圆的计算综合题-2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（扬州专用）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题04圆的计算综合题

1.(2021•扬州)如图，四边形ABC。中，AD//BC,ZBAD=90°fCB=CD,连接班＞,

以点8为圆心，84长为半径作交BD于点、E.

(1)试判断。。与8的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=26，NBC£)=60。，求图中阴影部分的面积.

【详解】（1）过点B作5户，8,垂足为尸，

AD//BC,

：.ZADB=NCBD,

CB=CD,

:.NCBD=4CDB,

:.ZADB=ZCDB.

在AAQ和AFBZ）中，

"ADB=ZFDB

</BAD=NBFD,

BD=BD

:.^ABD=AFBD（AAS）,

.,.BF=BA,则点尸在圆8上，

二.CD与B相切；

（2）ZBCD=60°,CB=CD,

.•.MC£＞是等边三角形，

.\ZCBD=60°

BF工CD,

:.ZABD=/DBF=/CBF=30。,

:.ZABF=60°,

AB=BF=26，

.•.4D=。尸=4?•tan30。=2,

・•・阴影部分的面积=S^BD-S^ABE

」2昌2-30皿（2回

2360

=2石—71.

2.（2020•扬州）如图，AA6C内接于।O,ZB=60。，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC.

（1）试判断他与O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6,求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析；（2）66-2万

【详解】（1）证明：连接。4、AD,如图,

CD为。的直径，

.-.ZDAC=90°,

又一ZADC=ZB=60°,

.〔NACE=30。，

又一AE=AC,OA=OD,

.•.A4DO为等边三角形，

:.ZAEC=30°,ZAfX>=ZDAO=60°,

.•.Z£A»=30°,

：.AEAD+ZDAO=90°,

:.ZEAO=90°,即O4_LM,

.♦.AE为。的切线;

(2)解：由(1)可知为直角三角形，且NE=30。，

:.OA=2拒,AE=6,

阴影部分的面积为」X6X2g—60万X(2V3)-=6&_2乃•

2360

故阴影部分的面积为6百-2%.

EA

3.(2019•扬州)如图，45是O的弦，过点O作OC_LC4,OC交4?于尸，CP=BC.

(1)求证：8c是”的切线；

(2)已知440=25。，点Q是AmB上的一点.

①求ZAQ8的度数；

②若。4=18,求的长.

【答案】（1）见解析；（2）①65。；②23万

【详解】（1）证明：连接03,

OA=OB,

ZOAB=ZOBA,

PC=CB,

:.NCPB=NPBC,

ZAPO=/CPB,

ZAPO=/CBP,

OC±OA,

:.ZAOP=90°，

:.ZOAP-^ZAPO=90°,

:,ZCBP+ZABO=90°,

..NCBO=90°,

；.BC是O的切线；

(2)解：①，ZBAO=25°,

:.ZABO=25°,ZAPO=65°,

ZPOB=ZAPO-ZABO=40°,

/.ZAQB=g(ZAOP+NPOB)=-xl30°=65°；

②-ZAQB=65°,

2408=130°,

弧AQB的度数=360°-130°=230°,

m在弧AB上，

AmB的长=A0B的长=23°皿18=

180

4.（2018♦扬州）如图，在A48c中，AB=AC,4O_LBC于点O,于点E,以

点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.

（1）求证：AC是；。的切线：

（2）若点F是OA的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是3C边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的

