专题06特殊平行四边形-2024年新九年级数学暑假提升讲义（沪科版 温故复习）

专题06特殊平行四边形知识点1：菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）知识点2：菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形知识点3：菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．知识点4：矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识点5：矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）方法：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．知识点6：矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．知识点7：正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．知识点8：正方形的判定①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．知识点8：正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．题型归纳【题型1矩形性质理解】满分技法(1)矩形必须满足两个条件:①是平行四边形,②有一个角是直角，二者缺一不可.(2)矩形的定义既是矩形的性质，又是矩形的基本判定方法.1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①② D．②③2．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于（

）

A．6 B．5 C． D．3．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知以的三边在的同一侧分别作三个等边三角形，即、、．试判断下列结论：①四边形是平行四边形；②若四边形是矩形，则；③若四边形是菱形，则；④当时，四边形不存在．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为．【题型2利用矩形的性质求角度】满分技法利用矩形的性质求角度，既要会灵活运用平行四边形的性质和矩形的特殊性质，也要结合题目实际情况运用多边形的内外角和、角平分线、平行线的性质等底.5．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．

7．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．

(1)若，则______°；(2)求证：．【题型3根据矩形的性质求线段长】满分技法矩形中求线段长度的锦囊妙计(1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°,45°)的直角三角形的三边关系求解.(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度.8．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．9．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（

）A． B． C． D．10．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．(1)证明：四边形是菱形：(2)求菱形的面积．11．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．(1)求当t为何值时，四边形是正方形；(2)求当t为何值时，；(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．【题型4利用矩形的性质证明】满分技法注意:矩形的性质可归纳如下：(1)对边平行且相等;(2)四个角都是直角;(3)对角线相等且互相平分;(4)它是轴对称图形，对称轴是两条分别过对边中点的直线.这些性质是今后证明线段相等、垂直和角相等的重要依据.12．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．(1)如图1，当四边形是正方形时，求的值；(2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式；(3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小．13．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知：如图，点P为矩形内一点，且，求证：．14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，O是四边形两条对角线和的中点，E为四边形外一点，连接，四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的面积为12，周长为，求四边形的周长．【题型5矩形与折叠问题】满分技法抓住三点,轻松突破矩形中的折叠问题：(1)折叠前后的图形全等,即对应边相等,对应角相等.(2)在矩形折叠问题中求线段长时,常常综合应用勾股定理和方程思想，(3)矩形中存在一些特殊的角和线段之间的数量关系,如四个直角、对角线相等等.15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（

）A． B． C． D．16．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则：（1）°；（2）BE的长为．17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，把长方形沿对折后点落在边的点处，，，求：(1)的长；(2)的长．18．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处．①求证：．②若，，求折痕的长．（2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值．【题型6斜边的中线等于斜边的一半】满分技法斜边的中线等于斜边的一半是直角三角形的一个重要性质，这个性质在解题时非常有用。首先，需要识别题目中给出的图形是否为直角三角形。这通常可以通过观察图形中的角度（是否有90°角）或边长关系（是否满足勾股定理）来判断。然后，确定应用性质.一旦确认是直角三角形，就可以应用斜边的中线等于斜边的一半这个性质。这个性质告诉我们，直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。其次是建立方程或不等式根据题目要求，利用斜边中线的性质建立方程或不等式。例如，如果题目要求求解某个未知量，可以将斜边中线长度设为未知数，然后利用性质建立方程。19．（2024八年级下·安徽·专题练习）在中，，为边上的中线，若以为斜边作，连接，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在下列定理中，逆命题错误的是（

）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形的底角相等C．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等D．全等三角形的面积相等21．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且．(1)求证：；(2)若，，求四边形的周长．22．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，，求四边形的周长．【题型7矩形的判定定理理解】满分技法(1)用定理1判定一个四边形是矩形时，必须满足两个条件:①是平行四边形;②对角线相等.也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.(2)因为四边形的内角和是360°,所以在四边形中有三个角是直角的前提下，第四个角也是直角，因此定理2的条件中只要求有三个角是直角即可.（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据定理1可以得出矩形的另一种判定方法:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.23．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列命题，其中是真命题的为（

）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形24．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线垂直的四边形是菱形C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形25．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）下列说法中，不正确的是（

