列,为其前项和,若,,则()A. B. C. D.答案:C【解析】分析:设等比数列的公比为,根据已知条件求出、的值,再利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为,则,则,所以,,因为,即,,解得,因此,.故选:C.2.(2023·河南信阳市高三模拟)已知是等差数列,,公差,为其前n项和,若,,成等比数列,则________.答案:【解析】因为,,成等比数列,即解得或(舍)故答案为:3.(2023·全国·高三专题练习)已知正项等比数列的前n项和为,且满足,则公比()A. B.2 C. D.答案:B【解析】分析:根据等比数列的通项公式列出方程求解即可.【详解】,∴,即,解得或(舍).故选:B4.(2023·安徽·合肥一中模拟预测)等比数列的前n项和为,已知,,成等差数列,则的公比为(
)A. B. C.3 D.答案:D【解析】设等比数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,所以,化为:,解得.故选:D5.(2023·江西·新余四中模拟)已知是等比数列的前项和,若,,则数列的公比是()A.8 B.4 C.3 D.2答案:D【解析】由,所以,.故选:D.6.(2023·四川成都市模拟)已知等比数列的前项和为,若,,则数列的公比为()A. B. C. D.答案:C【解析】设等比数列公比为,若,则,不合题意,;,;,,解得:,,解得:.故选:C.【题型二等比数列的性质及应用】1.(2023·河南省浚县第一中学模拟预测)在等比数列中,若,则(
)A.5 B.10 C.15 D.20答案:C【解析】因为,所以,所以;故选:C.2.(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习)已知数列是等差数列,数列是等比数列,若则的值是(
)A. B.1 C.2 D.4答案:B【解析】由等差中项的性质可得,由等比中项的性质可得,因此,.故选:B.3.(2023·四川遂宁市·高三三模)在递增的数列中,,若,且前项和,则()A.3 B.4 C.5 D.6答案:B【解析】因为在递增的数列中,,所以数列是单调递增的等比数列,因为,所以,所以,解得或(舍),所以,即,————①又因为,即,———————②①②联立,解得,.故选:B.4.(2023·湖北荆州市模拟)设等比数列的前项和为,若,则()A. B. C. D.答案:D【解析】是等比数列,也称等比数列,,设,则,,则,.故选:D.5.(2023·全国高三专题练习)(多选)在正项等比数列{an}中,已知,,则()A. B.C. D.n=14答案:BD【解析】设数列的公比为q,由,可得,又由,所以A、C不正确;因为,可得,所以,解得,所以B、D正确.故选:BD.6.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为(
)A. B.2 C. D.答案:C【解析】当时,,又,即前10项分别为,所以数列的前10项中,,所以,故选:C.【题型三等比数列的判定与证明】1.(2023·浙江金华市·高三三模)已知数列{an}满足,,,成等差数列,证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式;答案:证明见解析,;【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,∵a1≠0,∴由递推关系可得an≠0恒成立,∴,∴,即,又∵,∴数列是首项为,公比为的等比数列,,,;2.(多选)(2023·全国课时练习)已知数列是公比为的等比数列,则以下一定是等比数列的是()A. B. C. D.答案:BC【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,对于选项A,,因为不是常数,故A错误;对于选项B,,因为为常数,故B正确;对于选项C,,因为为常数,故C正确;对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.故答案为:BC3.(2023·云南民族大学附属中学高三月考)已知数列满足,,求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;答案:证明见解析,;【解析】证明:∵,,∴,,又,∴,故数列为首项为1,公比为的等比数列,∴,故.4.(2023·全国·高三专题练习)设数列满足,其中.证明:是等比数列;【解析】证明:因为,所以,又,∴是首项为,公比为2的等比数列;5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,,.(1)证明:数列为等比数列;(2)记数列的前项和为,证明:.【解析】(1)因为,所以,所以,因为,所以,,故数列为等比数列,首项为,公比为2;(2)由(1)可知,所以,所以.【题型四等比数列的最值问题】1.(2023·青海西宁模拟)已知等比数列,,的最小值为(
)A.70 B.90 C.135 D.150答案:B【解析】设的公比为,由等比数列的知识可知,,结合可得,.由基本不等式及等比数列的性质可得,当且仅当,时等号成立,故的最小值为.故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)已知等比数列的公比为q,前n项和为,若,则的最小值是______.答案:【解析】由题知,,又,则,当且仅当时,等号成立.即的最小值是故答案为:3.(2023·辽宁丹东市·高三月考)等比数列的公比为,前项积,若,,,则A. B.C.是的最大值 D.使的的最大值是4040答案:AD【解析】根据条件可得,则,,又选项A.,所以若,则,所以与条件矛盾.所以,所以选项A正确.选项B.由,,可得等比数列单调递减.又,可得,,所以选项B不正确.选项C.由,,可得等比数列单调递减.可得,,即数列的前项大于1,当时,所以是的最大值,所以选项C不正确.选项D.,由上可知,可得,由此类推可得当时,,由,可得,由此类推可得可得当时,所以使的的最大值是4040,所以选项D正确故选:AD4.(2023·安徽芜湖市·高三二模)已知无穷等比数列满足,其前项和为,则()A.数列为递增数列 B.数列为递减数列C.数列有最小项 D.数列有最大项答案:C【解析】因为无穷等比数列满足,所以,即,由,所以,又,所以所以当时,,递减,单调递增,所以有最小项;当时,,不具有单调性,不单调,但,,,且,所以有最小项;故选:C【题型五生活中的等比数列】1.(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(
)A.6里 B.5里 C.4里 D.3里答案:A【解析】记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,由,得,解得:,.故选:A.2.(2023·江苏南通·模拟预测)(多选)学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为,选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为,选择套餐的概率也是,如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为.一个月(30天)后,记甲、乙、丙3位同学选择套餐的人数为,则下列说法正确的是(
)A. B.数列是等比数列C. D.答案:ABC【解析】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种,所以,故A正确;依题意,,则.又时,,所以数列是首项为,公比为的等比数列,故B正确所以,当时,,所以,所以C正确,错误.故选:ABC.3.(2023·全国·高三专题练习)为了更好地解决就业问题,国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召
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