【答案】（1）见解析；（2）邛-3兀;（3）6

2

【详解】（1）证明：作O"_LAC于H,如图，

AB=AC,40_18。于点0，

二.AO平分N&4C,

OE±AB,OH.LAC,

:.OH=OE,

.•.4。是O的切线；

(2)解：•点f是AO的中点，

.•.49=20尸=6,

而OE=3，

.\ZOAE=30°,ZAO石=60。，

AE=>/3OE=3yj39

，图中阴影部分的面.积=Sw「S扇形.=；x3x34-如票=曳姿

ZJOU2

(3)解：作尸点关于8c的对称点尸，连接EF交BC于P,如图，

PF=PF,

:.PE+PF=PE+PF=EF,此时EP+EP最小，

OF，=OF=OE,

:.ZF=4OEF,

而ZAQE=/k+/OEF=60°,

.•.”=30。，

:.ZF=ZEAF,

,\EF,=EA=3y/3,

即。石+。尸最小值为3JJ，

在RgOPF中，OP=—OFr=yf3,

3

在RtAABO中，OB=BOA=Bx6=273,

33

BP=2+-£=&,

即当PE+PF取最小值时，3P的长为由.

A

5.（2017•扬州）如图，已知平行四边形。4BC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆

上，过点C作分别交AB、AO的延长线于点。、E,/正交半圆。于点尸，连

接CF.

（1）判断直线上与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）①求证：CF=OC；

②若半圆。的半径为12,求阴影部分的周长.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4灯+12+126

【详解】（1）结论：DE是］。的切线.

理由：CDJ.AD.

.•.ND=90°,

四边形0SC是平行四边形，

.•.AO平行OC,

:.ZD=ZOCE=90°,

.-.COA.DE,

；.DE是。的切线.

（2）①连接BP.

四边形O4BC是平行四边形，

:.BC//AF,AB=OC,

:.ZAFB=NCBF,

AB=CF,

:.AB=CF,

:.CF=OC.

CF=OC=OF,

:.XCOF是等边三角形，

/.ZCOF=60°,

在RgOCE中，■OC=12,NCOE=60。，ZOCE=90P,

;.OE=2OC=24,EC=126,

OF=12,

:.EF=\2,

CF的长=^^=4万，

180

阴影部分的周长为4万+12+126.

6.（2021•广陵区校级一模）如图，A5是_0的直径，C是O上一点，OZ）J_3C于点£>,

过点C作O的切线，交QD的延长线于点E,连接BE.

（1）求证：3E与：；O相切；

（2）设OE交。于点尸，若。尸=1,BC=2&求阴影部分的周长.

【答案】（1）见解析；（2）473+-^-

3

【详解】（1）证明：连接OC,如图,

OD工BC,

CD=BD,

:.OE为BC的垂直平分线，

EB=EC，

1./EBC=NECB.

OB=OC,

/OBC=/OCB,

：.NOBC+ZEBC=NOCB+ZECB，

即：NOBE=NOCE,

CE为。的切线，

c.OCLCE,

:.NOCE=90°.

NOBE=90。,

:.OBA.BE.

OB是O的半径，

；.BE与O相切.

(2)解：设O的半径为R,则O£)=H-DF=R-1,OB=R,BD=-BC=y/3.

2

在RtAOBD中，

OD2+BD2=OB2,

1)2+(>/3)2=/?2,

解得R=2.

:.OD=\,08=2,

.-.ZOBD=30°,

.♦・N3O£>=60°,ZBOC=120。.

08=2,ZBOE=60°,

在RtAOBE中，8E=GO8=2G，

.•・阴影部分的周长为2x26+"上8=46+已

1803

7.(2021•宝应县一模)如图，AABC中，ZACB=90°,N1R4c的平分线交8c于点O,以

点O为圆心，OC长为半径作圆.

(1)求证：/W是。的切线；

(2)若N8=30。，8c=12,求阴影部分面积.

【答案】（1）见解析；（2）1673--

3

【详解】（1）证明：过O作8_LA8F。，如图所示:

ZACB=90°,

.-.OC±AC,

OA平分ABAC,

:.OD=OC,

oc为o的半径，

:.OD为。的半径，

二45是。的切线；

（2）解：ODA.AB,

:.ZODB=90°,

ZB=30°,ZACB=90°-

A

:.OB=2OD,AC=—BC=4yfi,

3

OC=OD,BC=12,

:.BC=3OC=12,

:.OD=OC=4,

ZBOD=90°-30°=60°,

/.ZCOD=120°,

由（1）得：/IB是O的切线，OCLAC,

;.AC为O的切线，

:.AD=AC=4y[i,

阴影部分面积=MOC的面积+AAOD的面积-扇形OCD的面积

二3x4国4+Jx4百X4-120万

22360

=1673--

3

8.（2021•江都区模拟）如图，A3是O的直径，C是；O上一点，过点C作。的切线，

交8A的延长线交于点。，过点8作8EJ_84,交DC延长线于点£,连接OE,交一。于

点尸，交BC于点、H,连接AC.