）A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形C．相邻两角都互补的四边形是平行四边形 D．两边相等的平行四边形是菱形26．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．四个角都相等的菱形是正方形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形【题型8证明四边形是矩形】满分技法判定一个四边形为矩形时，一定要分清是在平行四边形的基础上，还是在一般四边形的基础上进行判定，二者所需的条件不同.27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（

）A． B．C． D．28．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个29．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，围成四边形．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当四边形满足______时，四边形是菱形（不用证明）；(3)当四边形满足______时，四边形是矩形，请予以证明．30．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当平分时，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由．【题型9根据矩形的性质与判定求线段长】满分技法矩形性质、判定一起考,互逆关系勿混淆几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形’是判定;反之，“已知一个四边形是矩形，证明线段或角的关系”是性质.解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质。31．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．（1）当是的中点时，线段的长度是．（2）线段长度的最小值是．32．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是．33．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，这是某城市部分街道示意图，，，，，甲、乙两人同时从F站乘车到B站．甲乘1路车：路线是．

乙乘2路车：路线是．假设两车速度相同，途中耽搁时间相同，那么甲、乙两人谁先到达B站？请判断并说明理由．

34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在等腰直角三角形中，．点D在三角形内部，，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长度；(3)在（2）的条件下，求的值．【题型10利用菱形的性质求角度】满分技法根据菱形的性质，可以利用等边对等角，或者全等三角形、直角三角形、角平分线等综合得出角的关系.35．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图，菱形的边长为4，（不与A，D重合），点F是边上一动点，且．①的度数为；②面积的最小值为．

36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则°．37．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．(1)操作判断操作一：对折菱形纸片，使点与点重合，得到对角线折痕，把纸片展平；操作二：在上任选一点，连接，并在延长线上取一点，使．根据以上操作：在图中找出一个与相等的角；(2)特例探究探索当为多少度时，菱形为正方形？请说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片中，线段，时，求出正方形的边长．【题型11利用菱形的性质求线段长】满分技法利用菱形的性质求线段的长的一般方法在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形(如直角三角形、等腰三角形)中，利用勾股定理、等腰三角形的性质等进行求解.38．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．39．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（

）A．1 B．2 C． D．40．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，，，连接，过点作，交的延长线于点，则线段的长为．41．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为，．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点P，Q同时出发，设运动时间为秒．(1)求点C的坐标．(2)当时，求的面积．(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型12利用菱形的性质求面积】满分技法“菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半”，也可以按照平行四边形的面积公式逆推其他边的长度，有的时候需要用到直角三角形斜边中线等于斜边一半，做题时要仔细思考.42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为对角线的交点，，则菱形的面积为（

）A． B． C． D．43．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，菱形中，，，则边上的高．

44．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．，．

(1)求菱形的面积；(2)求的长．45．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度．

(1)请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并写出点的坐标________；(2)菱形的面积为________．【题型13利用菱形的性质证明】满分技法先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系,如果有全等三角形，可以再由三角形全等证明线段、角相等.46．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，、相交于点，连接、．给出以下结论，其中不正确的有（

）A． B． C． D．47．（22-23八年级下·安徽池州·期末）下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．

(1)直接写出结果：_________；(2)求证：．48．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．

49．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图所示，在菱形中，，点为边上一个动点，，过点作交于点，直线与相交于点，点到直线的距离为．

(1)求证：是等边三角形；(2)求证：；(3)试探求线段的数量关系，并证明你的结论．【题型14证明四边形是菱形】满分技法萎形判定的思路：四边形四条边都相等→菱形平行四边形一组邻边相等→菱形平行四边形对角线互相垂直→菱形50．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．矩形的对角线相等B．对角线相等的四边形是正方形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．菱形的对角线互相垂直平分51．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图．在矩形中，E，F，G，H为矩形四边的中点，依次连接点E，F，G，H．（1）四边形的形状是．（2）若，则四边形的周长是．52．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在中，M是斜边的中点，点D在直线外，，连接，．(1)如图1，求的大小；(2)如图2，已知点D和边上的点E满足，，连接．（ⅰ）判断四边形的形状并证明；（ⅱ）求证：．53．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形．【题型15根据菱形的性质与判定求角度】满分技法菱形性质、判定综合用，互逆关系要分清，解决此类问题时，要先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求角度，要注意菱形性质和判定的联系和区别.54．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（

）A．， B．C．， D．55．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）请认真完成下列数学活动如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．

