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文档简介
微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的两个根,且(1)当时,二次函数图象开口向上.(2)=1\*GB3①若,解集为.=2\*GB3②若,解集为.=3\*GB3③若,解集为.(2)当时,二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若,解集为=2\*GB3②若,解集为二、分式不等式(1)(2)(3)(4)三、绝对值不等式(1)(2);;(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】(1)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(2)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(3)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(4)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足.【题型归纳目录】题型一:一元二次不等式的解法题型二:分式不等式的解法题型三:绝对值不等式的解法题型四:高次不等式的解法题型五:一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一:一元二次不等式的解法例1.(2023·全国·高一课时练习)不等式的解集是,则的解集是(
)A. B. C. D.例2.(2023·福建·厦门一中高一期中)已知关于的不等式的解集为或,则下列说法正确的是(
)A. B.不等式的解集为C. D.不等式的解集为例3.(2023·江苏南京·高一期末)已知,关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为(
)A.B.C.D.例4.(2023·全国·高一课时练习)已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集,则实数的取值范围是(
).A. B. C. D.例5.(多选题)(2023·江苏·苏州中学高一阶段练习)关于x的不等式的解集为,则下列正确的是(
)A.B.关于x的不等式的解集为C.D.关于x的不等式的解集为例6.(多选题)(2023·全国·高一)若不等式的解集为,则下列说法正确的是(
)A. B.C.关于的不等式解集为 D.关于的不等式解集为例7.(2023·全国·高一专题练习)关于的不等式的解集为,则的最小值是_____________.例8.(2023·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中)已知关于x的一元二次不等式的解集为,且,,,,则的最小值为_______.题型二:分式不等式的解法例9.(2023·河南·高一期中)不等式的解集是______.例10.(2023·全国·高一专题练习)不等式的解集是_______.例11.(2023·湖南·新邵县第二中学高一开学考试)不等式的解是___________.例12.(2023·上海市延安中学高一期中)已知关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围是___________.例13.(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习)不等式的解集是____________.例14.(2023·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习)设关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为______;例15.(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试)若不等式的解集为,则不等式的解集为______.例16.(2023·上海·高一专题练习)关于x的不等式的解集是,则的值为____.题型三:绝对值不等式的解法例17.(2023·上海交大附中高一阶段练习)不等式组的解集为______________;例18.(2023·上海交大附中高一期中)已知集合,,则=___.例19.(2023·上海浦东新·高一期中)不等式的解集是_________.例20.(2023·全国·高一专题练习)设集合A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A是B的真子集,则a的取值范围为___.题型四:高次不等式的解法例21.(2023·全国·高一课时练习)不等式的解集为___________.例22.(2023·天津·静海一中高一阶段练习)不等式的解集为___________.例23.(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习)不等式的解集为________.例24.(2023·上海·华师大二附中高一期末)不等式的解集为______.例25.(2023·上海·高一专题练习)不等式的解集为________例26.(2023·浙江·诸暨中学高一期中)不等式的解集为______.例27.(2023·上海·高一专题练习)不等式的解集为_________.例28.(2023·上海市复兴高级中学高一期中)不等式的解集是______.例29.(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习)不等式的解集为(
)A.[-1,2] B.[-2,1]C.[-2,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]题型五:一元二次不等式恒成立问题例30.(2023·江苏·高一专题练习)若正实数满足,且不等式恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B.C. D.例31.(2023·全国·高一单元测试)在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立,则实数a的取值范围为(
)A. B. C. D.例32.(2023·河南濮阳·高一期末(理))已知命题“,”是假命题,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.例33.(2023·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习)“不等式在R上恒成立”的充要条件是(
