高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题05一元二次不等式、分式不等式(原卷版+解析)

微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为二、分式不等式（1）（2）（3）（4）三、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（2）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．(2023·全国·高一课时练习）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．例2．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为例3．(2023·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．D．例4．(2023·全国·高一课时练习）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．例5．（多选题）(2023·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（

）A．B．关于x的不等式的解集为C．D．关于x的不等式的解集为例6．（多选题）(2023·全国·高一）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为例7．(2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集为，则的最小值是_____________．例8．(2023·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．题型二：分式不等式的解法例9．(2023·河南·高一期中）不等式的解集是______．例10．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．例11．(2023·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式的解是___________．例12．(2023·上海市延安中学高一期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________．例13．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式的解集是____________．例14．(2023·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______；例15．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式的解集为，则不等式的解集为______．例16．(2023·上海·高一专题练习）关于x的不等式的解集是，则的值为____．题型三：绝对值不等式的解法例17．(2023·上海交大附中高一阶段练习）不等式组的解集为______________；例18．(2023·上海交大附中高一期中）已知集合，，则＝___．例19．(2023·上海浦东新·高一期中）不等式的解集是_________．例20．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．题型四：高次不等式的解法例21．(2023·全国·高一课时练习）不等式的解集为___________．例22．(2023·天津·静海一中高一阶段练习）不等式的解集为___________．例23．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式的解集为________．例24．(2023·上海·华师大二附中高一期末）不等式的解集为______．例25．(2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为________例26．(2023·浙江·诸暨中学高一期中）不等式的解集为______．例27．(2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为_________．例28．(2023·上海市复兴高级中学高一期中）不等式的解集是______．例29．(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1）∪（1，3] D．[－1，1）∪（1，2]题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．(2023·江苏·高一专题练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例31．(2023·全国·高一单元测试）在R上定义运算．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例32．(2023·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例33．(2023·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（

）A． B．C． D．例34．(2023·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．例35．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例36．(2023·陕西安康·高一期中）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．例37．(2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例38．(2023·全国·高一课时练习）已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．(2023·江西·丰城九中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2023·全国·高一）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏·高一专题练习）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（

）A． B． C．1 D．44．(2023·江苏·高一）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高一课时练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．(2023·江苏·高一）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．(2023·北京师大附中高一期末）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．(2023·广西·桂林中学高一期中）已知的解集为，关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（

）A．不存在实数a使得关于x的不等式的解集为B．不等式在R上恒成立的必要条件是且C．若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为RD．不等式的解集为10．(2023·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设：实数满足，则成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．11．(2023·江苏南京·高一阶段练习）定义区间的长度为，若满足的构成的区间的长度之和为3，则实数的可能取值是（

）A． B． C．3 D．412．(2023·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．三、填空题13．(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则不等式（ax+b）（cx-b）<0的解集是________．14．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意，恒成立，则的最大值为_________．15．(2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________．16．(2023·上海·格致中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________．微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为二、分式不等式（1）（2）（3）（4）三、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（2）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；（4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．(2023·全国·高一课时练习）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为不等式的解集是，所以方程的两根为，所以由韦达定理得，，即，所以，解不等式得解集为故选：C例2．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为答案：B【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为．所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误．故选：B例3．(2023·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．D．答案：A【解析】因为不等式的解集为，所以即，不等式等价于，解得．故选：A．例4．(2023·全国·高一课时练习）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．答案：B【解析】不等式组解得，所以不等式组的解集是，关于的不等式解集包含，令，，解得，故选：．例5．（多选题）(2023·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（

）A．B．关于x的不等式的解集为C．D．关于x的不等式的解集为答案：ACD【解析】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，B．由根与系数的关系可得：，解得，则不等式可化为：，即，所以，B错误，C．因为，C正确，D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，故选：ACD．例6．（多选题）(2023·全国·高一）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为答案：ABD【解析】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确，B正确；，解得：或．所以D正确；C错误．故选：ABD例7．(2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集为，则的最小值是_____________．答案：4【解析】关于的不等式可化为所以不等式的解集为，所以．所以（当且仅当，即时取“=”）．故答案为：4．例8．(2023·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．答案：【解析】由题意，关于x的一元二次不等式的解集为，可得，且，所以且，所以，又由不等式的解集为，所以，令，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为．故答案为：．题型二：分式不等式的解法例9．(2023·河南·高一期中）不等式的解集是______．答案：【解析】不等式化为以下两个不等式组：或，解，即，解得，解，即，解得，所以原不等式的解集是．故答案为：例10．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．答案：【解析】由可得，即，即解得所以不等式的解集是故答案为：例11．(2023·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式的解是___________．答案：【解析】由题设，，∴，可得，原不等式的解集为．故答案为：．例12．(2023·上海市延安中学高一期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________．答案：【解析】恒成立，不等式等价于的解集是，当时，不成立，解集是，当时，，解得：，综上：．故答案为：例13．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式的解集是____________．答案：【解析】原不等式等价于，解得：或，故答案为：．例14．(2023·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______；答案：【解析】由于关于的不等式的解集是，则为关于的根，且，，得，不等式即为，即，解该不等式得故答案为：例15．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式的解集为，则不等式的解集为______．答案：【解析】∵不等式的解集为∴，是方程的两根，∴

