2023届湖北襄阳市第二十六中学九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．－12．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数(件)501001502005008001000合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中次品最接近()件.A．100 B．150 C．200 D．2404．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.以下结论：①2a＞－b；②4a＋2b＋c＞0；③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）；④3a＋c＜0其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列事件中，必然事件是（）A．抛一枚硬币，正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日视线》C．射击运动员射击一次，命中10环D．地球绕着太阳转6．已知地球上海洋面积约为361000000km2，361000000这个数用科学记数法可表示为()A．3.61×106 B．3.61×107 C．3.61×108 D．3.61×1097．将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝﹣2 D．y＝﹣28．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣2 B．4π﹣ C．4π﹣2 D．2π﹣9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k≤1 D．k≤1且k≠010．如图，点、、在上，，，则的度数为（）A． B． C． D．11．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（）x（分）…13.514.716.0…y（米）…156.25159.85158.33…A．32分 B．30分 C．15分 D．13分12．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为_____．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC=__________．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠C=40°，OA=9，则BD的长为．（结果保留π）16．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝_____.17．已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为_____．18．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为，则______（填“>”、“=”或“<”）.三、解答题（共78分）19．（8分）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．（1）如图①，在对角互余四边形ABCD中，∠B＝60°，且AC⊥BC，AC⊥AD，若BC＝1，则四边形ABCD的面积为；（2）如图②，在对角互余四边形ABCD中，AB＝BC，BD＝13，∠ABC+∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，求四边形ABCD的面积；（3）如图③，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC异侧作△ACD，且∠ADC＝30°，若BD＝10，CD＝6，求△ACD的面积．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．21．（8分）采用东阳南枣通过古法熬制而成的蜜枣是我们东阳的土特产之一，已知蜜枣每袋成本10元.试销后发现每袋的销售价（元）与日销售量（袋）之间的关系如下表：（元）152030…（袋）252010…若日销售量是销售价的一次函数，试求：（1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式.（2）要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．（10分）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．23．（10分）如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度.两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________.②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）.24．（10分）请认真阅读下面的数学小探究，完成所提出的问题（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是．△BCD的面积为．（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含的式子表示△BCD的面积，并说明理由．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若，且AE=2，求CE的长．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴.即a的取值范围是且.∴整数a的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.2、B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选B．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．3、B【分析】根据频数表计算出每次的合格频率，然后估计出任抽一件衬衣的合格频率，从而可得任抽一件衬衣的次品频率，再乘以1500即可得.【详解】由依次算得各个频率为：则任抽一件衬衣的合格频率约为因此任抽一件衬衣的次品频率为所求的次品大概有（件）故选：B.【点睛】本题考查了概率估计的方法，理解频数和频率的定义是解题关键.4、A【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．【详解】解：由图象可得：，则2a+b=0，故①2a＞－b错误；由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故②4a＋2b＋c＞0错误；∵x=1时，二次函数取到最小值，∴m（am+b）=am2+bm＞a+b，故③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）正确；∵b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，故④3a＋c＜0错误．综上所述，只有③正确故选：A【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．5、D【分析】根据事件发生的可能性大小及必然事件的定义即可作出判断．【详解】解:A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；B、打开电视频道，正在播放《今日视线》是随机事件；C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件；D、地球绕着太阳转是必然事件；故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定会发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6、C【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：将361000000用科学记数法表示为3.61×1．故选C．7、A【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2﹣2+1，即y＝x2﹣1．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8、A【分析】从图中明确S阴=S半-S△，然后依公式计算即可．【详解】∵∠AOB=90°，∴AB是直径，连接AB，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，由题意知OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2，AB=AO÷sin30°=4即圆的半径为2，∴阴影部分的面积等于半圆的面积减去△ABO的面积，故选A.【点睛】辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.9、A【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得k≠1且△=22-4k×（-1）≥1，解得k≥-1且k≠1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10、C【分析】根据平行线的性质及圆周角定理即可求解.【详解】∵，∴，∵，∴，故选：C.【点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.11、B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．故选：B．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．12、B【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为故答案为B．【点睛】本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数.二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】解：∵点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，∴a＝2020，b＝﹣2019，∴a+b＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．14、1【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的长．【详解】解：∵AE：EC=2：3，

∴AE：AC=2：5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵DE=4，

∴BC=1．

故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15、132【解析】试题解析：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOD=50°，∴AD的长为50π×9180∴BD的长为π×9-52π=考点：1.切线的性质；2.弧长的计算．16、1【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【详解】解：由（x+m）2=3，得：