（1）求证：ZECB^ZEBCi

（2）连接班CO,若BF=5,sinZFBC=-,求AC的长.

【答案】（1）见解析；（2）工

3

【详解】（1）证明：BELBA于点,

:.BE是;。的切线，而又已知EC是O的切线，C为切点,

:.EC=EB,

:.^ECB=ZEBC；

（2）如图所示，连接即、CO,

E

EC=EB,OC=OB,

:.EOA.BC,

..NCHF=NCHO=90。,CH=BH,

•在RtABFH中，BF=5,sinZFBC=",

5

3

...FH=BF•sinNFBC=5义2=3，

5

.•・由勾股定理得：BH=4,

设OB=OF=x,在RtABOH中，由勾股定理得：

x2=42+(x-3)2,

25

:,x=—，

6

7

:.OH=-，

6

。为AB中点，H为BC中点、,

7

:.AC=2OH=~.

3

，AC的长为Z.

3

9.(2021•江都区模拟)如图，。是AABC的外接圆，ZABC=45°,OC//AD,AD交BC

的延长线于。，AB交OC于E.

(1)求证：49是；。的切线；

(2)若A£=5,BE=3,求图中阴影部分的面积.

B

讲------

【答案】(1)见解析；(2)5^7—10

【详解】(1)连接04.

AD//OC,

.\ZAOC+ZOAD=180°,

ZAOC=2ZABC=2x45°=90°,

NQ4£>=90。，

.\OA±ADf

是O的半径，

・•.AO是O的切线；

(2)AO=CO且NAOC=90。，

,'.ZACO=ZCAO=45°f

B|JZB=ZACE,

•「ZCAE=ZBAC,

・,.AAECSAACB,

AEAC

••---=---,

ACAB

AC2=AEAB=40,

AC=2y/\0,

在RtAAOC中，

2OA2=AC2=40,

AO=CO=2后,

S明杉=S扇形Q»C~SAAOC==5^-10.

JOU

D

10.（2021•祁江区二模）如图，已知A4co是底角为30。的等腰三角形，8为4）上一点,

以43为直径的.。恰好过点C.

（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；

（2）M为.O下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足NMCB=ZDCB,已知半径等于2,

求弧AM的长.

【答案】（1）见解析；（2）—

3

【详解】（1）直线CD与O相切，理由如下:

连接co，如图所示.

AC=DC,ZCAD=ZCDA=30°,

且。4=OC,

.•.NC4Q=ZACO，

ZCOD=ZCAO+ZACO=2ZCAO=60°,

ZCOD+ZCDA=60°+30°=90°，

:.ZOCD=90°,

又oc为半径，

故直线C£＞与圆O相切.

（2）4?为直径，

/.ZACfi=90°,

又NC4D=NCD4=30°,

/.^CBA=60°=ZCDA+ZDCB,

.­.ZZX?B=30°.

当ZMCB=ZDCB=30°时，

则BC=MB,

ACB=AMB,

AM=AC.

ZCOB=60°,

ZAOC=120°,

"型”生=所

18003

故弧AM长为”.

11.（2021♦宝应县二模）如图，AB为O的直径，。为O上一点，AD与过C点的直线

互相垂直，垂足为。，AC平分ND4B.

（1）求证：DC为O的切线;

求劣弧AC的长.

【答案】（1）见解析；（2）—7T

3

AC平分NZMB，

:.ZDAC=ABAC.

