第13讲 相似三角形应用举例-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题13相似三角形的应用举例★知识点1：利用影长测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．

(1)图中与是否相似？为什么？(2)求信号发射塔的高度．【例2】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．

(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．【即学即练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

2．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

★知识点2：利用相似测量河流、池塘等物体的宽度，典例分析【例1】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上．观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得．观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．测量示意图

(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．(2)第二小组测得米，则______．(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．【例2】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．题目测量河流宽度目标示意图测量数据，，即学即练1.（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为了估算池塘的宽度，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且．经测量，求池塘的宽度．2．（2021秋·河南平顶山·九年级统考期中）阅读下面材料，完成学习任务：数学活动：测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；③计算树的高度AB：设米，米．∵，∴∴……任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．★知识点3：利用标杆或直尺测量物体的高度典例分析【例1】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【例2】（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

即学即练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．2．（2023·陕西渭南·统考二模）数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．

★知识点4利用镜子的反射测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东威海·八年级校联考期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

【例2】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度．即学即练1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．(1)求的长．(2)求灯泡到地面的高度．2．（2023春·全国·九年级专题练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求的长；(2)求灯泡到地面的高度．★知识点5测量零件内部尺寸典例分析【例1】（2022秋·浙江·九年级专题练习）一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？【例2】（2021春·九年级课时练习）如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x．即学即练1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．2．（2023·陕西西安·校考一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．★知识点6测量地面的两个物体间的距离典例分析【例1】（2021秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米．（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子．（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度．【例2】．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．

即学即练1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．(1)在计算过程中C、D之间的距离应是______米；(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．2.（2021秋·浙江温州·九年级校考期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？★知识点7利用相似三角形解决小孔成像问题典例分析【例1】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图是小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰的像的高度是．

【例2】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是．

即学即练1．（2023·宁夏银川·校考一模）我们都听说过“小孔成像”，下图是爱动手操作的小迪做的小实验。小迪测量蜡烛到带孔的挡板的距离是，屏幕到挡板的距离是，屏幕上火焰的高是，则火焰的实际高度为．2．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是．1．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如图，已知河宽，在河的两岸各取一点，，与相交于点，于点，于点，测得，，求的长．2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．3．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，楼的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼的底部B处观望楼的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为3米，B、F、D位于同一水平直线上，且均与垂直．求小树的高度．（结果保留整数）

5．（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵树，在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．6．（2021秋·九年级课时练习）如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使得，然后确定和的交点C．测得，你能帮助他们算出峡谷的宽吗？7．（2022秋·全国·九年级专题练习）西安世园会标志性雕塑水龙，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE=2米，小刚眼睛与地面的距离DE=1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．(小平面镜的大小忽略不计)8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？9．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖A的像．已知，小军的眼睛距地面（即），量得．求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计）

专题13相似三角形的应用举例★知识点1：利用影长测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．

(1)图中与是否相似？为什么？(2)求信号发射塔的高度．【答案】(1)相似，见解析(2)19.8米【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】（1）解：理由：由题意知，，∴，∵∠A＝∠A，∴；（2）解：由题意知，米，米，米，∴米，∵，∴，即解得米，经检验符合题意，∴信号发射塔的高度为19.8米．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【例2】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．

(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．【答案】(1)详见解析(2)旗杆的高度为9.6m【分析】（1）根据相似三角形画出图形；（2）根据相似三角形的性质求出的长度．【详解】（1）影子，如图所示；

（2）∵，∴，∵．∴，∴，即，解得，∴旗杆的高度为9.6m．【点睛】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是证明三角形相似．【即学即练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

【答案】灯杆的高度为米．【分析】根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长．【详解】如图：由题意得：米，米，，∵，∴．∴，∴，∵，∴．∴，∴．∴，∴米，∴．∴米，∴灯杆的高度为米．【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．2．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

【答案】住宅楼的高度为．【分析】过作，交于点，交于点，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．【详解】解：如图所示，过作，交于点，交于点．

由已知可得．．又，所以．所以，即，解得．所以．所以住宅楼的高度为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．★知识点2：利用相似测量河流、池塘等物体的宽度，典例分析【例1】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上．观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得．观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．测量示意图

