高中数学辅导学案不等式

3.1不等关系与不等式

(-)基础知识回顾：

1.实数大小比较的基本事实：

(1)a>bO;(2)a=bo;(3)a<bO.

要确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定它们的与的大小关系即可。

2.不等式的基本性质：

(1)对称性a>b0b___a;(2)传递性：a>b,b>c=>ac:

(3)a>b=>a+cb+c;(4)a>b,c>0=ac___be;

(5)a>b,c<0nac___be;(6)a>b,c>d=>a+cb+d;

(7)a>b>0,c>d>0=>acbd;(8)a>b>0=an___bn(neN,n>1);

(9)a>b>0=>爪_Vb(neN,n>2)(10)a>b,ab>0—-___—.

ab

(-)例题分析：

例1.(2007上海理)设〃，匕是非零实数，若则下列不等式成立的是()

A.a2<b2B.ab2<a2bC.—<^—D.—<—

ab~erbab

例2.(2010江苏)设实数x,y满足3Wxy2w8,4〈三W9,则与■的最大值是

yy

例3.对任意实数x,y,比较两个代数式/+/+1与2(x+y—l)的大小;

(三)基础训练：

1.(2008广东文)设若a—附>0,则下列不等式中正确的是()

A.b-a>0B.ay+Z?3<0C.b+a>0D.a2-b2<0

2.(2006上海春招)若a、b、ceR,a>h,则下列不等式成立的是()

I|cib

(A)(B)a2>h2.(C)—(D)a\c\>h\c\.

abc2+1c2+1

3.(2003北京春招文)设4涉,。,〃£/?.且。>反。>4,且下列结论中正确的是()

,..,一,.ab

A.a+ob+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.—>—

dc

4.(2013北京文)设a,b,c-eR,且a>b,则().

A.ac>bcB-<TC.a2>b2D.a3>b3

ab

5.(2014山东理)已知实数及y满足优则下列关系式恒成立的是

(A)———>———(B)ln(x2+1)>ln(y2+1)(C)sinx>siny(D)x2>y2

厂+1y-+1

6、（2014四川文、理）若。>/?〉（），c<J<0,则一定有（）

7.（2012湖南文）设a>b>\,c<0,给出下列三个结论：①上〉：；②"'</；

ab

③}ogh（a-c）>logn（h-c）,其中所有的正确结论的序号是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

8、（2015浙江文）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各

不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：，〃②）分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的

粉刷费用（单位：元/加2）分别为4，b,c,且a</?<c.在不同的方案中，最低的总费用（单位:

元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+exC.ay+bz+exD.ay+bx+cz

9.Og糖水中有ag糖S>“>0）,若再添上mg糖（加>0）,则糖水就变甜了.试根据这个事实，提炼一个

不等式:.

3.2一元二次不等式及其解法

（-）基础知识回顾：

1.一元二次方程的。好+加:+，=0（存0）的求根公式：

根与系数的关系定理：根的判别式△=

4.一元二次不等式的解法：（a〉o且A>0时，简记为：小在中间，大在两边）

设二次函数f（x）=ax?+bx+c（a>0）,判别式△=b'-4ac,则

判别式△>0△=0△<0

方程f（x）=O的解

函数y=f（x）的简图

ax2+bx+c>0

不等式

的解集ax2+bx+c<0

(-)例题分析：

例1.(2005全国卷II理)已知集合人仁代|/_3x-28W0},N={xjx2-x-6>0},则MCN为()

(A){x|-4Wx〈-2或3〈xW7}(B){x|-4〈xW-2或3Wx<7}

(C){x|xW-2或x>3}(D){x|x<-2或x23}

例2.（2005北京春招理）

若关于x的不等式/-ax-a>0的解集为（—8,+8）,则实数”的取值范围是；

若关于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，则实数«的取值范围是。

例3.已知关于x的不等式以2+法+。<0的解集为{x|x<_2或那么关于x的不等式

ax2-bx+c>0的解集是.

（三）基础训练：

1.（2011广东文）不等式2/—%—1>。的解集是（）

A.（,1）B.（1,+oo）C.（-oo,1）。（2,+oo）D.（—oo,）u（1,+8）

22

2.（2009福建理）已知全集U=R,集合A={x|f—2x>0},则C°A等于（）

A.{xI0<x<2}B.{xI0<x<2}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x40或x<2}

3.（2013全国大纲文）不等式一2|V2的解集是（）.