●分析发现（1）试说明：①；②．●深究思考（2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；●拓展延伸（3）若，则_____________，能使四边形为正方形．56．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．

(1)连接，求证：点M在的垂直平分线上；(2)判断四边形的形状，并说明理由．57．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，，平分，于点E，连接．

(1)求证：(2)求的值(3)求证：【题型16根据菱形的性质与判定求线段长】满分技法菱形性质、判定综合用，互逆关系要分清，解决此类问题时，要先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求线段长，要注意菱形性质和判定的联系和区别.58．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．

（1）线段与的位置关系是；（2）若，，则四边形的周长为．59．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．60．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．

(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．【题型17根据正方形的性质求线段长】满分技法正方形被两条对角线分成多个等腰直角三角形。因此，在正方形中解决问题时，常用到等腰三角形、直角三角形的性质及勾股定理等相关知识解决线段长问题。61．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将矩形分成2个长方形与2个正方形，其中正方形③的边长是2，正方形④的边长是3，记长方形①的周长为，长方形②的周长为，则与的大小为（

）A． B． C． D．不确定62．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（

）A．2 B．4 C．6 D．863．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图等边与正方形的顶点B、C、D三点共线，动点P沿着由C向A运动．连接、，与交于点G．其中，．（1）若点P为中点，则．（2）点P沿着运动过程中，的最小值是．【题型18正方形的面积】满分技法（1）正方形的面积等于边长的平方，也等于一条对角线长的平方的一半.（2）要证面积相等，可以通过计算来说明，也可以通过旋转或拼接来说明.64．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（

）A． B． C． D．65．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在直线上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为1，2，3，四个正方形的面积从左到右依次是、、、，则的值为（

）

A．10 B．8 C．6 D．466．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点E，F同时从点B出发，分别沿着和的方向运动到点D，已知点E，F的运动速度均为.

(1)当运动时间为多少秒时，的长为?(2)当运动时间为多少秒时，的面积为?【题型19正方形折叠问题】满分技法抓住三点,轻松突破正方形中的折叠问题：(1)折叠前后的图形全等,即对应边相等,对应角相等.(2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用折叠性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理和方程思想.(3)正方形中存在一些特殊的角和线段之间的数量关系，如四个直角、45°、对角线垂直且相等等.67．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（

）．A．3 B． C． D．68．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，．根据以上操作（1）°；（2）若正方形纸片的边长为，当时，．69．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．

（1）；（2）如图2，若E为的中点，则．【题型20根据正方形的性质证明】满分技法(1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质还具有其自身特有的性质，要熟练记忆，避免混淆。(2)正方形被两条对角线分成多个等腰直角三角形:因此，在正方形中解决问题时，常用到等腰三角形、直角三角形的性质及勾股定理等相关知识，70．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F．使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（

）个A．1 B．2 C．3 D．471．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在四边形中，四边形为正方形，，，，则．72．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（E不与C、D重合），连接交对角线于点F，连接，过点P作交在边于点G．(1)求证：；(2)连接，求出的度数；(3)若，，请直接写出的长．73．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，E是正方形对角线上一点，，，垂足分别是M，N．(1)求证：；(2)若，，求正方形的边长．【题型21证明四边形是正方形】满分技法判定一个四边形为正方形的常用方法：(1)根据定义,先判定它为平行四边形,再证明它有一组邻边相等，且有一个角是直角.(2)先判定它是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直.(3)先判定它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等.74．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知中，对角线，相交于点，下列判断中错误的是（

）

A．若，则为菱形B．若，则为矩形C．若平分，则为菱形D．若，则为正方形75．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列说法，不正确的是（）A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形76．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为．(1)求当t为何值时，四边形是正方形；(2)求当t为何值时，；(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．【题型22根据正方形的性质与判定证明】满分技法如果已知条件中垂直关系比较多，可选择先证四边形是矩形,再证四边形是正方形.要证两线段相等,可证两线段所在的两个三角形全等.若要证明三角形全等，可以由正方形性质得到边、角的等量关系证明两个三角形全等.77．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．

(1)求证：；(2)延长交于点，求证：；(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．78．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，，连接，过点A作的垂线交于点，交于点，与交于点．

(1)若，求的长；(2)求证：；(3)若，求的长．79．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图1，点是正方形的对角线上的一动点（不与点，重合），以为直角边作等腰直角三角形，连接．