(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．(2)第二小组测得米，则______．(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．【答案】(1)(2)30米(3)可行，理由见解析【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；（3）由题意得，即可解答．【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，∴为等腰直角三角形，∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，故答案为：；（2）解：∵，∴，∴，∴米，故答案为：30米；（3）解：可行，理由如下：在和中，，∴，∴，∴只要测得就能得到河宽，故第三小组的方案可行．【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想．【例2】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．题目测量河流宽度目标示意图测量数据，，【答案】河流的宽度为【分析】先根据平行线的判定得到，再由平行的性质，易得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解．【详解】解：由已知有，，∴，又∵，∴，∴．∵，，，∴，解得．即河流的宽度为．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．即学即练1.（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为了估算池塘的宽度，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且．经测量，求池塘的宽度．【答案】【分析】根据，可得，然后再根据相似三角形的性质可得，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴池塘的宽度是．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确理解题意证明是解题的关键．2．（2021秋·河南平顶山·九年级统考期中）阅读下面材料，完成学习任务：数学活动：测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；③计算树的高度AB：设米，米．∵，∴∴……任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．【答案】15米，见解析【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．【详解】解：设米，米．∵，，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，解得，把代入中得解得∴树的高度AB为15米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．★知识点3：利用标杆或直尺测量物体的高度典例分析【例1】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【答案】【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．【详解】解：由题意可知：，，，，，．设，则，解得：，，，．答：该古建筑高．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．【例2】（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

【答案】10米【分析】可证，从而可得，设米，可求，再证，可得，即可求解．【详解】解：由题意得：，，，，，，设米，，，，，，，，，解得：，答：建筑物的高度为10米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，理解题意，掌握判定方法及性质是解题的关键．即学即练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．【答案】大雁塔的高度为米【分析】设米，证明∽，推出，可得，再证明∽，推出，构建方程求解即可．【详解】解：设米．∵，，∴，∴，∴，∴，根据题意得，，∴，∴，解得，经检验是分式方程的解，答：大雁塔的高度为米．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程是解题的关键．2．（2023·陕西渭南·统考二模）数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．

【答案】见解析，【分析】利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度．【详解】解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直树立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，

测量数据：，，，，由测量示意图易得，，，，，得，，，故旗杆AB的高度为．【点睛】本题考查实际问题中测量较高物品的高度，利用标杆时通常采用视线共线方案，通过三角形相似来计算高度．注意视线共线时，高度为眼睛距地面的高度，非测量人员身高．★知识点4利用镜子的反射测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东威海·八年级校联考期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

【答案】【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解．【详解】证明：，故，即，，，，光在镜面反射中的入射角等于反射角，，又，，，，解得：，灯泡到地面的高度为．【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．【例2】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度．【答案】灯泡到地面的高度为．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．【详解】解：由题意可得：，则，∴，即，解得：，∵∴，∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，答：灯泡到地面的高度为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形，列出比例式是解题关键．即学即练1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．(1)求的长．(2)求灯泡到地面的高度．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．【详解】（1）解：由题意可得：，则，故，即，解得：，经检验，是上述分式方程的解，∴的长为；（2）∵，∴（），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：（），∴灯泡到地面的高度为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．2．（2023春·全国·九年级专题练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求的长；(2)求灯泡到地面的高度．【答案】(1)(2)．【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长；（2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长．【详解】（1）解：（1）由题意可得：，则，∴，∴，解得：，答：的长为；（2）解：∵，∴，∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，答：灯泡到地面的高度为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．★知识点5测量零件内部尺寸典例分析【例1】（2022秋·浙江·九年级专题练习）一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？【答案】(1)这个正方形的边长为60cm；(2)正方体的表面积为3456cm2【分析】（1）设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出x值即可；（2）设正方体的棱长为acm，同样证明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后代值求出a值即可．【详解】（1）解：设正方形的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，∴△AEH∽△ABC，∴，∵BC=120cm，AD=120cm，∴，解得：x=60，答：方形的边长为60cm；（2）解：设正方体的棱长为acm，由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得：a=24∴正方体的表面积为6×242=3456cm2．【点睛】本题考查相似三角形的应用举例，涉及正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、正方体的展开图和表面积等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．【例2】（2021春·九年级课时练习）如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x．【答案】，【分析】根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似判断出△ABO和△CDO相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，然后根据厚度x=（a-AB）计算即可得解．【详解】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等），∴△ABO∽△CDO，∴AB：CD=OA：OC=n，∴AB=nCD=nb，∴厚度x=（a-AB）=．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出三角形相似并根据相似三角形对应边成比例求出AB的长是解题的关键．即学即练1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．【答案】（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.【分析】（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．【详解】解：（1）设PQ=xmm，易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，∴AE=AD-ED=80-x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，，即，，∵PN=PQ，，解得x=48．故正方形零件PQMN面积S=48×48=2304（mm2）．（2）当时，S有最大值==2400（mm2）．所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及二次函数的最大值的求法．2．（2023·陕西西安·校考一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．【答案】个矩形零件的长为6cm，宽为4cm或长为cm，宽为cm.【分析】由已知可得BCPQ，从而有△APQ∽△ABC，继而可得，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况分别求解即可.【详解】解：∵四边形PQMN是矩形，∴BCPQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况：①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm或长为cm，宽为cm．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，根据已知分情况进行讨论是解本题的关键．★知识点6测量地面的两个物体间的距离典例分析【例1】（2021秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米．（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子．（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度．【答案】（1）见详解；（2）6米．【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度．【详解】解：（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，由△GAE∽△GOM得，即：①，由△BDH∽△OMH得即：②结合①②得，x=6，y=2．经检验，x=6、y=2是方程的解，答：灯的高度为6米．【点睛】本题考查了中心投影的知识，解题的关键是根据两个物体及其影子确定点光源，难度不大．【例2】．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．