)A. B.C. D.例34.(2023·四川·广安二中高一阶段练习(理))已知关于的不等式的解集为R,则实数的取值范围(
)A. B.C. D.例35.(2023·全国·高一单元测试)已知,恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.例36.(2023·陕西安康·高一期中)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.例37.(2023·广西·南宁市东盟中学高一期中)已知命题“”为假命题,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.例38.(2023·全国·高一课时练习)已知命题p:“,”为真命题,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.【过关测试】一、单选题1.(2023·江西·丰城九中高一期末)已知集合,,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2023·全国·高一)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.3.(2023·江苏·高一专题练习)若存在正实数y,使得,则实数x的最大值为(
)A. B. C.1 D.44.(2023·江苏·高一)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是(
)A. B.C. D.5.(2023·全国·高一课时练习)关于的不等式对恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.6.(2023·江苏·高一)已知不等式的解集为,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.7.(2023·北京师大附中高一期末)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.8.(2023·广西·桂林中学高一期中)已知的解集为,关于x的不等式的解集为(
)A. B. C. D.二、多选题9.(2023·湖北黄石·高一阶段练习)下列结论错误的是(
)A.不存在实数a使得关于x的不等式的解集为B.不等式在R上恒成立的必要条件是且C.若函数对应的方程没有实根,则不等式的解集为RD.不等式的解集为10.(2023·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习)设:实数满足,则成立的一个必要不充分条件是(
)A. B. C. D.11.(2023·江苏南京·高一阶段练习)定义区间的长度为,若满足的构成的区间的长度之和为3,则实数的可能取值是(
)A. B. C.3 D.412.(2023·全国·高一专题练习)下列条件中,为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有(
)A. B.C. D.三、填空题13.(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式(ax+b)(cx-b)<0的解集是________.14.(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习)若对任意,恒成立,则的最大值为_________.15.(2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中)不等式的解集为,则的最大值为____________.16.(2023·上海·格致中学高一期末)已知关于的不等式的解集为,则的最小值是___________.微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的两个根,且(1)当时,二次函数图象开口向上.(2)=1\*GB3①若,解集为.=2\*GB3②若,解集为.=3\*GB3③若,解集为.(2)当时,二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若,解集为=2\*GB3②若,解集为二、分式不等式(1)(2)(3)(4)三、绝对值不等式(1)(2);;(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】(1)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(2)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(3)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;(4)已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足.【题型归纳目录】题型一:一元二次不等式的解法题型二:分式不等式的解法题型三:绝对值不等式的解法题型四:高次不等式的解法题型五:一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一:一元二次不等式的解法例1.(2023·全国·高一课时练习)不等式的解集是,则的解集是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为不等式的解集是,所以方程的两根为,所以由韦达定理得,,即,所以,解不等式得解集为故选:C例2.(2023·福建·厦门一中高一期中)已知关于的不等式的解集为或,则下列说法正确的是(
)A. B.不等式的解集为C. D.不等式的解集为答案:B【解析】因为关于的不等式的解集为或,所以,所以选项A错误;由题得,所以为.所以选项B正确;设,则,所以选项C错误;不等式为,所以选项D错误.故选:B例3.(2023·江苏南京·高一期末)已知,关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为(
)A.B.C.D.答案:A【解析】因为不等式的解集为,所以即,不等式等价于,解得.故选:A.例4.(2023·全国·高一课时练习)已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集,则实数的取值范围是(
