第一章　培优点1　柯西不等式与权方和不等式-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

培优点1柯西不等式与权方和不等式题型一柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．2．二维形式的柯西不等式的变式(1)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(2)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(3)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)．3．二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)．例1已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值．解方法一由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(eq\r(3)x)2＋(eq\r(2)y)2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2))＝(3x2＋2y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2)))≤11.当且仅当eq\r(3)x·eq\f(1,\r(2))＝eq\r(2)y·eq\f(2,\r(3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(11),11)，,y＝\f(3\r(11),11)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(11),11)，,y＝－\f(3\r(11),11)))时等号成立，于是2x＋y的最大值为eq\r(11)，最小值为－eq\r(11).方法二由柯西不等式得|2x＋y|≤eq\r(\r(3)x2＋\r(2)y2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2)＝eq\r(3x2＋2y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2))))≤eq\r(11)，当且仅当eq\r(3)x·eq\f(1,\r(2))＝eq\r(2)y·eq\f(2,\r(3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(11),11)，,y＝\f(3\r(11),11)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(11),11)，,y＝－\f(3\r(11),11)))时等号成立，于是2x＋y的最大值为eq\r(11)，最小值为－eq\r(11).思维升华掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法．跟踪训练1设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________．答案4eq\r(5)解析∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，∴－4eq\r(5)≤x－2y≤4eq\r(5)，(*)当且仅当b＝ka，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(5),5)，,y＝－\f(8\r(5),5)))时，(*)式中右边等号成立，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(5),5)，,y＝\f(8\r(5),5)))时，(*)式中左边等号成立，∴当x＝eq\f(4\r(5),5)，y＝－eq\f(8\r(5),5)时，a·b的最大值为4eq\r(5).题型二权方和不等式1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)≥eq\f(\r(a)＋\r(b)2,x＋y)(当且仅当x∶y＝eq\r(a)∶eq\r(b)时，等号成立)．2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(a\o\al(m＋1,i),b\o\al(m,i))≥eq\f(\i\su(i＝1,n,a)im＋1,\i\su(i＝1,n,b)im)，当且仅当eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)时等号成立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次．例2(1)若x>0，y>0，eq\f(1,2x＋y)＋eq\f(3,x＋y)＝2，则6x＋5y的最小值为________．答案eq\f(13,2)＋2eq\r(3)解析eq\f(1,2x＋y)＋eq\f(3,x＋y)＝eq\f(1,2x＋y)＋eq\f(12,4x＋y)＝eq\f(12,2x＋y)＋eq\f(2\r(3)2,4x＋y)≥eq\f(1＋2\r(3)2,6x＋5y)＝eq\f(13＋4\r(3),6x＋5y)，即2≥eq\f(13＋4\r(3),6x＋5y)，因为x>0，y>0，则6x＋5y≥eq\f(13,2)＋2eq\r(3)，当且仅当eq\f(1,2x＋y)＝eq\f(2\r(3),4x＋y)，即x＝eq\f(3\r(3)－4,4)，y＝eq\f(5－\r(3),2)时取等号．(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则eq\f(x2,y＋2z)＋eq\f(y2,z＋2x)＋eq\f(z2,x＋2y)的最小值为________．答案eq\f(1,3)解析eq\f(x2,y＋2z)＋eq\f(y2,z＋2x)＋eq\f(z2,x＋2y)≥eq\f(x＋y＋z2,y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)＝eq\f(1,3)，当且仅当eq\f(x,y＋2z)＝eq\f(y,z＋2x)＝eq\f(z,x＋2y)，即x＝y＝z＝eq\f(1,3)时取等号．思维升华(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键．(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式．(3)关于带根号的式子，将分子变为eq\f(3,2)次，分母为eq\f(1,2)次．跟踪训练2(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(1,x2)＋eq\f(8,y2)的最小值为________．答案27解析eq\f(1,x2)＋eq\f(8,y2)＝eq\f(13,x2)＋eq\f(23,y2)≥eq\f(1＋23,x＋y2)＝27，当且仅当eq\f(1,x)＝eq\f(2,y)，即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)时取等号．(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则eq\f(2,a＋b)＋eq\f(2,b＋c)＋eq\f(2,a＋c)的最小值为()A．1B．3C．6D．9答案D解析∵a＋b＋c＝1，∴eq\f(2,a＋b)＋eq\f(2,b＋c)＋eq\f(2,a＋c)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,a＋b)＋\f(12,b＋c)＋\f(12,a＋c)))≥eq\f(2×1＋1＋12,a＋b＋b＋c＋a＋c)＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立．1．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋eq\r(3)y的最小值是()A．－5B．－6C．3D．4答案A解析∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，∴eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)))(16＋9)≥(2x＋eq\r(3)y)2，即－5≤2x＋eq\r(3)y≤5，当且仅当3eq\r(3)x＝8y，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,5)，,y＝－\f(3\r(3),5)))时，左边取等号，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(3\r(3),5)))时，右边取等号，∴z＝2x＋eq\r(3)y的最小值是－5.2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时，等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))的最小值为()A．16B．25C．36D．49答案B解析因为a，b，x，y>0，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时，等号成立，又0<x<eq\f(1,2)，即1－2x>0，于是得f(x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(32,1－2x)≥eq\f(2＋32,2x＋1－2x)＝25，当且仅当eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)，即x＝eq\f(1,5)时，等号成立，所以函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))的最小值为25.3．若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为()A．14B.eq\f(1,14)C．29D.eq\f(1,29)答案B解析根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥eq\f(1,14)，当且仅当x＝eq\f(1,14)，y＝eq\f(1,7)，z＝eq\f(3,14)时等号成立．4．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)的最小值为________．答案36解析eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝eq\f(12,x)＋eq\f(22,y)＋eq\f(32,z)≥eq\f(1＋2＋32,x＋y＋z)＝36，当且仅当eq\f(1,x)＝eq\f(2,y)＝eq\f(3,z)，即x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,2)时取等号．5．f(x)＝eq\f(5,2sin2x＋3)＋eq\f(8,5cos2x＋6)的最小值为________．答案eq\f(81,37)解析f(x)＝eq\f(5,2sin2x＋3)＋eq\f(8,5cos2x＋6)＝eq\f(52,52sin2x＋3)＋eq\f(42,25cos2x＋6)≥eq\f(5＋42,10sin2x＋cos2x＋27)＝eq\f(81,37)，当且仅当eq\f(5,52sin2x＋3)＝eq\f(4,25cos2x＋6)，即sinx＝±eq\f(\r(5),3)，cosx＝±eq\f(2,3)时取等号．6．若a>1，b>1，则eq\f(