【答案】（1），，证明见解析；（2）133米【分析】（1）首先要正确画出图形，根据平行四边形的性质进行证明即可．（2）作射线、分别于相交于点、，然后即可确定盲区；先根据路程速度时间求出的长度，然后过点作，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出的长度，也就是小明家到公路的距离．【详解】解：（1），证明：延长到，使，连接．

，，．，．．，．四边形是平行四边形．，．∴三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半（2）解：过作于，交于则，设则，答：小华家到公路的距离是133米.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的应用，相似三角形对应高的比等于对应边的比的性质，根据题意作出图形构造出相似三角形是解题的关键．即学即练1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．(1)在计算过程中C、D之间的距离应是______米；(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．【答案】(1)1.5(2)15米【分析】（1）根据测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，即可得出C、D之间的距离；（2）证明，根据三角形相似的性质，求出学校旗杆的高度即可．【详解】（1）解：∵测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，∴C、D之间的距离为1.5米．故答案为：1.5．（2）解：由题意可知，，∴，∴，∴，∴，答：学校旗杆的高度为15米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明．2.（2021秋·浙江温州·九年级校考期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？【答案】此时BF为米【分析】通过证明，可得，可求解．【详解】解：如图，由题意可得：AC＝，BC＝15，，∵，∴，∴，∴，∴，∴＝5，∴（米）．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．★知识点7利用相似三角形解决小孔成像问题典例分析【例1】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图是小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰的像的高度是．

【答案】9【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设火焰的像的高度是，则，解得：，即火焰的像的高度是，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．【例2】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是．

【答案】//【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：∵，∴，∵点O到的距离为，点O到的距离为，∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．即学即练1．（2023·宁夏银川·校考一模）我们都听说过“小孔成像”，下图是爱动手操作的小迪做的小实验。小迪测量蜡烛到带孔的挡板的距离是，屏幕到挡板的距离是，屏幕上火焰的高是，则火焰的实际高度为．【答案】/厘米【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可得到答案．【详解】解：根据题意可知，，火焰的实际高度与屏幕上火焰的高之比等于蜡烛到带孔的挡板的距离与屏幕到挡板的距离之比，，，，即火焰的实际高度为,故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．2．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是．【答案】6【分析】正确理解小孔成像的原理，首先由可证得，再根据相似三角形的性质，即可求出的长．【详解】解：，，，又，，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．一、解答题1．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如图，已知河宽，在河的两岸各取一点，，与相交于点，于点，于点，测得，，求的长．【答案】【分析】证明，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：于点，于点，，，，，，答：的长为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．【答案】桥的长度为90米【分析】过作于，可得，即可得出，再由，可得，进而得出的长．【详解】解：如图所示，过作于，，，，，，．，，即解得，答：桥的长度为90米．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．3．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．【答案】20米【分析】从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】解：由题意得，，，∴，即，∴，∵，，，∴，即，解得，答：“二将军柏”的高度约为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，楼的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼的底部B处观望楼的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为3米，B、F、D位于同一水平直线上，且均