A.（-1,1）B.（-2,2）C.（-l,0）U（0,l）D.（-2,0）U（0,2）

4.（2012重庆理）不等式土L<0的解集为（）

5.（2013重庆文）关于x的不等式x2—20r—8“2<0（4>0）的解集为（》,必）,且刈-xi=15,则〃等于（

,5妙7〃15>15

A，2B，2C.彳D为

6.（2004全国卷H文、理）已知集合知=国成<4},N={xff—20：—3<0},则集合用。"=（）

（A）{x\x<-2}（B）{木>3}（C）{x|-l<x<2}（D）{x|2<x<3}

7.（2013广东理）不等式/+无一2<0的解集为.

8.（2015广东文）不等式一3x+4>0的解集为.（用区间表示）

9.（2012福建文）已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是

10.（2007山东文）当xe（L2）时，不等式<+如+4<0恒成立，则m的取值范围是.

11.（2009湖北理）已知关于x的不等式竺匚<0的解集是（-0。,—1）U,+8）.则a=___________.

x+l2

12.（2011上海文）不等式,<1的解为o

X

(四)巩固练习：

1.(2009山东文)在R上定义运算。：。。匕=a/?+2a+b,则满足x。(%-2)<0的实数x的取值范围

为().

A.(0,2)B.(-2,l)C.(-oo,-2)U(l,+°o)D.(-l,2)

2.(2005辽宁)在R上定义运算③：y=x(l-y).若不等式(x-a)®(x+a)<1对任意实数x成

立，则()

八1331

A.-1<6J<IB.0<a<2C.-----<a<—D.------<a<一

2222

r।Q

3.(2015上海文)下列不等式中，与不等式二--------<2解集相同的是().

x~+2x+3

22„12+2x+31

A.(x+8)(x-+2x+3)<2B.x+8<2(x~+2x+3)C.-；------------<--------1).--------------->一

x~+2x+3x+8尤+82

尤+]

4.(2011上海理)不等式—<3的解为.

x

5.已知二次函数/(x)的二次项系数为a,且不等式./Xx)>—2x的解集为(1,3)o若/(x)的最大值

为正数，求a的取值范围.(据2005全国I文改编)

6.(2001春招北京、内蒙古、安徽文、理)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1

万元/辆，出厂价为L2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次,

适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<l),则出厂价相应提高的比例为

0.75X,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)x年销售量。

(I)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(II)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

7.据气象部门预报，在某海滨城市附近海面有一台风，当前台风中心位

于城市0(如图)的东偏南750方向160km的海面P处，并以25km/h的

速度向西偏北15°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为

80km,并以15km/h的速度不断增大。问从现在起多长时间后该城市开始

受到台风的侵袭？该城市受到台风的侵袭的时间大约为多长？

(据2003全国、广东高考题改编)

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

(一)基础知识回顾：

1.二元一次不等式表示的平面区域：直线/:ax+by+c=O把直角坐标平面分成了三个部分：

(1)直线/上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=O

(2)直线/一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0

(3)直线/另一-侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0

所以，只需在直线/的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(xo,yo)，从aox+boy+c值的正负，即

可判断二元一次不等式表示的平面区域。

2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小

值，称这个线性函数为目标函数,称一次不等式组为约束条件,像这样的问题叫作二元线性规划问题。

其中，满足约束条件的解(x.y)称为可行解,由所有可行解组成的集合称为亘丘域，使目标函数取得最

大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。

(二)典型例题：

'2x-y<0

例1.(2016北京理)若x,y满足〈x+y43,则2x+y的最大值为()

x>0

A.OB,3C.4D.5

例2.(2011湖北理)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且alb.若满足不等式国+W1,

则z的取值范围为()

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[-3,2]D.[-3,3]

'2x-y+2>0

例3.(2007安徽文)如果点P在平面区域<x+y-2<0±,点。在曲线/+(y+2-=1上，

2y-l>0

那么|尸。|的最小值为()

(A)—(B)—尸—1(C)2-\/2—1(D)V2—1

2V5

(三)基础训练：

1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是()

(A)a<-7或a>24(B)-7<a<24(C)a=7或a=24(D)-24<a<7

x>0

2.(2009安徽文)不等式组<x+3y24所表示的平面区域的面积等于()

3x+y<4

x+2y>2,

3.(2012山东文、理)设变量x,y满足约束条件,2x+y44,则目标函数z=3x-y的取值范围是()

4x-y>-1,

333

(A)[--,6](B)[---1](C)[-1,6J(D)[-6,-]

