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文档简介
2021-2022学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题一、单选题1.“”是“指数函数在上是严格减函数”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据定义,分充分性和必要性分别判断即可.【详解】充分性:时,在上是严格减函数成立,故充分性满足;必要性:由“指数函数在上是严格减函数”可得:,所以不一定成立,故必要性不满足.故“”是“指数函数在上是严格减函数”的充分非必要条件.故选:A.2.任意,下列式子中最小值为2的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】A.通过举例排除;BCD通过基本不等式及等号的成立条件来判断.【详解】A.当时,,排除;B.,当且仅当时等号成立,符合;C.,当且仅当时等号成立,排除;D.,当且仅当时等号成立,故等号不能成立,则,排除.故选:B.3.若,则等于A. B.C. D.【答案】B【分析】先化为,化再利用换底公式化简,解得,最后利用换底公式求结果.【详解】∵18b=5,∴,又,联立解得.∴.故选B.【点睛】本题考查换底公式,考查基本化简求解能力.4.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征,如函数()的图像不可能是()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性,分类,和三种情况分类讨论,结合选项,即可求解.【详解】由题意,函数的定义域为关于原点对称,且,所以函数为偶函数,图象关于原点对称,当时,函数且,图象如选项B中的图象;当时,若时,函数,可得,函数在区间单调递增,此时选项C符合题意;当时,若时,可得,则,令,解得,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以选项D符合题意.故选:A.二、填空题5.已知全集,集合,则_____________.【答案】【分析】根据补集运算得到答案即可.【详解】因为全集,集合,所以故答案为:6.函数的定义域为_____________.【答案】【分析】要使函数有意义,则有,解出即可.【详解】要使函数有意义,则有,即,解得故答案为:7.已知幂函数的图象过点,则______.【答案】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式,然后可得的值.【详解】由题意设,∵函数的图象过点,∴,∴,∴,∴.故答案为.【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式,解题时注意用待定系数法求解函数的解析式,属于基础题.8.当时,求的值___________.【答案】0【分析】由直接取绝对值号,进行开方运算即可求得.【详解】因为,所以.故答案为:09.计算:_______.【答案】5【分析】利用对数运算性质求解即可.【详解】.故答案为:10.用反证法证明“设,求证”时,第一步的假设是______________.【答案】【解析】根据反证法的步骤:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.即可得解;【详解】解:用反证法证明“设,求证”,第一步为假设结论不成立,即假设故答案为:【点睛】此题主要考查了反证法的第一步,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.11.已知是关于的方程的两个根,则________.【答案】4【分析】由条件可得,,然后利用算出答案即可.【详解】因为是关于的方程的两个根,所以,,所以故答案为:412.已知,则的最小值为________.【答案】【分析】首先根据题意得到,再利用基本不等式求解即可.【详解】因为,所以,所以.当且仅当,即时取等号.所以的最小值为.故答案为:13.若函数在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下:那么方程的一个近似解为_________(精确到0.1).【答案】1.3【分析】根据,可以判定函数零点所在区间即可求得近似解.【详解】由题可得,,所以函数零点所在区间由题:0.1,所以其近似解为1.3.故答案为:1.314.若是奇函数,当时,则__________.【答案】【分析】根据题设条件,利用,即可求解.【详解】由题意,函数是奇函数,当时,所以.故答案为:.15.已知问题:“恒成立,求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论:小明说可以分类讨论,将不等式左边的两个绝对值打开;小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题,并写出实数的取值范围___________.【答案】【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式,所以恒成立,只需,所以或解得.故答案为:16.已知函数,若,则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据函数单调性分段处理即可得解.【详解】由题函数在单调递增,在为常数函数,且若则或或则或或解得:或或,综上所述:故答案为:三、解答题17.已知a,b都是正实数,求证:,并指出等号成立的条件.【答案】证明见解析【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明:所以,且等号当且仅当时成立18.设不等式的解集为,不等式的解集为.(1)求集合、;(2)已知全集,求.【答案】(1),;(2)或.【分析】(1)解两不等式可得出集合、;(2)求出集合,利用补集的定义可求得集合.(1)解:由可得,解得,由可得,因此,,.(2)解:由(1)可得,因此,或.19.已知函数(1)求函数的值域;(2)求证:函数在上是严格减函数.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由可推出答案;(2)利用定义证明即可.(1)因为,所以所以函数的值域为(2)设是上任意给定的两个实数,且,则,,,函数在上是严格减函数20.浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费),某校数学建模社团根据调查发现:该购物中心开业一个月内(以30天计),每天打卡人数与第天近似地满足函数(万人),k为正常数,且第8天的打卡人数为9万人.(1)求k的值;(2)经调查,打卡市民(含观光)的人均消费(元)与第天近似地满足下表:x(天)101418222630(元)131135139143139135现给出以下三种函数模型:①,②,③.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光)的人均消费(元)与第天的关系,并求出该函数的解析式;(3)请在问题(1),(2)的基础上,求出该购物中心日营业收入(,x为正整数)的最小值(单位:万元).(注:日营业收入=日打卡人数人均消费).【答案】(1)8;(2)函数模型②满足要求,;(3)1116万元.【分析】(1)直接根据即可求出的值;(2)根据表格可知的值先增大,后减小,从而可得到函数模型②满足要求;然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案;(3)分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号,从而可求函数的最小值.(1)因为第天的打卡人数为万人,所有,解得.(2)由表格,可知的值先增大,后减小,所以显然,函数模型②满足要求,又由表格可知,代入,得,解得,所以.(3)易知,当且为正整数时,,因为为减函数,所以;当且为正整数时,,所以,当且仅当时等号成立.综上知,该商场在第30天时日营业收入最小,最小为1116万元.21.已知函数.(1)求方程的解;(2)若关于的方程在上有实数解,求实数的取值范围;(3)若将区间划分成2021个小区间,且满足,使得和式恒成
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