(1)求证：；(2)求证：；(3)已知正方形的边长为8，若取最小值，连接，在备用图上画出符合条件的图形，并求此时的长．【题型22四边形其他综合问题】满分技法矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定主要从边、角、对角线这三个方面进行总结，它们各自特有的性质可以为证明有关线段相等、角相等、直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路.80．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（

）

A．矩形是正方形 B．C．平分 D．81．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点．

(1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形；(2)图2，若，，过点作，垂足为，与，分别交于点，．①当，时，求的长；②探究与的数量关系，并说明理由．82．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，是四边形两条对角线和的中点，为四边形外一点，连接，，四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的面积为12，周长为14，求四边形的周长．过关检测一、单选题83．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为（

）

A．2 B．3 C．4 D．584．（2024八年级下·安徽·专题练习）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形是菱形，则这个条件是（）A． B． C． D．85．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）关于的叙述，正确的是（

）A．若，则是菱形B．若，则是菱形C．若，则是正方形D．若，则是矩形86．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的周长为，若对角线，则此菱形的面积等于（）A．8 B． C． D．87．（2024八年级下·安徽·专题练习）用一种正多边形铺设地面时，不能铺满地面的是（

）A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形二、填空题88．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若矩形的对角线长为，一条边长为，则此矩形的面积为．89．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为．

90．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为．91．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F．在点G的运动过程中，的值为．三、解答题92．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接，，交于点O，，求证：四边形是矩形．93．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点（网格线的交点）A，B已给出．（要求：画出2个不同的正方形）94．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接．（1）若，则的度数是；（2）连接，则与之间的位置关系是．

专题06特殊平行四边形知识点1：菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）知识点2：菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形知识点3：菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．知识点4：矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识点5：矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）方法：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．知识点6：矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．知识点7：正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．知识点8：正方形的判定①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．知识点8：正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．题型归纳【题型1矩形性质理解】满分技法(1)矩形必须满足两个条件:①是平行四边形,②有一个角是直角，二者缺一不可.(2)矩形的定义既是矩形的性质，又是矩形的基本判定方法.1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（

）A．①②④ B．①③④ C．①② D．②③【答案】C【分析】本题考查了特殊四边形的性质．根据菱形，正方形，矩形，平行四边形的性质对各图形分析判断即可得解．【详解】解：①正方形对角线一定相等，正确；②矩形对角线一定相等，正确；③菱形对角线不一定相等，不正确；④平行四边形对角线不一定相等，不正确；综上所述，对角线一定相等有①②．故选：C．2．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于（

）

A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案．【详解】解：连接，

∵矩形中，，∴，，∴，，∵，即：，∴，故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．3．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知以的三边在的同一侧分别作三个等边三角形，即、、．试判断下列结论：①四边形是平行四边形；②若四边形是矩形，则；③若四边形是菱形，则；④当时，四边形不存在．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由等边三角形的性质结合和证明，进而可得，，可证得四边形是平行四边形，可判断①，利用矩形和菱形的性质结合等边三角形的性质，可判断②③，由，结合等边三角形的性质可得，可知，，三点在同一直线上，可判断④，进而可得正确的结论个数．【详解】解：∵、、是等边三角形，∴，，，，则，∴，∴，同理可证：，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，故①正确；若四边形是矩形，则，∵、是等边三角形，∴，∴，故②正确；若四边形是菱形，则，又∵，，∴，故③正确；当时，∵、是等边三角形，∴，则，即，，三点在同一直线上，∴四边形不存在，故④正确；综上，正确的结论有4个，故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，掌握相关图形的性质及判定方法是解决问题的关键．4．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为．【答案】5【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长．【详解】解：∵在矩形中，，，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，，，∴为的中位线，∴AD=2OE=6，∴，∵点O为的中点∴，故答案为：．【题型2利用矩形的性质求角度】满分技法利用矩形的性质求角度，既要会灵活运用平行四边形的性质和矩形的特殊性质，也要结合题目实际情况运用多边形的内外角和、角平分线、平行线的性质等底.5．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，根据矩形的每个内角为，即可求解．【详解】解：∵正五边形内角和为：，∴，∵∴故选：B【点睛】本题考查多边形的内角和，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．6．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．

【答案】【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出．【详解】解：四边形是矩形，平分，，．又，，．故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．