OA=OC,

:,ZBAC=ZACO,

ZDAC=ZACO,

:.AD//OC,

ADLDC,

:.OC.LDC,

OC过o,

，OC为.。的切线;

（2）解：ADA.DC,

ZADC=90°,

AD=3，DC=5/3,

tanZDAC=—=—,

AD3

zmc=30°,

/.NBAC=ZACO=Z.DAC=30°.AC=2DC=2y/3,

ZA（?C=180°-30°-30°=120°,

ZBAC=30°,

:.AB=2BC，

AC=2上,

(2BC)2=(2x/3)2+BC2,

解得：BC=2,AB=4,

即AO=2,

劣弧AC的长是眄血=±乃

1803

12.(2021•德城区二模)直角三角板ABC的斜边他的两个端点在O上，已知44c=30。，

直角边AC与。相交于点。，且点。是劣弧的中点.

D,D

O

图1图2

（1）如图1，判断直角边3C所在直线与O的位置关系，并说明理由;

（2）如图2,点P是斜边A3上的一个动点（与A、5不重合），DP的延长线交〔。于点Q,

连接24、QB.

①AD=6,PD=4,则AB=；PQ=

②当点P在斜边43上运动时，求证：QA+QB=y[3QD.

【答案】（1）见解析；（2）①6力：5；②见解析

【详解】⑴解:3。所在的直线与O相切.

理由如下：

如图1,连接04,BD.

ZBAC=30°,

/.NBOD=60。,

OB=OD,

MOD是等边三角形，

.・.ZBDO=ZDBO=60°,

点。是劣弧AB的中点，

ZAOD=ZBOD=60°,

OD=OA,

二.A48是等边三角形，

:.ZADO=60°.

ZADB=ZAIJO+NBDO=120°,

ZCDB=180°-ZA£>B=180°-120°=60°,

ZCBD=90°-ZCDB=90°-60°=30°,

NCBO=NCBD+ZDBO=600+30°=90°,

..CBA.OB,

03是O的半径，

:.BC是O的切线，即8C所在的直线与O相切;

⑵①AB与OZ）相交于点E,如图2,

由⑴可知，/^。。。。。都是等边三角形闰必^9神是。的半径,

四边形AC®。是菱形，

.1AB与8垂直平分，

AD=6,

:.DE=3,AE=3y[3.

AB=2AE=6y/3,

么4。=30。,点。是劣弧AB的中点，

・•.NDQA=NBQD、

・•.ZDQA=ZBAC=30°.

NQDA=ZADP,

/.^QDA^MDP,

DADP

~DQ~~DA

八八DA262八

"°=/=丁％

:.PQ=DQ-PD=9-4=5.

②如图3,过点。作ON_L8。交8。于点MOM_LAQ交A。的延长线于点M,

NOQA=N8QD=30。，

.•.QD是N804的角平分线，

:.DN=DM、QN=QM,

又,DB=DA、

RtADBN=RlADAM(HL),

BN=AM、

在RtADNQ中，cosNOQN=cos30°=^=等，

2QN=0QD,

CQD=2QN=2QM=QM+QA+AM=QB+QA.

即Q4+QB=GQ。.

13.(2021•仪征市二模)如图，3D是四边形？WCD的对角线，BD±AD,。是的

外接圆，ZBDC=ZBAD.

(1)求证：S是。的切线；

(2)连接OC交O于点、E,若4)=2,8=6,cosZBDC=--求CE的长.

【详解】（1）证明：连接8,

OD=OB,

•"ODB=NOBD,

BDLAD，

:.ZADB=90°，

/.ZABE>+ZA=90%

ZBDC=ZBAD,

・•.ZODB-^-ZBDC=90°,

:.OD1CD,

「.CD是O的切线；

(2)解：8是。的切线,

/.ZCDO=90°,

:.ZBDC+ZBDO=900,

BDLAD,

:.NCOD+ZBDO=90。,

NCOD=4BDC,

cosNBDC=L

3

fACAD1

cosNBA。==一,

AB3

AD=2,

AB=6,

:.OD=OE=3,

CD=6,

OC=>/CD2+OD2=3x/5,

:.CE=CO-OE=3y/5-3.