x2+2mx+m2-3=0，

∴2m=4，m2-3=n，

∴m=2，n=1，

∴（n﹣m）2020=（1﹣2）2020=1，

故答案为：1．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17、0或1．【分析】当k＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝0时抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值即可．【详解】当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，综上所述，k的值为0或1．故答案为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意要分情况讨论．18、=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．三、解答题（共78分）19、（1）2；（2）36；（3）．【分析】（1）由AC⊥BC，AC⊥AD，得出∠ACB=∠CAD=90°，利用含30°直角三角形三边的特殊关系以及勾股定理，就可以解决问题；（2）将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，则△BCE≌△BAD，连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．这样可以求∠DCE=90°，则可以得到DE的长，进而把四边形ABCD的面积转化为△BCD和△BCE的面积之和，△BDE和△CDE的面积容易算出来，则四边形ABCD面积可求；（3）取BC的中点E，连接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，则BE=CE=BC，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE=CE，得出∠EAC=∠ECA==30°，证出∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，得出AC=AB，设AB=x，则AC=x，由直角三角形的性质得出CF=3，从而DF=3，设CG=a，AF=y，证明△ACF∽△CDG，得出，求出y=，由勾股定理得出y2=(x)2-32=3x2-9，b2=62-a2=102-(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，整理得出a=，进而得y=，得出[]2=3x2-9，解得x2=34-6，得出y2=()2，解得y=-3，得出AD=AF+DF=，由三角形面积即可得出答案．【详解】解：（1）∵AC⊥BC，AC⊥AD，∴∠ACB＝∠CAD＝90°，∵对角互余四边形ABCD中，∠B＝60°，∴∠D＝30°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2，AC＝BC＝，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AC＝3，CD＝2AC＝2，∵S△ABC＝•AC•BC＝××1＝，S△ACD═•AC•AD＝××3＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2，故答案为：2；（2）将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，如图②所示：则△BCE≌△BAD，连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．∴∠CFH＝∠FHG＝∠HGC＝90°，∴四边形CFHG是矩形，∴FH＝CG，CF＝HG，∵△BCE≌△BAD，∴BE＝BD＝13，∠CBE＝∠ABD，∠CEB＝∠ADB，CE＝AD＝8，∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB＝90°，∴∠CDE+∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°，在△BDE中，根据勾股定理可得：DE＝＝＝10，∵BD＝BE，BH⊥DE，∴EH＝DH＝5，∴BH＝＝＝12，∴S△BED＝•BH•DE＝×12×10＝60，S△CED＝•CD•CE＝×6×8＝24，∵△BCE≌△BAD，∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△BCE＝S△BED﹣S△CED＝60﹣24＝36；（3）取BC的中点E，连接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，如图③所示：则BE＝CE＝BC，∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC＝AB，设AB＝x，则AC＝x，∵∠ADC＝30°，∴CF＝CD＝3，DF＝CF＝3，设CG＝a，AF＝y，在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAC+∠DAC＝360°，∴∠DAC+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCG＝180°，∴∠DAC＝∠DCG，∵∠AFC＝∠CGD＝90°，∴△ACF∽△CDG，∴＝，即＝，∴y＝，在Rt△ACF中，Rt△CDG和Rt△BDG中，由勾股定理得：y2＝(x)2﹣32＝3x2﹣9，b2＝62﹣a2＝102﹣(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，整理得：x2+ax﹣16＝0，∴a＝，∴y＝＝×＝，∴[]2＝3x2﹣9，整理得：x4﹣68x2+364＝0，解得：x2＝34﹣6，或x2＝34+6（不合题意舍去），∴x2＝34﹣6，∴y2＝3(34﹣6)﹣9＝93﹣18＝93﹣2＝()2，∴y＝﹣3，∴AF＝﹣3，∴AD＝AF+DF＝，∴△ACD的面积＝AD×CF＝××3＝．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．20、（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（2）经过点D的双曲线（k≠0）的k值不变，为．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t的取值范围）；

（2）将PQ=代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，求得点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．【详解】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4-t，2），

∴PE=2，EQ=|4-t-t|=|4-t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=22+|4-t|2=t2-20t+21，

∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝t2−20t+21(0≤t≤4)；

故答案为：y＝t2−20t+21(0≤t≤4)．

（2）当PQ＝时，t2−20t+21＝()2

整理，得1t2-16t+12=0，

解得：t1=2，t2＝．

（2）经过点D的双曲线y＝(k≠0)的k值不变．

连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC=2，BC=4，

∴OB＝＝1．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴，

∴OD=2．

∵CB∥OA，

∴∠DOF=∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝，cos∠OBC＝＝，

∴OF＝OD•cos∠OBC＝2×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝2×＝，

∴点D的坐标为(，)，

∴经过点D的双曲线y＝(k≠0)的k值为×＝．．【点睛】此题考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（2）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．21、(1);(2)要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【详解】（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝−x＋40（2）设利润为元，得∵∴当时，取得最大值，最大值为225故要使这种蜜枣每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22、较小相似多边形的周长为14cm，面积为36cm1．【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积18+y，根据相似多边形的性质得到，，然后利用比例的性质求解即可.【详解】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积18+y，根据题意得，，解得x＝14，y＝36，所以较小相似多边形的周长为14cm，面积为36cm1．【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等；两个相似多边形周长的比等于相似比；两个相似多边形面积的比等于相似比的平方.23、（1）；（2），证明见解析；（3）①；②【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值.（2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论.（3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案.【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得.（2）.证明：∵，∴.∵，∴，∴，即.（3）①∵∴∠ABE＋∠BAE=90°∵∴∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°∴△AMB≌△DNA∴AM=DN∴t=2-2t∴t=②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90°∴∵∴=n∴∴t=【点睛】本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.24、（1）DE=BC，4.5；（2）【分析】(1)证明△ACB≌△DEB，根据全等三角形的性质得到DE=AC=BC=3，根据三角形的面积公式计算；

(2)作DG⊥CB交CB的延长线于G，证明△ACB≌△BGD，得到DG=BC=a，根据三角形的面积公式计算；【详解】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，

∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，

由旋转的性质可知，BA=BD，∠ABD=90°，

∴∠DBE=45°，

在△ACB和△DEB中，，∴△ACB≌△DEB(AAS)

∴DE=AC=BC=3，

∴；故答案为：DE=BC，；(2)作DG⊥CB交CB的延长线于G，

∵∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBG=90°，又∠ABC+∠A=90°，

∴∠A=∠DBG，

在△ACB和△BGD中，，∴△AC