平面向量的应用

平面向量的应用

她

1平面几何中的向量方法

①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如

全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的

许多问题都可用向量运算的方法加以解决.

②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

Eg点4、B、C、D不在同一直线上

(1)证明直线平行或共线：AB//CD»AB//CD

(2)证明直线垂直：ABLCD^>AB-CD=0

(3)求线段比值：g=|川且。B〃CDo荏=ACD

(4)证明线段相等：荏2=而2=as=CD

2向量在物理中的应用

①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；

②力的合成与分解符合平行四边形法则.

经典例题

【题型一】平面向量在几何中的应用

【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

去-------

--------逸

【证明】设四边形4BCC的对角线AC、BD交于点0,且4。=0C,B0=0D

一1一1—.一1—，1一

-：AB=-AC+-DB,DC=-DB+-AC

2222

■.AB=DC,即=且4B〃DC

所以四边形4BCD是平行四边形

即对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【点拨】

①证明四边形是平行四边形QAB=CC且4B〃DC^AB=DC.

②证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.

【典题2】已知平行四边形4BC0的对角线为AC、BD,^.vEAC2+BD2=2（AB2+AD2）

（即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍）.

【证明】由In『=前2=（荏+而）2=|前『+।而『+2荏而

\DB\2=而2=（荏_而『_画2+而『_2而.而

两式相加得|荷2+|函2=2（1画2+|珂2）

2

即+BD2=2（AB2+AD）

【点拨】利用I怒|2=可证明线段长度关系.

【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

【证明】（分析设H是高线BE、C户的交点，再证明4H1BC,则三条高线就交于一点.）

设H是高线BE,CF的交点，

则有丽=丽一说，CH=AH-AC,JC=AC-AB

■­'BH1AC,CH1.AB

■■■（AH-AB）-AC=（AH-AC"）AB=O

化简得用■（AC-AB）=0

AHJC=0则4"1BC

（向量中证明4BJ.CD,只需要证明通,而=0）

所以三角形三条高线交于一点.

【典题4】证明三角形三条中线交于一点.

【证明】（分析设BE、4F交于O,证明C、0、。三点共线便可）

AF.CD、BE是三角形ABC的三条中线

c

•••点。是中点，.••而=+CB)

连接EF,易证明A/WB〜AFOE,且相似比是2：1,

・・.B0=2抑，

・・・丽=3+丽=丽+|锯=丽+|画+AE)

—>2/—>―»1—»\1―»―，

=CB+-^BC-^-CA^-ACj=-(CA+CB)

CO=|CD即C、。、D三点共线，

(向量中证明三点4、B、C共线，只需证明南=4后)

AF.CD.BE交于一点,

即三角形三条中线交于一点.

巩固练习

1(★★)如图，E,F分别是四边形ABCO的边AO,BC的中点，4B=1,CO=2,/4BC=75。,

乙BCD=45°,则线段EF的长是.

【答案】?

【解析】由图象，得百：以+法+而，EF=ED+DC+CF.

■.-E,尸分别是四边形力比77的边40,5C的中点，

—>—>—>——»—»—»—>—♦

・・・2EF=(EA+ED)+(AB+DC)+(BF+CF)=AB^DC.

,•ZABC=75。,乙员刀=45。，・・・V4k亦>=60。，

■■■\EF\+DC)2=^AB2+DC2+2\AB\-\DC\cos<AB,DO

=-/l2+22+2x1x2xi=—.

2yJ22

.・•必的长为y.

故答案为日.

2(★★)证明勾股定理，在RS4BC中，2C1BC,AC=b,BC=a,AB=c,则c2=a2+b2.

【证明】由方=前+而，得荏2=(前+而J=前2+2前•丽+而2

即由『=\AC\2+\CB\2

故c2=a2+b2.

3(**)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【证明】如图平行四边形4BCD对角线AC、BD交于点0,

■■■AB=Ad+OB.BC=B0+0C

\AB\={AO+OB)=|40|+2A0-OB+\0B\=\A0\+\0B\

|园2=(而+反>=।就『+2的沆+।园2=।就广+।园2

\AB\=\BC\

四边形4BCD是菱形.

4(★★)用向量方法证明设平面上4,B,C,D四点满足条件4。J.BC,BDLAC,则4B1

CD.

【证明】因4ZL8C,所以筋.立=筋•(h>-6)=0,

因BDLAC,所以前■BD=AC■(AD-AB)=0,

于是G'=AC-AD=AC-AB,

—♦—>—>—>

所以AOAB=AC-AB,(AD-AQ-AB=0,

即己・而=0,所以cBiG,即力跳az

5d*)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.