14.(2021•江都区二模)如图，AD是(。的直径，45为-0的弦，OPYAD,OP与AB

的延长线交于点尸.点C在OP上，且BC=PC.

(1)试判断直线BC与。的位置关系，并说明理由；

(2)若。4=3,AB=2,求3P的长.

D

p

【答案】（1）见解析；（2）7

【详解】（1）证明：连接03.

OA=OB,

:.ZA=ZOBA，

又BC=PC,

:.AP=NCBP,

OP.LAD,

/.ZA+ZP=90°,

.•.NOBA+NCBP=900,

・•.ZOBC=180°-（ZOBA+NCBP）=90°，

点B在《_。上，

，直线是O的切线，

（2）解：如图，连接。5.

AD是O的直径，

:.ZABD=90°,

OPA.AD,

:,ZAOP=90°，

:,ZABD=ZAOP

ZDAB=ZPAO

RtAABD^RtAAOP，

，空=丝，即2=色，

AOAP3AP

:.AP=9,

:.BP=AP-AB=9-2=7.

D

15.（2020•广陵区校级一模）如图，RtAABC中，ZABC=90°,以AB为直径的O交AC

于点。，E是3c的中点，连接。足、OE.

（1）判断DE与。的位置关系并说明理由.

（2）若。半径r=3,DE=4,求4）的长.

【答案】（1）见解析；（2）-

5

【详解】（1）连接。£＞、BD,如图所示.

点。为AB的中点，点E为的中点,

:.OE//AC,且AC=2QE,

:.ZA=ZBOE.

又・NBOD=2ZA,

/.ZDOE=ZA=ZBOE.

OB=OD

在ABOE和AZME中，\zBOE=ZDOE,

OE=OE

:△BOE"DOE（SAS）,

NODE=NOBE=90。,

..DE与_O相切；

（2）AB为O的直径，

:.BDLAC,

...ZADB=NBDC=90°,

:.ZADB=ZABC,

/.ZA+ZABD=ZA4-ZC=90°，

ZABD=NC,

：./\ABD^/SACB»

.AB_AC

"而一花’

AB=6,BC=2DE=8,

AC=10,

AB2=AD.AC,

.-.62=AZ)x10,

16.（2020•祁江区校级一模）如图，A5是。的直径，AC是。的切线，切点为A,BC

交（。于点。，点E是AC的中点.

（1）求证：直线上是O的切线；

（2）若一O半径为1,BC=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析；（2）J3--

Y3

【详解】（1）证明：连接。£、OD,如图,

.\ABrAC,

ZQ4C=90°,

.•点石是AC的中点，O点为的中点，

:.OE//BC,

••.Z1=ZB,Z2=Z3,

OB=OD,

/.ZB=Z3,

.・.N1=N2,

在AAOE和ADOE中

OA=OD

<Z1=Z2,

OE=OE

^AOE=/SDOE(SAS)

NODE=ZOAE=90°，

;.DE上OD,

OD为。的半径，

.・.DE为O的切线；

(2)O半径为1,

:.AB=2,

ZBAC=90°,BC=4,

二."=30。，AC=y/BC2-AB2=V42-22=2>/3,

/.ZB=60°,

/.ZAOD=2ZB=120°,

又.点七是AC的中点，

AE=-AC=y[3,

2

・•・图中阴影部分的面积间水及=2x；x*xjl^=口

2JoO3

17.(2020•仪征市二模)如图，四边形ABCD内接于O,且43=AC.延长CO至点E,

使CE=BD,连接AE.

(1)求证：AD平分ZBDE；

(2)若ABUCD,求证：AE是O的切线.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：AB=AC,

：.ZACB=ZABC,

四边形ABCD内接于O,

:.ZADE=ZABC,

ZADB=ZACB.