(1)若，则______°；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据四边形是矩形得，，根据得，根据平行线的性质即可得；（2）根据四边形是矩形得，，根据可证明，得，即可得．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴．（2）证明：∵四边形是矩形，∴，，在和中，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．【题型3根据矩形的性质求线段长】满分技法矩形中求线段长度的锦囊妙计(1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°,45°)的直角三角形的三边关系求解.(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度.8．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解．【详解】解：延长到，使，连接，，四边形是矩形，，，，．．，，．，，当点、、共线时，最小，最小值为．最小值为．，．在中，，，．最小值为．9．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键．由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长．【详解】解：∵四边形是矩形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，故选：D．10．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．(1)证明：四边形是菱形：(2)求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据矩形的性质得四边形是平行四边形，用可证，即可得，即可得；（2）设，则，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得，即可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形，四边形都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，在和中，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）解：设，则，在中，，，，．答：四边形的面积为．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．11．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．(1)求当t为何值时，四边形是正方形；(2)求当t为何值时，；(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．【答案】(1)当时，四边形是正方形；(2)当时；(3)【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答；（2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可；（3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答．【详解】（1）解：∵在矩形中，，，，设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，当时，四边形是正方形，∴，解得，∴当时，四边形是正方形；（2）解：∵，，∴四边形为平行四边形，∴当时，四边形为菱形，，∵，，解得，∴当时；（3）解：∵四边形为平行四边形，∴四边形的面积为，即，解得，，，∴四边形的周长，∴矩形的周长，∴矩形的周长与四边形的周长的比值为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【题型4利用矩形的性质证明】满分技法注意:矩形的性质可归纳如下：(1)对边平行且相等;(2)四个角都是直角;(3)对角线相等且互相平分;(4)它是轴对称图形，对称轴是两条分别过对边中点的直线.这些性质是今后证明线段相等、垂直和角相等的重要依据.12．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．(1)如图1，当四边形是正方形时，求的值；(2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式；(3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小．【答案】(1)(2)(3)当时，最大；当时，最小【分析】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、菱形的性质、一次函数的应用等知识．（1）只要证明即可解决问题；（2）如图，连接，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题；（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小．【详解】（1）如图1中，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）如图，连接，作于Q，则，∵四边形是菱形，∴，∴，∵矩形中，，∴，∴，即，∴，∴，∵∴，∴；（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，∴S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小，∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴∵，∴∴，∴．13．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知：如图，点P为矩形内一点，且，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，根据等角对等边可证，再证，即可得出结论．【详解】证明：四边形是矩形，，，又，，，，．14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，O是四边形两条对角线和的中点，E为四边形外一点，连接，四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的面积为12，周长为，求四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)20【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、矩形的性质等知识点，灵活运用特殊四边形的性质和判定定理成为解题的关键（1）先证明四边形是平行四边形，再由证明对角线互相垂直可平行四边形为菱形即可证明结论；（2）根据矩形面积和周长关系可得，易得菱形的边长，然后求周长即可．【详解】（1）证明：∵O是四边形两条对角线和的中点，∴与互相平分，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，，即，∴四边形为菱形．（2）解：∵矩形的面积为12，周长为14，，，，，即，由（1）知四边形为菱形，，四边形的周长为．【题型5矩形与折叠问题】满分技法抓住三点,轻松突破矩形中的折叠问题：(1)折叠前后的图形全等,即对应边相等,对应角相等.(2)在矩形折叠问题中求线段长时,常常综合应用勾股定理和方程思想，(3)矩形中存在一些特殊的角和线段之间的数量关系,如四个直角、对角线相等等.15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．由折叠的性质得：，再结合矩形的性质可得，从而得到，再根据勾股定理，即可求解．【详解】解：由折叠的性质得：，∵平分，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴．故选：D16．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则：（1）°；（2）BE的长为．【答案】45【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，二次根式的除法运算；（1）先证明，，求解，再进一步可得答案；（2）先证明，，设，则，再建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，由折叠的性质可得：，，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，，设，则，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：，17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，把长方形沿对折后点落在边的点处，，，求：(1)的长；(2)的长．【答案】(1)3(2)【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理：（1）先由矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出的长度，进而求出的长度即可；（2）设，则，根据勾股定理列出关于线段的方程，即可解决问题．【详解】（1）解：∵四边形是长方形，∴，∵长方形沿对折后点D落在边的F处，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；（2）解：设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴．18．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处．①求证：．②若，，求折痕的长．（2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值．【答案】（1）①见解析；②；（2）或【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的性质．（1）①根据折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，推出，得到，即可求证；②过点作，垂足为，由折叠的性质可得，，根据勾股定理求出，进而求出，证明四边形ABFH是矩形，得到，，可求出，最后根据勾股定理即可求解；（2）分为两种情况讨论：当时，当时，根据矩形的性质和折叠的性质求解即可．【详解】解：（1）①证明：将矩形沿直线翻折﹐点恰好落在点处，，，，，；②如图1，过点作，垂足为，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，，，，，解得：，，，由①可得，，四边形ABFH是矩形，，，，，（2）的值为或．理由：①如图2，当时，，，，过点作于点，四边形为矩形，，，，．∵将矩形沿折叠，，，，，；②如图3，当时，，，过点作于点，同理可得，，，同理可得，，，，；综上所述，的值为或．【题型6斜边的中线等于斜边的一半】满分技法斜边的中线等于斜边的一半是直角三角形的一个重要性质，这个性质在解题时非常有用。首先，需要识别题目中给出的图形是否为直角三角形。这通常可以通过观察图形中的角度（是否有90°角）或边长关系（是否满足勾股定理）来判断。然后，确定应用性质.一旦确认是直角三角形，就可以应用斜边的中线等于斜边的一半这个性质。这个性质告诉我们，直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。其次是建立方程或不等式根据题目要求，利用斜边中线的性质建立方程或不等式。例如，如果题目要求求解某个未知量，可以将斜边中线长度设为未知数，然后利用性质建立方程。19．（2024八年级下·安徽·专题练习）在中，，为边上的中线，若以为斜边作，连接，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，熟记此性质是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断．【详解】解：如图，、是直角三角形，为的中点，，，，、、都正确，故选：．20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在下列定理中，逆命题错误的是（

