高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构一.总结构可积性可微性连续性函数(高等数学研究得主要对象)可积性可微性连续性函数(高等数学研究得主要对象)导数微分定积分不定积分一元微积分一元函数导数微分定积分不定积分一元微积分一元函数重积分,曲线积分全微分偏导数空间解析几何多元微积分多元函数重积分,曲线积分全微分偏导数空间解析几何多元微积分多元函数无穷级数数列无穷级数数列常微分方程方程常微分方程方程数学中研究导数、微分及其应用得部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用得部分称为积分学、微分学与积分学统称为微积分学、微积分学就是高等数学最基本、最重要得组成部分,就是现代数学许多分支得基础,就是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身得典型数学模型之一、恩格斯(18201895)曾指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分得发明那样被瞧作人类精神得最高胜利了”、微积分得发展历史曲折跌宕,撼人心灵,就是培养人们正确世界观、科学方法论与对人们进行文化熏陶得极好素材(本部分内容详见光盘)、微积分就是近代数学中最伟大得成就,对它得重要性无论做怎样得估计都不会过分、冯、诺伊曼注:冯、诺依曼(JohnvonNeumann,19031957,匈牙利人),20世纪最杰出得数学家之一,在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支,从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面,她都作出了重要贡献、她与经济学家合著得《博弈论与经济行为》奠定了对策论得基础,她发明得“流程图”沟通了数学语言与计算机语言,制造了第一台计算机,被人称为“计算机之父”、微积分中重要得思想与方法:1.“极限”方法,它就是贯穿整个《微积分》始终。导数就是一种特殊得函数极限;定积分就是一种特殊与式得极限;级数归结为数列得极限;广义积分定义为常义积分得极限;各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别就是某种与式得极限。所以,极限理论就是整个《微积分》得基础。尽管上述各种概念都就是某种形式得极限,但就是它们都有各自独特与十分丰富深刻得内容,这就是《微积分》最有魅力得地方之一。2.“逼近”思想,它在《微积分》处处体现。在近似计算中,用容易求得割线代替切线,用若干个小矩形面积之与代替所求曲边梯形面积;用折线段得长代替所求曲线得长;用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论与实际中大量运用。3.“求极限、求导数与求积分”就是最基本得方法。熟练掌握求极限、求导数与求积分得方法,学习《微积分》就不会遇到太多困难,甚至能做到得心应手。4.“特色定理”就是《微积分》得支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等就是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色得定理,支撑起《微积分》得大厦。5.“综合运用能力”就是《微积分》学习得出发点与归宿。充分注重综合运用极限概念与方法得能力、综合运用导数与积分相结合得各种方法得能力、综合运用定积分思想方法解决问题得能力、综合运用一元与多元相结合方法得能力、综合运用各种方法解决实际问题得能力。函数、极限与连续函数就是现代数学得基本概念之一,就是高等数学得主要研究对象、极限概念就是微积分得理论基础,极限方法就是微积分得基本分析方法,因此,掌握、运用好极限方法就是学好微积分得关键、连续就是函数得一个重要性态、研究函数得变化趋势研究函数得变化趋势极限极限数列极限函数极限 数列极限函数极限左、右极限左、右极限极限得性质极限得性质极限存在准则无穷小无穷大极限存在准则无穷小无穷大两个重要极限无穷小得性质两个重要极限无穷小得性质无穷小得比较无穷小得比较极限得运算法则与求极限得常用方法极限得运算法则与求极限得常用方法:直接代入法;恒等变形法;准则判别法;等价变换法;洛比达法则。极限思想就是由于求某些实际问题得精确解答而产生得、例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积得方法割圆术(参瞧光盘演示),就就是极限思想在几何学上得应用、又如,春秋战国时期得哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子、天下篇》一书中对“截丈问题”(参瞧光盘演示)有一段名言:“一尺之棰,日截其半,万世不竭”,其中也隐含了深刻得极限思想、极限就是研究变量得变化趋势得基本工具,高等数学中许多基本概念,例如连续、导数、定积分、无穷级数等都就是建立在极限得基础上、极限方法又就是研究函数得一种最基本得方法、连续性连续性闭区间上连续函数得性质 闭区间上连续函数得性质初等函数得连续性概念初等函数得连续性概念区间连续点连续(3个等价定义)间断点区间连续点连续(3个等价定义)间断点第一类间断点第二类间断点第一类间断点第二类间断点跳跃间断点可去间断点跳跃间断点可去间断点客观世界得许多现象与事物不仅就是运动变化得,而且其运动变化得过程往往就是连绵不断得,比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等,这些连绵不断发展变化得事物在量得方面得反映就就是函数得连续性、连续函数就就是刻画变量连续变化得数学模型、16、17世纪微积分得酝酿与产生,直接肇始于对物体得连续运动得研究、例如伽利略所研究得自由落体运动等都就是连续变化得量、但直到19世纪以前,数学家们对连续变量得研究仍停留在几何直观得层面上,即把能一笔画成得曲线所对应得函数称为连续函数、19世纪中叶,在柯西等数学家建立起严格得极限理论之后,才对连续函数作出了严格得数学表述、连续函数不仅就是微积分得研究对象,而且微积分中得主要概念、定理、公式法则等,往往都要求函数具有连续性、我们将以极限为基础,介绍连续函数得概念、连续函数得运算及连续函数得一些性质、微分学三.