.\ZADE=ZADB,

・,.AD平分NBDE：

(2)解：AB//CD,

:.ZADE=ZDAB,

ZADE=ZABC=ZACB,ZADB=ZACB,

:.ZBAD=ZADB,

：.AB=BD,

AC=AB,CE=BD,

AC=ABfAB=CE,

・•.AT,LBC,

ABIICE,

四边形MCE是平行四边形，

:.AE//BC,

:.AT±AE,

」.AE是.O的切线.

18.（2020•广陵区二模）如图，43是。的直径，BC交。于点。，E是3。的中点,

连接AE交8c于点尸，ZACB=2/EAB.

（1）求证：AC是。的切线；

（2）若cosC=—,AC=8,求时的长.

【答案】（1）见解析；（2）-

3

【详解】（1）证明：如图①，连接

..BE=DE

：.ZDAE=ZEAB，

NC=2NEAB,

/.ZC=ZBAD.

A3是。的直径，

：.ZADB=ZADC=90°

.•.ZC+ZC4r>=90o

:.ZBAD+ZCAD=90°

即B4_LAC.

二.AC是O的切线.

(2)解：如图②，过点F做中，AB于点

图②

ADLBD,ZDAE=ZEAB,

:.FH=FD,且"///AC.

在RtAADC中，

3

cosC=—,AC=8,

4

CD=6.

a,

同理，在RtABAC中，可求得3C=—

3

：.BD=—

3

14

设。尸=工，则/7/=x,BF=——x

3

FH//AC,

:./BFH=/C.

FHQ

cosZBFH=—=-

BF4

解得x=2.

3

19.（2020•高邮市一模）如图，AB是O的直径，NM与。相切于点M,与45的延长

线交于点N,至于点

（1）求证：Z1=Z2：

（2）若NN=30。，BN=5,求。的半径：

（3）在（2）的条件下，求线段凯、及劣弧3M围成的阴影部分面积.

【答案】（1）见解析；（2）5；（3）^-―

【详解】（1）证明：连接OW,

M

NM与1O相切,

:.OMtMN,

OB=OM,

；.NOBM=NOMB,

NH工AB,

..N2+NA/8O=90。，

Z1+ABMO=ZNMO=90。,

.\Z1=Z2；

(2)Z/V=3O。，

MHLAB,

.­.Zl+Z2=60°,

/.Zl=Z2=30°,ZMO/V=60°,

:.BM=BN=5,

OB=OM，

「.△OB例为等边三角形，

：.OB=OM=BM=5,

即；。的半径为5；

(3)ill(2)知，Z7V=3O。，OM=5,

:.MN=56,

SXOMN=；MN.OM=gx5&x5=苧，

_60zrx52_25TT

扇形MOB=360;丁

线段aV、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积=SAM-S牌MOB="@-也.

20.(2020•高邮市二模)如图，在RtAABC中，NC=90。，以点8为圆心，适当的长为半

径作弧，分别交AB、BC于点M、N,再分别以点用、N为圆心，大于‘MN的长为半

2

径作弧，两弧交于点P,作射线5尸，交AC于点尸.点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB

的长为半径的圆恰好经过点F.

（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由;

（2）若3C=6,tanA=-,求。的半径.

4

【答案】（1）见解析；（2）-

4

【详解】（1）AC与O相切.

理由如下：连接。尸，如图，

由作法的即平分Z48C,

：./OBF=/CBF,

OB=OF,

1.NOBF=NOFB,

:./OFB=NCBF,

:.OF//BC,

.•.NOE4=NC=90。，

.\OF±AC,

「.AC为O的切线；

（2）在RtAABC中，tanA=—=-,

AC4

4

・..AC=-BC=8,

3

・・.AB=V62+82=10,

设的半径为厂，则0/=03=〃，04=10—尸，

OFIIBC.