）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形的底角相等C．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等D．全等三角形的面积相等【答案】D【分析】本题考查判断逆命题的真假．先写出逆命题，再判断真假即可．将一个命题的题设和结论互换，得到的命题为原命题的逆命题．【详解】解：A、逆命题为：三角形一边上的中线等于这条边长度的一半的三角形为直角三角形，为真命题，不符合题意；B、逆命题为：两角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意；C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意；D、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，符合题意，故选：D．21．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且．(1)求证：；(2)若，，求四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明，，，再证明即可得到结论；（2）证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由，可得，，从而可得答案．【详解】（1）解：点D，E分别为边，的中点，，，又，，，又，，，；（2），，四边形是平行四边形，，点D，E分别为边，的中点，，，，又，，，，．答：四边形的周长为．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，熟记基础图形的性质是解本题的关键．22．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，，求四边形的周长．【答案】18【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键在于灵活运用所学知识．先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，然后结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到，再结合点O和点M分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，∴，∵O是矩形的对角线的中点，∴，∵M是的中点，∴是的中位线，，∴，∴四边形的周长为：．【题型7矩形的判定定理理解】满分技法(1)用定理1判定一个四边形是矩形时，必须满足两个条件:①是平行四边形;②对角线相等.也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.(2)因为四边形的内角和是360°,所以在四边形中有三个角是直角的前提下，第四个角也是直角，因此定理2的条件中只要求有三个角是直角即可.（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据定理1可以得出矩形的另一种判定方法:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.23．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列命题，其中是真命题的为（

）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，原命题是假命题，不符合题意．故选：A．24．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线垂直的四边形是菱形C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形【答案】B【分析】根据平行四边形的定义、判定定理，矩形、菱形的判定定理即可判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，符合题意；C、有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项正确，不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形和矩形、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．25．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）下列说法中，不正确的是（