222

x-2y>0

4.（2009湖南理）已知D是由不等式组<,所确定的平面区域,

x+3y>0

则圆/+y=4在区域口内的弧长为[]

71C网3兀

A~4B—D——

242

x+y-2<0

5.（2014安徽理）乂丁满足约束条件<工一2y一240,若z=y—以取得最大值

2.x—y+220

的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A」或一1B.2或工C.2或1D.2或一1

22

x+j<2,

6.（2016山东文、理）若变量x,y满足<2x—3yK9,则W+j2的最大值是（）

x>0,

(A)4(B)9(C)10(D)12

x+2y<2

7.（2015广东文）若变量无，y满足约束条件<x+yNO,则z=2x+3y的最大值为（）

x<4

A.10B.8C.5D.2

x+y-l>0

8.（2014全国新课标II文）设x,y满足约束条件<x—y—IWO,则交2户y的最大值为（）

x-3y+3>0

A.8B.7C.2D.1

x+2y-5>0

9.（2011浙江理）设实数工/满足不等式组<2》+旷-7>0,若苍卜为整数，则3x+4y的最小值是（）

x20,y»0,

（A）14（B）16（C）17（D）19

x-l>0

10.（2015全国新课标I卷理）若满足约束条件WO，则上的最大值为.

八X

y-4<0

专题辅导简单的线性规划的应用问题

【典型例题】

例1.（2011四川文、理）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车

和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送

一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名

工人，运送一次可彳导利润350元，逑公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（）

（A）4650元（B）4700元（04900元（D）5000元

【基础训练】

1、（2012江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投

入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表W

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，师佩

那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）由怖蜥

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50ft6m

2.（2010广东文、理）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的

碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，

6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳

水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费

最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

3.（2016天津文）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种

肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

ABC

现有A种原料200吨,B种原料360吨，C种原料原0吨,在此基础上

甲483

生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；乙5510

生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（I）用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

简单的线性规划问题巩固练习

x+y-ll>0

1.(2010北京理)设不等式组<3x-y+3>0表示的平面区域为D,

5x-3y+9<0

若指数函数y=优的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是()

(A)(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,+8]

2.(2012福建理)若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足

x+y-3<Q

约束条件2y-340,则实数m的最大值为()

x>m

13

AA.一B.1C.一D.2

22

x+y>0

3.(2015福建文)变量满足约束条件<x—2y+220,若z=2x-y

mx-y<0

的最大值为2,则实数加等于()

A.-2B.-1C.1D.2

\x+y>l

4.(2009陕西理)若x,y满足约束条件<x-yN-l,目标函数z=ox+2y

2x-y<2

仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()

(A)(-l,2)(B)(-4,2)(C)(-4,0](D)(-2,4)

x>O

5.(2009安徽理)若不等式组]刀+3丫24所表示的平面区域被直线

3x+y<4

4

y=Ax+—分为面积相等的两部分，则攵的值是()

3

7343

(A)-(B)-(C)-(D)-

3734

6.(2007山东文)本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广

告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、

乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公

司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

3.4基本不等式

（一）基础知识回顾：

1.定理1.如果a,bwR,那么a?+b22ab,（当且仅当_____时，等号成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么（当且仅当时，等号成立）.

称_______为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。基本不等式又称为.

3.基本不等式的几何意义是：不小于.如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：

（一"正“；二"定”；三“相等”）

即：⑴“加”：是指加、积中的每一个数都必须是正数；

（2）“定”：是指求积的最大值时,应看和是否为定值；

求和的最小值时,应看积是否为定值；

简记为：和定积最,积定和最.

（3）“相等”：是指只有等号能够成立时，才有最值。

（-）例题分析：

例1.（2009天津理）设a>0力>0.若百是3"与3"的等比中项，则▲的最小值为（）

ab

A.8B.4C.1D.