，∴可化为∴∴不等式的解集为，故答案为：．例16．(2023·上海·高一专题练习）关于x的不等式的解集是，则的值为____．答案：3【解析】由题知，，整理得，所以，且，因为不等式，且，的解集为，所以，．故答案为：．题型三：绝对值不等式的解法例17．(2023·上海交大附中高一阶段练习）不等式组的解集为______________；答案：；【解析】不等式等价于，解之得：，不等式等价于，解之得：，故不等式组的解集为：．故答案为：．例18．(2023·上海交大附中高一期中）已知集合，，则＝___．答案：【解析】解不等式即，解得，故，解，即，解得，故，则，故答案为：．例19．(2023·上海浦东新·高一期中）不等式的解集是_________．答案：【解析】当时，不等式转化为，解得，此时，当时，不等式转化为，解得，此时，当时，不等式转化为，解得，此时无解，综上：的解集是．故答案为：例20．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．答案：2≤a≤4【解析】由|x﹣a|＜1，得﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，由A是B的真子集，得，∴2＜a＜4．又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}，a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}，均满足A是B的真子集，∴2≤a≤4．故答案为：2≤a≤4题型四：高次不等式的解法例21．(2023·全国·高一课时练习）不等式的解集为___________．答案：【解析】等价于，即，即，又等价于，利用数轴标根法解得或，所以原不等式的解集为，故答案为：例22．(2023·天津·静海一中高一阶段练习）不等式的解集为___________．答案：【解析】由题得且．由题得，所以，零点为．当时，不等式不成立；当时，不等式成立；当时，不等式不成立；当时，不等式成立；当时，不等式不成立；当时，不等式成立．故不等式的解集为：故答案为：例23．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式的解集为________．答案：【解析】，根据数轴穿根法可解得或，，解得或或，所以，解得．故答案为：例24．(2023·上海·华师大二附中高一期末）不等式的解集为______．答案：【解析】不等式化为，，，解得或．故答案为：．例25．(2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为________答案：【解析】如下图所示：根据图象可知：当或或时，，所以不等式的解集为：，故答案为：．例26．(2023·浙江·诸暨中学高一期中）不等式的解集为______．答案：【解析】因为，所以，解得或．所以不等式的解集为：．故答案为：例27．(2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为_________．答案：．【解析】等价于当时，不等式不成立，当时，不等式等价于，解得或且，故不等式的解集为．故答案为：．例28．(2023·上海市复兴高级中学高一期中）不等式的解集是______．答案：或【解析】不等式等价为且，∴或，∴不等式的解集是或故答案为：或例29．(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1）∪（1，3] D．[－1，1）∪（1，2]答案：D【解析】由可得，，∴，解得且，故原不等式的解集为．故选：D．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．(2023·江苏·高一专题练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】正实数x，y满足，可得，不等式恒成立，即恒成立，变形可得恒成立，即恒成立，，，，当且仅当时等号成立，，即，解不等式可得，或舍可得，要使恒成立，只需恒成立，化简可得，即，解得或，故实数a的取值范围是故选：B．例31．(2023·全国·高一单元测试）在R上定义运算．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，得，即，令，此时只需，又，所以，即，解得．故选：A．例32．(2023·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：．故选：A．例33．(2023·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，则不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A．例34．(2023·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．答案：B【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件当时，不等式为，解集为，不满足题意当时，对应的二次函数开口向上，的解集一定不是R，不满足题意当，时，若不等式的解集为R，则，解得：，综上，故选：B例35．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即．故选：D．例36．(2023·陕西安康·高一期中）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A例37．(2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题知，命题“”为假命题，则为真命题，即恒成立．又，当且仅当，即等号成立，所以．故选：B例38．(2023·全国·高一课时练习）已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意，当时，不等式有解，等价于“，恒成立”为真时对应a取值集合的补集若，恒成立为真命题，需满足，且，解得．因此p命题成立时a的范围时故选：A．【过关测试】一、单选题1．(2023·江西·丰城九中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】由题意得，所以．所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B2．(2023·全国·高一）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C3．(2023·江苏·高一专题练习）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（

）A． B． C．1 D．4答案：A【解析】，因为，所以，所以，当时，，解得，当时，，解得，故x的最大值为．故选：A4．(2023·江苏·高一）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】关于x的不等式的解集为，，，可化为，，关于x的不等式的解集是．故选：D．5．(2023·全国·高一课时练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因为不等式对恒成立，所以对恒成立，所以，当时，对恒成立．当时，由题意，得，即，解得，综上，的取值范围为．故选：C6．(2023·江苏·高一）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】关于x的不等式的解集为，且和1是方程的两个根，则，，关于x的不等式，即，，解得，故不等式的解集为，故选：A7．(2023·北京师大附中高一期末）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为．故选：B．8．(2023·广西·桂林中学高一期中）已知的解集为，关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因的解集为，则，且，即有，因此，不等式化为：，即，于是有：或，解得，解得，所以所求不等式的解集为：．故选：A二、多选题9．(2023·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（

）A．不存在实数a使得关于x的不等式的解集为B．不等式在R上恒成立的必要条件是且C．若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为RD．不等式的解集为答案：CD【解析】对于选项A，当时，的解集不为，而当时，要使不等式的解集为，只需，即，因，故不存在实数a使得关于x的不等式的解集为，因此A正确；对于选项B，当且时，在R上恒成立，故不等式在R上恒成立的必要条件是且，因此B正确；对于选项C，因函数对应的方程没有实根，但正负不确定，故或恒成立，因此不等式的解集不一定为R，故C错；对于选项D，由，得，即，