）A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形C．相邻两角都互补的四边形是平行四边形 D．两边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据平行四边形及特殊四边形的判定即可判定．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确；B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，说法正确；C、四边形相邻两角都互补，则可得四边形的两组对边分别平行，从而可得四边形是平行四边形，说法正确；D、两邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．26．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．四个角都相等的菱形是正方形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】D【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键．根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案．【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意，B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意，C．四个角都相等的菱形是正方形，故该选项说法正确，不符合题意，D．一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项说法错误，符合题意，故选D．【题型8证明四边形是矩形】满分技法判定一个四边形为矩形时，一定要分清是在平行四边形的基础上，还是在一般四边形的基础上进行判定，二者所需的条件不同.27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐一判断即可．【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形，∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误；∵是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴平形四边形为矩形；故选：B．28．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过作于,则四边形是矩形，即可判断①；根据可以证明，即可判断③；根据全等三角形得到，然后利用勾股定理判断②；根据勾股定理判断④即可解题．【详解】如图,过作于,则四边形是矩形,∴,∵,∴,①正确；∵，∴，∴，又∵，∴，故③正确；∴，由勾股定理得，，∵,②正确；由勾股定理得，即∴，故④错误；正确的为①②③，故选C．29．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，围成四边形．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当四边形满足______时，四边形是菱形（不用证明）；(3)当四边形满足______时，四边形是矩形，请予以证明．【答案】(1)见解析(2)(3)；证明见解析【分析】（1）根据平行公理，推导得，；再根据平行四边形的性质判定，即可完成证明；（2）根据平行四边形的性质，结合（1）的结论，根据菱形的判定分析，即可得到答案；（3）根据平行线的性质，得出，结合（1）的结论，根据矩形的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，同理得：，∴四边形为平行四边形；（2）解：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，同理得：四边形为平行四边形，∴，∴当时，，∵四边形为平行四边形，∴四边形为菱形，∴当四边形满足时，四边形是菱形（3）解：当四边形满足时，四边形是矩形．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，平行公理和平行线的性质；解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．30．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当平分时，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形是矩形，理由见解析．【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等：（1）由平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，，进而可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形；（2）延长交于点H，先根据等角对等边证明，再证，推出，根据等腰三角形三线合一可证，结合（1）中结论，即可证明四边形是矩形．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵E，F分别为边的中点，∴，，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：四边形是矩形，理由如下：如图，延长交于点H，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．【题型9根据矩形的性质与判定求线段长】满分技法矩形性质、判定一起考,互逆关系勿混淆几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形’是判定;反之，“已知一个四边形是矩形，证明线段或角的关系”是性质.解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质。31．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．（1）当是的中点时，线段的长度是．（2）线段长度的最小值是．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短；（1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解；（2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解．【详解】（1）连接，∵矩形中，，，∴，，∴，∵，∴四边形是矩形∴，故答案为：．（2）如图，连接．，，．在矩形中，，四边形为矩形，，的最小值即的最小值．当时，取最小值．在中，．，，即线段长度的最小值是．故答案为：．32．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是．【答案】/【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．【详解】解：连接，于，于，；又，四边形是矩形，，当最小时，也最小，即当时，最小，，，，，．线段长的最小值为；故答案是：．33．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，这是某城市部分街道示意图，，，，，甲、乙两人同时从F站乘车到B站．甲乘1路车：路线是．

乙乘2路车：路线是．假设两车速度相同，途中耽搁时间相同，那么甲、乙两人谁先到达B站？请判断并说明理由．

【答案】两人同时到达B站，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．首先证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出两人乘车走的距离相等，从而证明出甲乙两人所用时间相等．【详解】两人同时到达B站．理由：甲乘车路程总长，乙乘车路程总长，，，四边形是平行四边形，，，如图，过点A作，垂足为点G，延长与交于点H，

，，，，，，，，即，在和中，，，，，，，又，四边形是矩形，，，，·，，即甲、乙同时到达．34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在等腰直角三角形中，．点D在三角形内部，，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长度；(3)在（2）的条件下，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定：（1）直接证明即可证明；（2）如图所示，连接，则是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理得到；证明，由（1），则，可得，进而得到，则；（3）如图所示，延长交于F，由（1）（2）得，可证明四边形是矩形，得到，可得，则．【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形中，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；∵，∴，由（1），∴，∴，∴，∴，∴；

（3）解：如图所示，延长交于F，由（2）得，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴．

【题型10利用菱形的性质求角度】满分技法根据菱形的性质，可以利用等边对等角，或者全等三角形、直角三角形、角平分线等综合得出角的关系.35．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图，菱形的边长为4，（不与A，D重合），点F是边上一动点，且．①的度数为；②面积的最小值为．

【答案】【分析】①如图，连接，因为菱形，，所以与为正三角形，所以，利用证明和全等，则，推出的度数为；②当时面积最小，求出和上