苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1-3两条直线的平行与垂直练习含答案

1.3两条直线的平行与垂直基础过关练题组一两条直线平行1.(2023吉林临江第二中学月考)下列说法中正确的有()①若两条直线的斜率相等,则两直线平行;②若两直线平行,则两直线斜率相等;③若两直线中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则两直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2024河南郑州月考)已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,3),B(−2,−23),则l1,lA.平行或重合B.平行C.垂直D.以上都不对3.(2024安徽亳州涡阳第三中学月考)已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则1mA.2B.22C.44.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为.

题组二两条直线垂直5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则AB边上的高CD所在直线的方程是()A.x+5y-5=0B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0D.2x-y-5=06.(2023江苏南京师范大学附属中学月考)两条平行直线l1,l2分别经过A(1,1),B(0,-1)两点,当l1,l2间的距离最大时,l1的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0D.2x-y-3=07.(2024福建福清西山学校月考)已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,则2aA.2B.4C.6D.88.(2023浙江宁波余姚中学月考)已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则点A的坐标为()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)题组三直线平行与垂直的综合应用9.(2023江苏连云港高级中学月考)顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,所构成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对10.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等11.(2024江西宜春月考)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:(1)AD边所在直线的方程;(2)对角线BD所在直线的方程.能力提升练题组一两条直线平行1.(2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2021,2022)与(m,n)重合,则m+n=()A.1B.2023C.4043D.40462.(教材深研拓展)(多选题)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,则经过点D且与直线AD夹角为45°的直线l的方程为()A.2x-7y-1=0B.7x+2y-31=0C.7x+2y-16=0D.2x-7y+29=03.(2024河南濮阳第一高级中学月考)三角形的欧拉线:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为()A.-2B.-1C.-3D.34.(2024江苏盐城中学学情检测)设集合A=(x,y)y-3x-1=2,5.(2023河南驻马店期末)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.题组二两条直线垂直6.如图,分别以Rt△ABC的直角边AB,斜边BC为其中一边向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG,则向量GA和A.45°B.60°C.90°D.120°7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=.

8.(2023山东淄博第四中学期末)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC的中点为D(0,2),斜边上的中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为.

题组三直线平行与垂直的综合应用9.(多选题)△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是()A.边BC与直线3x-2y+1=0平行B.BC边上的高所在直线的方程为3x+2y-12=0C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-13=0D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点(3,5)10.(2024福建连江尚德中学一诊)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.

答案与分层梯度式解析1.3两条直线的平行与垂直基础过关练1.A①④中两条直线还有可能重合,②中两直线斜率还有可能都不存在,易知③正确.故选A.2.A由题意得l2的斜率k2=3-(-2∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan60°=3,故l1与l2平行或重合.故选A.3.D∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0),∴1m+2n当且仅当4mn=∴1m+24.答案3x+4y-24=0解析解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-34x−9∴设所求直线方程为y=-34令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b由题意知,b>0且4b∴所求直线的方程为y=-34解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).令x=0,得y=-m4;令y=0,得x=-m由题意得-m∴12×-∴所求直线的方程为3x+4y-24=0.5.D由题意知kAB=0-23-(-1)=−12,则kCD=-16.A当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,因为kAB=1-(-1)1-0=2,所以直线l1的斜率k=-1所以直线l1的方程为y-1=-12故选A.7.D因为l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以2a+1b=(a+2b)2a+1b=4+8.A∵H为△ABC的垂心,∴AH⊥BC,BH⊥AC.又kBC=3-1-6-2∴直线AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5.设A(x,y),则k∴A(-19,-62).9.B由题意得kAB=3-5-4-2=13,kCD=3-06-(-3)=kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形.故选B.10.AC对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A中说法正确;对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中说法不正确;对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C中说法正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D中说法不正确.故选AC.11.解析(1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC=-5-(-1)6-8=2,∵AD∥BC,∴kAD∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.(2)易求得kAC=-5-76-(-4)=−65.∵BD⊥AC,∴k易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1),∴对角线BD所在直线的方程为y-1=56能力提升练1.C设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB=4-0-2-2由题知过点(2021,2022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,所以n-2022m-2021=-1,整理得m+n=2021+2022=4043.2.BD如图,由已知得,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD.由题意得kAB=kCD=-4-2-2设D(x,y),则y-1x故点D的坐标为(3,5),所以kAD=5+43+2设所求直线l的斜率为k,则tan45°=k-951+9所以直线l的方程为2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故选BD.知识拓展到角公式与夹角公式:若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线l1到l2的角的公式为tanθ=k2-k11+k2k1,直线l13.C△ABC的重心为-3+3+33在直角坐标系中画出△ABC可知BC⊥AB,所以外心为斜边AC的中点-3+32,0+3所以△ABC的欧拉线方程为y-1因为直线ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,所以a1=a-3规律总结求解本题的关键是明确三角形的三心,重心即三条中线的交点,垂心即三条高所在直线的交点,外心即三条垂直平分线的交点,同时对结论“直角三角形的外心是斜边的中点”的灵活应用.4.答案-2或4解析集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合,集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-4a易错警示集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略.5.解析(1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且log8x1x1=log(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,所以x2=x13,将其代入log8x1x1=log8x2x2,得x13log8x1所以x1=3,于是A(3,log6.C建立如图所示的平面直角坐标系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,设BC=1,∠ABC=θ,则G(0,0),C(1,1),AB=BC·cosθ=cosθ,BH=AB·cosθ=cos2θ,AH=ABsinθ=cosθsinθ,易知△ABH≌△BDI,故BI=AH=cosθsinθ,DI=BH=cos2θ,∴A(cos2θ,1-cosθsinθ),D(cosθsinθ,1+cos2θ),∴kAG=1-cosθ故kAGkCD=-1,所以GA和DC的夹角为90°,故选7.答案±1解析如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°.①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,∴tanα1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-α2)cos(90°-α2)=cosα2sinα综上,k=±1.8.答案x-3y+1=0解析∵中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,∴可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a<b),由AC的中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3),∴kAE=-3b∵△ABC为等腰直角三角形,CE为中线,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+10a+b=kAB连接DE,∵CE=AE,D是AC的中点,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴-3a化简得2ab=3(a+b)-5②,由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),则E(2,1),∴直线AB的方程为y-1=139.BD由题意得直线BC的斜率k=7-36-0=2易得BC边上的高所在直线的斜率为-32,故直线方程为y=-32(x-4),即3x+2y-12=0,B当直线不过原点时,