AO:AB=OF:BC，

即（10—r）:10=r:6,解得r=£,

4

即（o的半径为手.

21.(2020•江都区二模)如图，四边形A38是。的内接四边形，AC为直径，BD^AD,

DEA.BC,垂足为£.

(1)求证：CD平分ZACE；

(2)判断直线£D与O的位置关系，并说明理由；

(3)若CE=2,AC=8,求阴影部分的面积.

【答案】(1)(2)见解析；⑶立兀-4拒

3

【详解】(1)证明：BD=AD,

:.ABAD=ZACD,

ZDCE=ZBAD,

ZACD=ZDCE,

即CD平分NACE；

(2)解：直线中与O相切.理由如下:

连接8,如图，

OC=OD,

:.ZOCD=ZODC,

而NOC£)=NDCE,

:.ZDCE=ZODC,

:.ODHBC,

DE工BC,

:.ODLDE,

..DE为O的切线;

(3)解：i^OH±BCTH,则四边形ODE”为矩形,

:.OD=EH，

CE=2,AC=8,

.・.OC=OD=4,

:.CH=HE-CE=4-2=2,

在RtAOHC中，/HOC=30°,

.・.ZCOD=60°,

・•・阴影部分的面积=S扇形0cD—SA0co

60•乃X42G〃

3604

=-7T—4y/3.

22.（2020•永康市一模）如图，已知一C过菱形的三个顶点3,A,D,连接班＞,

过点A作AE//8D交射线CB于点、E.

（1）求证：AE■是［C的切线.

（2）若半径为2,求图中线段AE、线段破和A8围成的部分的面积.

（3）在（2）的条件下，在C上取点F,连接质，使NZM尸=15。，求点F到直线4）的

距离.

【答案】（1）见解析；（2）2/-|左；（3）2-6或6-1

【详解】（1）证明：如图1中，连接AC,

/.ACrBD,

又一BD//AE,

AC±AE,

；.AE是O的切线.

(2)如图1中，•四边形ABCD是菱形，

AB=BC，

又AC=BC,

.•.AABC是等边三角形，

:.ZACB=60°,

AC=2,

/.AE=ACtan60°=2V3,

1_rr60••22/r2

5阴=3凶用一3扇形ACB=—><2x2^3TTZ-=2,3一工乃.

23003

(3)①如图2中，当点尸在AD上时,

..ZDCF=30°,

ZACD=60°,

:“CF=NFCD,

.■.点尸是弧A£＞的中点,

.-.CFA.AD,

.,.点F到直线AD的距离=CF-G4-cos30°=2->/3.

/.NDCF=30°,

过点C作CG_LA£）于3,过点尸作/7/_LCG于”，

可得"77=15°,ZHFC=30。，

:.CH=\,

.,.点F到直线AD的距离=CG-CH=ACcos300-CH=y/3-y.

综上所述，满足条件的点F到直线4）的距离为2-右或白-1.

23.（2020•祁江区二模）如图，RtAABC中，/C=90。，点O在斜边A5上，以O为圆心,

08长为半径作O,与BC交于点D,连接AD,已知ZCAD=ZB.

（1）求证：AD是O的切线；

（2）若BC=8,tanACAD=-,求。的半径.

【详解】（1）证明：连接8,

OB=OD,

.•.Z3=ZB，

ZB=Z1,

Z1=Z3,

在RtAACD中，Nl+N2=90。，

Z4=180°-(Z2+Z3)=90°,

S.OD1.AD,

则4)为圆。的切线；

(2)解：tanZC/4D=-,

2

/.tanB=-,设圆O的半径为尸，

2

在RtAABC中，AC=BCtanB=4,

根据勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=742+82=4^,

/.04=4>/5—r,

CD=ACtanN1=2,

根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20,

在RtAADO中，OA2=OD2+AD2,即(4不一=尸+20,

24.(2020•江都区三模)如图，在AABC中，AB=AC,以4?为直径作半圆.O,交BC于

点。，连接4),过点。作。EJ_AC,垂足为点E,交回的延长线于点

(1)求证：EF是的切线；

A

(2)如果.O的半径为5,cosZDAB=-,求所的长.

c

E

DA

A

【答案】⑴见解析；（2）—

7

【详解】（1）证明：连接OE）,如图,

AB为］O的直径，

:.ZADB=90°，

.\AD±BC,

AB=AC.