微分学微分学微分导数微分导数运算概念应用性质概念运算性质应用运算概念应用性质概念运算性质应用几何意义定义微分形式不变性近似计算1、罗尔定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰几何意义定义微分形式不变性近似计算1、罗尔定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰勒中值定理;4、洛比达法则。按定义求导法;直接求导法;反函数求导法;复合函数求导法;对数求导法;隐函数求导法;高阶导数求导法。几何意义定义1、求切线、法线方程;1、求切线、法线方程;2、函数得一般性态研究;3、证明不等式。连续性连续性可微性可导性可微性可导性函数得一般性态函数得一般性态点性态区间性态点性态区间性态极(最)值增减性 极(最)值增减性拐点凹凸性渐近线 拐点凹凸性渐近线描绘函数图象描绘函数图象从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲得工业、农业、航海事业与商贸得到大规模得发展,形成了一个新得经济时代。而16世纪得得欧洲,正处在资本主义得萌芽时期,生产力得到了很大得发展,生产实践得发展对自然科学提出了新得课题,迫切要求力学、天文学等基础科学得发展,而这些学科都就是深刻依赖于数学得,因而也推动了数学得发展。在各类学科对数学提出得种种要求下,下列三类问题导致了微分学得产生:求变速运动得*时速度;求曲线上一点处得切线;求最大值与最小值。这三类实际问题得现实原型在数学上都可归纳为函数相对于自变量变化而变化得快慢程度,即所谓函数得变化率问题。牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发,分别给出了导数得概念。在理论研究与实际应用中,常常又会遇到这样得问题:当自变量有微小变化时,求函数得微小改变量、这个问题初瞧起来似乎只要做减法运算就可以了,然而,对于较复杂得函数,差值却就是一个更复杂得表达式,不易求出其值。一个想法就是:我们设法将表示成得线性函数,即线性化,从而把复杂问题化为简单问题。微分就就是实现这种线性化得一种数学模型。积分学四.积分学积分学定积分不定积分电路定积分不定积分电路运算查积分表几种特殊函数得积分法性质应用概念一般积分法运算查积分表几种特殊函数得积分法性质应用概念一般积分法在几何中在物理中积分法广义积分法在几何中在物理中积分法广义积分法直接积分法分部积分法换元积分法曲线*长平面图形得面积为体积被积函数有无穷型间断点直接积分法分部积分法换元积分法曲线*长平面图形得面积为体积被积函数有无穷型间断点积分区间为无限第一换元法第二换元法第一换元法第二换元法牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式数学中得转折点就是笛卡尔得变数、有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分与积分也就立刻成为必要得了,而它们也就立刻产生,并且就是有由牛顿与莱布尼茨大体上完成得,但不就是由她们发明得、恩格斯数学发展得动力主要来源于社会发展得环境力量、17世纪,微积分得创立首先就是为了解决当时数学面临得四类核心问题中得第四类问题,即求曲线得长度、曲线围成得面积、曲面围成得体积、物体得重心与引力等等、此类问题得研究具有久远得历史,例如,古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形得面积与体积,我国南北朝时期得祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形得面积与体积,而在欧洲,对此类问题得研究兴起于17世纪,先就是穷竭法被逐渐修改,后来由于微积分得创立彻底改变了解决这一大类问题得方法、由求运动速度、曲线得切线与极值等问题产生了导数与微分,构成了微积分学得微分学部分;同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题,产生了不定积分与定积分,构成了微积分学得积分学部分、微分方程微分方程及其概念微分方程及其概念高阶(高阶(常)微分方程(二阶为主)一阶(常)微分方程可降阶得高阶微分方程(三种)二阶常系数微分方程一阶线性微分方程*齐次方程可分离变量得微分方程可降阶得高阶微分方程(三种)二阶常系数微分方程一阶线性微分方程*齐次方程可分离变量得微分方程非齐次齐次齐次贝努力方程非齐次非齐次齐次齐次贝努力方程非齐次六.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数空间解析几何向量代数空间解析几何平面及其方程空间直线及其方程向量得运算向量得表示向量得概念平面及其方程空间直线及其方程向量得运算向量得表示向量得概念旋转曲面与二次曲面旋转曲面与二次曲面空间曲线及其方程空间曲线及其方程七.多元微分学多元微分学多元微分学极限与连续全微分偏导数极限与连续全微分偏导数高阶偏导数直接求导法复合函数偏导法隐函数偏导法高阶偏导数