专题22椭圆及其标准方程6种常见考法归类（原卷版）

专题22椭圆及其标准方程6种常见考法归类1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：（1）当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)只有同时满足两个焦点F1，F2在坐标轴上，线段F1F2的中点是坐标原点．这两个条件时，所得到的方程才是标准方程．2、椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2注：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．3、在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．4、椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．(3)一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.5、椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于eq\f(x,a)与eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．6、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．7、椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值或取值范围.（1）求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标.（2）已知方程求参数的值或取值范围时，需注意：对于方程eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程，需先进行转化.8、利用待定系数法求椭圆的标准方程的思路采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤为：主要步骤可归纳为“先定位，再定量”．需要注意的是：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．9、椭圆的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．焦点三角形的常用公式：(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).10、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．考点一椭圆的定义及其应用考点二椭圆标准方程的识别考点三求椭圆的标准方程考点四根据椭圆方程求相关量考点五椭圆中的焦点三角形问题（一）求焦点三角形的内角或边长（二）椭圆中焦点三角形的周长问题（三）椭圆中焦点三角形的面积问题（四）椭圆中焦点三角形的内切圆问题（五）与椭圆焦点三角形有关的最值问题考点六与椭圆有关的轨迹问题考点一椭圆的定义及其应用1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（2）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（3）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．()（4）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足.()2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆3．（2023·全国·高三专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是4．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线5．（2024·全国·高三专题练习）椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于.考点二椭圆标准方程的识别6．（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（

）A． B．C． D．7．（2023·江苏·高二专题练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023·江苏·高二专题练习）方程表示椭圆的充要条件是．9．【多选】（2024·全国·高三专题练习）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．（2023秋·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．12．（2023秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．13．（2023·江苏·高二专题练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．14．（2023·全国·高二专题练习）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则15．【多选】（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则考点三求椭圆的标准方程16．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．17．（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程.18．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点；(2)经过两点，．19．（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)经过点和点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.20．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．(4)经过点，两点；(5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点.(6)焦点坐标为，过点；(7)经过两点．考点四根据椭圆方程求相关量21．（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）椭圆的焦点坐标为（

）A． B． C． D．22．（2023·全国·高二随堂练习）求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：(1)；(2)；(3).23．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的一个焦点的坐标为，则（

）A．1 B．2 C．5 D．924．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的一个焦点，则实数（

）A．6 B．C．24 D．25．（2023·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为．考点五椭圆中的焦点三角形问题求焦点三角形的内角或边长26．（2023秋·陕西延安·高二校考期末）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为.27．（2024·全国·高三专题练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．528．（2023秋·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．2529．（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或230．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝.31．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．32．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．33．【多选】（2024·全国·高三专题练习）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5椭圆中焦点三角形的周长问题34．（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（

）A．20 B．16 C．18 D．1435．（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（

）A．6 B． C．8 D．1036．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．237．（2023秋·高二课时练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）A．12 B． C．16 D．10椭圆中焦点三角形的面积问题38．（2023·全国·高二专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．39．【多选】（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．40．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．41．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．42．（2023·江苏·高二专题练习）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.43．（2023·全国·高二随堂练习）已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积.44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为45．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．椭圆中焦点三角形的内切圆问题46．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（

）A．3 B．2 C． D．47．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆的左右焦点分别为和，离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，且线段，则的内切圆半径等于.48．（2017·北京·高三强基计划）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4与椭圆焦点三角形有关的最值问题49．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．50．（2023秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，51．（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．52．（2024·全国·高三专题练习）椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为，最小值为．53．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考阶段练习）已知､是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为；最小值为.54．【多选】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（

）A．的最小值