二.AD平分5C,即O3=DC,

OA=OB,

.•.OE＞为AABC的中位线，

:.OD//AC,

DE±AC,

：.OD工DE,

.•.EF是°C的切线;

(2)ZDAC=ZDAB,

:.ZADE=ZABD,

在RtAADB中，sinZADE=sinZABD=cosZZMB=—=-,而AB=10,

AB5

/.AD=8，

AJ7J

在RtAADE中，sinZADE=—=一，

AD5

AL32

..AE=—，

5

OD//AE,

AFDO^AFEA,

5

...变=a,即豆BF+5,

AEFA5BF+10

90

BF=—.

25.(2020•仪征市一模)在RtAABC中，ZC=9O°.

(1)按要求尺规作图，保留作图痕迹

①作NABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交于例，以MB为半径作圆：M；

(2)在(1)所作图形中，证明知与边AC相切；

(3)在(1)所作图形中，若NCFB=NCBA,BC=3,求一〃的半径.

【答案】(1)(2)见解析；(3)2

【详解】(1)如图所示①如即为所求;

②如图所示M为所求；

(2)证明：M在的垂直平分线上,

：.MF=MB,

:.ZMBF=ZMFB,

又・BF平分ZABC,

:"MBF=NCBF,

:.Z.CBF=ZMFB,

:.MFUBC，

NC=90°,

FMYAC,

"与边AC相切；

(3)NCFB=NCBA,

.-.ZA=ZCBF,

:.ZA=Z.CBF=ZABF,

/.ZA=30°,

BC=3，

:.AB=6,

设:用的半径为x,

：.MF=MB=x,则AW=2x,

MB+AM=AB，

/.3x=6,

..x=2,

.•一M的半径为2.

26.(2020•宝应县二模)如图，43是O的切线，切点为5,交O于点C,NAOB的

平分线交AB于点。，连接CD.

(1)求证：C£＞是.。的切线；

(2)若AD=2BD,CD=2,求2C、线段45及线段AC围成的阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析•；(2)6r-2%

【详解】(1)证明：钻是二O的切线,

.\ZABO=90°,

CD是NAO8的平分线，

・•.ZBOD=ACOD,

OB=OC,OD=OD,

:.\BOD=\COD{SAS),

・・./OCD=NOBD=9(f,

..CD是一O的切线；

(2)解：ABOD=ACOD,

:.BD=CD=2,

AD=2BD，

:.AD=2CD,

ZACD=90Q,

/.ZA=30°,

.\AD=4,

AB=4+2=6，

:.OB=2百,

480=90。，

.-.ZAOB=60°,

60.%x（2，5）2

阴影部分的面积=—AB-OB-S南彩uoc=5*6*25y5-=6,^3—ITI.

27.（2020•江都区三模）如图，AC是。的直径，3c是。的弦，点P是。外一点,

连接PB,AB,ZPBA=ZC.

（1）求证：P3是:。的切线；

（2）连接OP,交AB于点Q,若OPI/BC,且。尸=6,。的半径为2,求BC的长.

【答案】（1）见解析；（2）：-

3

【详解】（1）证明：连接。3,如图所示:

C

AC是O的直径,

.・.ZABC=90°,

/.ZC+ZJ3AC=90°,

OA=OB,

...ZBAC=ZOBA,

ZPBA=NC,

:.ZPBA+^OBA=900,

即尸3_LO3,

・•.PB是O的切线；

(2)解：。的半径为2,

;.OB=2,AC=4,

OP!IBC,

:,ZCBO=ZBOP,