).A. B. C. D.答案:B【解析】不等式组解得,所以不等式组的解集是,关于的不等式解集包含,令,,解得,故选:.例5.(多选题)(2023·江苏·苏州中学高一阶段练习)关于x的不等式的解集为,则下列正确的是(
)A.B.关于x的不等式的解集为C.D.关于x的不等式的解集为答案:ACD【解析】A.由已知可得且是方程的两根,A正确,B.由根与系数的关系可得:,解得,则不等式可化为:,即,所以,B错误,C.因为,C正确,D.不等式可化为:,即,解得或,D正确,故选:ACD.例6.(多选题)(2023·全国·高一)若不等式的解集为,则下列说法正确的是(
)A. B.C.关于的不等式解集为 D.关于的不等式解集为答案:ABD【解析】因为不等式的解集为,所以,故,此时,所以A正确,B正确;,解得:或.所以D正确;C错误.故选:ABD例7.(2023·全国·高一专题练习)关于的不等式的解集为,则的最小值是_____________.答案:4【解析】关于的不等式可化为所以不等式的解集为,所以.所以(当且仅当,即时取“=”).故答案为:4.例8.(2023·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中)已知关于x的一元二次不等式的解集为,且,,,,则的最小值为_______.答案:【解析】由题意,关于x的一元二次不等式的解集为,可得,且,所以且,所以,又由不等式的解集为,所以,令,则,所以,当且仅当时取等号.所以的最小值为.故答案为:.题型二:分式不等式的解法例9.(2023·河南·高一期中)不等式的解集是______.答案:【解析】不等式化为以下两个不等式组:或,解,即,解得,解,即,解得,所以原不等式的解集是.故答案为:例10.(2023·全国·高一专题练习)不等式的解集是_______.答案:【解析】由可得,即,即解得所以不等式的解集是故答案为:例11.(2023·湖南·新邵县第二中学高一开学考试)不等式的解是___________.答案:【解析】由题设,,∴,可得,原不等式的解集为.故答案为:.例12.(2023·上海市延安中学高一期中)已知关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围是___________.答案:【解析】恒成立,不等式等价于的解集是,当时,不成立,解集是,当时,,解得:,综上:.故答案为:例13.(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习)不等式的解集是____________.答案:【解析】原不等式等价于,解得:或,故答案为:.例14.(2023·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习)设关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为______;答案:【解析】由于关于的不等式的解集是,则为关于的根,且,,得,不等式即为,即,解该不等式得故答案为:例15.(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试)若不等式的解集为,则不等式的解集为______.答案:【解析】∵不等式的解集为∴,是方程的两根,∴
,∴可化为∴∴不等式的解集为,故答案为:.例16.(2023·上海·高一专题练习)关于x的不等式的解集是,则的值为____.答案:3【解析】由题知,,整理得,所以,且,因为不等式,且,的解集为,所以,.故答案为:.题型三:绝对值不等式的解法例17.(2023·上海交大附中高一阶段练习)不等式组的解集为______________;答案:;【解析】不等式等价于,解之得:,不等式等价于,解之得:,故不等式组的解集为:.故答案为:.例18.(2023·上海交大附中高一期中)已知集合,,则=___.答案:【解析】解不等式即,解得,故,解,即,解得,故,则,故答案为:.例19.(2023·上海浦东新·高一期中)不等式的解集是_________.答案:【解析】当时,不等式转化为,解得,此时,当时,不等式转化为,解得,此时,当时,不等式转化为,解得,此时无解,综上:的解集是.故答案为:例20.(2023·全国·高一专题练习)设集合A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A是B的真子集,则a的取值范围为___.答案:2≤a≤4【解析】由|x﹣a|<1,得﹣1<x﹣a<1,∴a﹣1<x<a+1,由A是B的真子集,得,∴2<a<4.又当a=2时,A={x|1<x<3},a=4时,A={x|3<x<5},均满足A是B的真子集,∴2≤a≤4.故答案为:2≤a≤4题型四:高次不等式的解法例21.(2023·全国·高一课时练习)不等式的解集为___________.答案:【解析】等价于,即,即,又等价于,利用数轴标根法解得或,所以原不等式的解集为,故答案为:例22.(2023·天津·静海一中高一阶段练习)不等式的解集为___________.答案:【解析】由题得且.由题得,所以,零点为.当时,不等式不成立;当时,不等式成立;当时,不等式不成立;当时,不等式成立;当时,不等式不成立;当时,不等式成立.故不等式的解集为:故答案为:例23.(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习)不等式的解集为________.答案:【解析】,根据数轴穿根法可解得或,,解得或或,所以,解得.故答案为:例24.(2023·上海·华师大二附中高一期末)不等式的解集为______.答案:【解析】不等式化为,,,解得或.故答案为:.例25.(2023·上海·高一专题练习)不等式的解集为________答案:【解析】如下图所示:根据图象可知:当或或时,,所以不等式的解集为:,故答案为:.例26.(2023·浙江·诸暨中学高一期中)不等式的解集为______.答案:【解析】因为,所以,解得或.所以不等式的解集为:.故答案为:例27.(2023·上海·高一专题练习)不等式的解集为_________.答案:.【解析】等价于当时,不等式不成立,当时,不等式等价于,解得或且,故不等式的解集为.故答案为:.例28.(2023·上海市复兴高级中学高一期中)不等式的解集是______.答案:或【解析】不等式等价为且,∴或,∴不等式的解集是或故答案为:或例29.(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习)不等式的解集为(