【证明】如图，平行四边形力BCD对角线4C、BD交于点0,

设。4=a,•.,对角线相等.­.OB=0D=a

■：AB=Ad+0B,AD=Ad+:0D

-.AB-AD=（AO+0B）（A0+00）=A02+A0-0D+0BAd+0B0D

=a2+A0（0D+OB）-a2=0

.-.AB1AD即4B1AD

••・四边形4BCD是矩形.

6（***）已知向量。7\、0%、0%3满足。%+。%2+。%3=0，1。h1=1。、21=1。%31=1・求证

△P\P2P3是正三角形.

【证明】法一•.•0P1+0P2+0P3=0,.••0.1+0P2=-0P3-MOPI+OP2\=\-OP3\.

\OP^+\OP2\^+2（）P1»OP2=\0P^.

又•••|。4|=|。、2|=|0'3|=1,.•.。%・。、2=一/

TT1

：.\OP1\\OP2\COSZ.P1OP2=-j,即"。E=120。.

同理NPIOR=4QOR=120°.

.・•△H乃乌为等边三角形.

法二以。点为坐标原点建立直角坐标系，设尸i（xi，yi）,乃（垃，yi）,月（矛3,n），

则。%=（小，/）,0P2=（X2,"），。23=（冷，Yi）.

由0P1+0P2+0P3=0,

得俨i+&+X3=0.—1+不=_#3

.3+为+丫3=o."lyi+y2=一、37

得为2+%2=及2+加=为2+好=1

.•.2+2（*1及+%应）=1

XX22

•••1^1^21=V（l-2）+（yi-y2）=JxJ+熄+%2+%2-2X/2-2yly2

=72(1-xrx2-yxyi)=V3

同理仍》31=百，伊心匚我

•••△月乃乃为正三角形

【题型二】平面向量在物理中的应用

【典题I】如图，已知河水自西向东流速为Wol=lm/s,设某人在静水中游泳的速度为巧,

在流水中实际速度为%.

(1)若此人朝正南方向游去，且Wil=V3m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角a和。2的

大小；

(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|以1=V3m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角£

和巧的大小.

【解析】如图，设成=诏而=彳OC=v；,

则由题意知该=诟+*|耐|=1,

根据向量加法的平行四边形法则得四边形04cB为平行四边形.

(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|如|=4C=g,如下图所示,

则在直角404C中，|诺|=0C=>/OA2+AC2=2,

tanZ-AOC—~=V3>乂a=/.AOCG(0所以a=p

(2)由题意知a=Z_OCB=/,且|诺|=|OC|=6,BC-1>如下图所示,

则在直角△08C中，|司=OB=VW+BC2=2,tan乙BOC=a=胃,

又ZL40C6(0所以48。。=

26

则0日+尸季

答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角a为?％的大小为2m/s；

(2)他游泳的方向与水流方向的夹角口为与，V1的大小为2m/s.

【点拨】注意平行四边形法则的使用!

【典题2］在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行

李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为瓦，耳,且瓦|=|引，及与耳的夹

角为0.给出以下结论

①。越大越费力，。越小越省力；②。的范围为［0，扪；

③当。=三时，国=|巾；④当"争寸，国=向.

其中正确结论的序号是.

【解析】对于①，由向=|耳+可为定值，

所以浸=百2+।引2+2|耳।x质Xcosd=2国2（i+cos&）,

解得闰『=/篇；

由题意知。£（0,兀）时，y=cos。单调递减，所以瓦『单调递增,

即6越大越费力，。越小越省力；①正确.

对于②，由题意知，。的取值范围是（0,兀），所以②错误.

对于③，当9=］时，|可2=9,所以国=4向，③错误.

对于④，当。=争时，问『=02,所以瓦|=向，④正确.

综上知，正确结论的序号是①④.

故答案为①④.

【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm,放在墙与均匀的4B木板之间，4端锁

定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长48=20cm,与墙夹角为a,如果不计木板的

重量，则a为何值时.，绳子拉力最小？最小值是多少？

【解析】如图，设木板对球的支持力为百，则后=见,

设绳子的拉力为了.又4C=20cosa,AD=

，l2

由动力矩等于阻力矩得I。X20cosa=\N\x-^=--60-

tan-2sinatan-2

・IFl-60_33__do

"1川-20cosasinatan^一cosa(T-cosa)-^osa+^cosay~1~,

二当且仅当cosa=1-cosaBPcosa=\亦即a=60。时，历有最小值12N.

巩固练习

!(★★)一条渔船以6km"的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/c/n",则

这条渔船实际航行的速度大小为.

【答案】2同km/h

【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为7c=〃+吸；

大小为|孙＜；1=1"船+17次1=V62+22=2^10km/h.

)★★)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力

分别是&,尸2，且0,尸2与水平夹角均为45°,|Kl=1^1=10V2/V,则物体的重力大小

2

•..阮|=向=10V2N,

+F2\=IOA/2xV2/V=20/V,

•••物体的重力大小为20.

故答案为