4

11,

例2.（2011湖南理）设且贝I（Y0+））（=+4y?）的最小值为_________

y-x2

例3.（2012浙江文）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）

2428

A.—B.—C.5D.6

55

（三）基础训练：

1.（2011上海文、理）若且,必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a~+b~>2abB.a+〃N2JabC.—I—>■■■>—D.—卜一22

ab\]abab

14

2.（2011重庆理）已知a>0,b>0,a+b=2,则y=一+一的最小值是（）

ab

7八9

A.—B.4C.—D.5

22

3.（2014重庆文）若log4（3a+4/?）=log2J拓，则。+b的最小值为（）

A.6+2V3B.7+2A/3C.6+4"\/3D.7+4V3

4.（2008浙江文）已知。之0,bN0,且a+b=2,贝!|（）

（A）ab<-（B）ah>-（C）a2+b2>2（D）a2+b2<3

22

5.(2013福建文)若2'+2>'=1,则x+y的取值范围是()

A.[0,2]B.[—2,0]C.[—2,+oo)D.(—8,—2]

6.(2015福建文)若直线土+2=1(。>0/>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()

ab

A.2B.3C.4D.5

7、(2015湖南文)若实数a,b满足工+2=，石，则ab的最小值为()

ab

A、0B、2C、272D、4

8.(2010重庆理)己知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()

911

A.3B.4C.—D.—

22

9.(200()全国、江西、天津、广东)若a>6>1,P=Jig四1gb,Q=g(1ga+1gb),R=lg["；"),则()

(A)R<P<Q(B)P<Q<R(C)Q<P<R(D)P<R<Q

10.(2016上海文、理)设a>0">0.若关于的方程组I"+)'=L无解，则a+6的取值范围

\x+by-\

是.

11.（2011浙江理）设x,y为实数，若4/+^+孙=i,则2x+y的最大值是,

12.（2010浙江文）若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是。

13.（2014上海文、理）若实数x,y满足xy=l,则/+2y2的最小值为.

Y-V

14.（2015山东文）定义运算"®"：=-----—（x,yc氏孙W0）,当x>0,y>0时,

孙

x（8）y+（2y）（8）x的最小值是.

x

15.（2010山东理）若对任意x>0,--------Wa,则实数a的取值范围是__________.

x2+3x+i

16.（2013天津文）设〃+6=2">0,则一!一+⑷的最小值为_____.

214|h

专题辅导：基本不等式的应用

（-）例题分析：

例L用篱笆围一个面积为100，〃2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最

短的篱笆是多少？

例2.（2011北京文）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，则

X

平均仓储时间为一天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费

8

用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

（A）60件（B）80件（C）100件（D）120件

例3.（2001江西、陕西、天津文，全国文、理）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的

宽与高的比为2（/1<1）,画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与

宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（二）基础训练：

1.（2014福建文、理）要制作一个容积为4加3,高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面

造价是.每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（一）

A80元B.120元C.160元D240元

3x-y-6<0

2.（2009山东理）设x,y满足约束条件<X—y4-2>0,若目标函数z二ax+by(a>0,b>0)的

x>0,y>0

最大值为12,则2*+巳3的最小值为（

).

ah

25811

A.—B.—C.—D.4

633

3.（2012陕西文）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b）,其全程的平均时速为v,则（）

f—r{—r/—ra+ba+b

A.avwVR?B.v=7abC.\Jab<v<----D.v=-----

22

2

4.（2011江苏）在平面直角坐标系x。），中，过坐标原点的一条直线与函数/（x）=—的图象交于

x

P、Q两点，则线段PQ长的最小值是

5.用一段长为30m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,这个菜园的最大面积是.

2x-y+2>Q

6、（2010安徽理）设满足约束条件<8x—y—4W0,若目标函数z=a/zx+）（a>0力>0）的

%>0,y>0

最大值为8,则a+匕的最小值为。

bx-\-ay-ab<Q

7.已知直线/：三+2=1（。>0,/>0）过点/2,4）,问当2、1）为何值时,由不等式组《x>0

ab

”0

所表示的平面区域的面积最小？并求出这个最小面积。

8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y

（千辆/小时）与汽车的平均速度。（千米〃J、时）之间的函数关系为：y=,92。。——（°>0）.

u2+3^+1600

（1）在该时段内，当汽车的平均速度。为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?（精确到0.1千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆〃J、时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

9.（2009湖北文）围建一个面积为360n?的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙

需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已

知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。

（I）将总费用y表示为x的函数：

（II）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

历届高考中的不等式试题精选（自我测试）

1.(2007湖南理)不等式二工WO的解集是()

X+1

A.(-00,-1)|J(-1,2]B.[—1,2]C.(―8,—1)U[2,+8)D.(—1,2]

2.（2004北京文、理）已知a、b、c满足,且，那么下列选项中一定成立的是（）

A.B.C.D.

3.（2011陕西文）设则下列不等式中正确的是（)

A.a<b<\[ab<B.a<4ab<"+"<b

22

r-ra+b,

C.a<y[ab<h<—D.yjab<a<------<h