)A.[-1,2] B.[-2,1]C.[-2,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]答案:D【解析】由可得,,∴,解得且,故原不等式的解集为.故选:D.题型五:一元二次不等式恒成立问题例30.(2023·江苏·高一专题练习)若正实数满足,且不等式恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】正实数x,y满足,可得,不等式恒成立,即恒成立,变形可得恒成立,即恒成立,,,,当且仅当时等号成立,,即,解不等式可得,或舍可得,要使恒成立,只需恒成立,化简可得,即,解得或,故实数a的取值范围是故选:B.例31.(2023·全国·高一单元测试)在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立,则实数a的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,得,即,令,此时只需,又,所以,即,解得.故选:A.例32.(2023·河南濮阳·高一期末(理))已知命题“,”是假命题,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:A【解析】若“,”是真命题,即判别式,解得:,所以命题“,”是假命题,则实数的取值范围为:.故选:A.例33.(2023·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习)“不等式在R上恒成立”的充要条件是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】∵不等式在R上恒成立,∴,解得,又∵,∴,则不等式在R上恒成立,∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,故选:A.例34.(2023·四川·广安二中高一阶段练习(理))已知关于的不等式的解集为R,则实数的取值范围(
)A. B.C. D.答案:B【解析】当时,不等式为,对恒成立,所以满足条件当时,不等式为,解集为,不满足题意当时,对应的二次函数开口向上,的解集一定不是R,不满足题意当,时,若不等式的解集为R,则,解得:,综上,故选:B例35.(2023·全国·高一单元测试)已知,恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由,恒成立,可得在上恒成立,即即.故选:D.例36.(2023·陕西安康·高一期中)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为对任意的恒成立,所以对任意的恒成立,因为当,,所以,,即m的取值范围是故选:A例37.(2023·广西·南宁市东盟中学高一期中)已知命题“”为假命题,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】由题知,命题“”为假命题,则为真命题,即恒成立.又,当且仅当,即等号成立,所以.故选:B例38.(2023·全国·高一课时练习)已知命题p:“,”为真命题,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由题意,当时,不等式有解,等价于“,恒成立”为真时对应a取值集合的补集若,恒成立为真命题,需满足,且,解得.因此p命题成立时a的范围时故选:A.【过关测试】一、单选题1.(2023·江西·丰城九中高一期末)已知集合,,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B【解析】由题意得,所以.所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B2.(2023·全国·高一)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】不等式,即,当时,不等式解集为,此时要使解集中恰有3个整数,这3个整数只能是4,5,6,故;当时,不等式解集为,此时不符合题意;当时,不等式解集为,此时要使解集中恰有3个整数,这3个整数只能是0,1,2,故;故实数m的取值范围为.故选:C3.(2023·江苏·高一专题练习)若存在正实数y,使得,则实数x的最大值为(
)A. B. C.1 D.4答案:A【解析】,因为,所以,所以,当时,,解得,当时,,解得,故x的最大值为.故选:A4.(2023·江苏·高一)已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】关于x的不等式的解集为,,,可化为,,关于x的不等式的解集是.故选:D.5.(2023·全国·高一课时练习)关于的不等式对恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:C【解析】因为不等式对恒成立,所以对恒成立,所以,当时,对恒成立.当时,由题意,得,即,解得,综上,的取值范围为.故选:C6.(2023·江苏·高一)已知不等式的解集为,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】关于x的不等式的解集为,且和1是方程的两个根,则,,关于x的不等式,即,,解得,故不等式的解集为,故选:A7.(2023·北京师大附中高一期末)关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】当时,不等式为恒成立,;当时,不等式可化为:,,(当且仅当,即时取等号),;综上所述:实数的取值范围为.故选:B.8.(2023·广西·桂林中学高一期中)已知的解集为,关于x的不等式的解集为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因的解集为,则,且,即有,因此,不等式化为:,即,于是有:或,解得,解得,所以所求不等式的解集为:.故选:A二、多选题9.(2023·湖北黄石·高一阶段练习)下列结论错误的是(
)A.不存在实数a使得关于x的不等式的解集为B.不等式在R上恒成立的必要条件是且C.若函数对应的方程没有实根,则不等式的解集为RD.不等式的解集为答案:CD【解析】对于选项A,当时,的解集不为,而当时,要使不等式的解集为,只需,即,因,故不存在实数a使得关于x的不等式的解集为,因此A正确;对于选项B,当且时,在R上恒成立,故不等式在R上恒成立的必要条件是且,因此B正确;对于选项C,因函数对应的方程没有实根,但正负不确定,故或恒成立,因此不等式的解集不一定为R,故C错;对于选项D,由,得,即,
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