新高考高中数学核心知识点全透视专题15.6导数的综合应用(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题15.6导数的综合应用（专题训练卷）一、单选题1．（2023·全国高二课时练习）已知函数（）只有一个零点，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2.（2023·云南曲靖一中高三月考（文））已知函数，若对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（）A．(1，3] B．(1，5] C．(3，5] D．(3，7]3．（2023·黑龙江大庆·铁人中学高三月考（文））函数零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2023·河南高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是()A． B． C． D．5．（2023·河南高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2023·全国高二学业考试）函数与函数的图象有3个交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．7．（2023·云南曲靖一中高三月考（理））定义在R上的偶函数f（x）满足，当（其中e为自然对数的底数，e=2.71828……），则函数g（x）=f（x）+lnx在区间（0，4）上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2023·河南高三月考（理））已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[-1，1] B．[-1，+∞）C．（-∞，-1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）二、多选题9.（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知，下列说法正确的是（）A．在处的切线方程为B．若方程有两个不相等的实数根，则C．的极大值为D．的极小值点为10．（2023·全国高二单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．若是增函数，则C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有两个极值点11．（2023·福建高三一模）已知函数，，则（）A．在上为增函数B．当时，方程有且只有3个不同实根C．的值域为D．若，则12．（2023·山东高三其他模拟）已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（）A．周期为B．函数在区间上为增函数C．函数在上的零点个数为D．对，三、填空题13．（2023·西城·北京十五中高三月考）函数有两个零点，则的取值范围是___________.14．（2023·全国高二学业考试）一艘船的燃料费y（单位：元/时）与船速x（单位：千米/时）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为______千米/时.15．（2023·全国高二单元测试）已知定义域为R的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______．16．（2023·四川青羊·石室中学高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为___________.四、解答题17.（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））已知函数，函数的图象在处的切线方程为．（1）当时，求函数在上的最小值与最大值;（2）若函数有两个零点，求a的值．18．（2023·湖南开福�长沙一中高三月考（理））设函数，.（1）若，讨论的零点个数；（2）证明：.19.(2023·全国高考真题（理））已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.20.（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数．（1）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；（2）证明：关于的方程有两个不等实根．21．（2023·北京昌平·北师大二附中未来科技城学校高三月考）已知，，．（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值．22.（2023·四川省南充市白塔中学高三模拟预测（理））已知函数，，，令．（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．专题15.6导数的综合应用（专题训练卷）一、单选题1．（2023·全国高二课时练习）已知函数（）只有一个零点，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．答案：A分析：先求导，分析出三次函数的单调性为：增减增的形式，结合图像可知，为保证只有唯一的负数零点，只要其极小值大于零.【详解】，，当或时，；当时，．故的极小值为，因为函数只有一个零点，且，所以，解得或，又，则．故选：A．2.（2023·云南曲靖一中高三月考（文））已知函数，若对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（）A．(1，3] B．(1，5] C．(3，5] D．(3，7]答案：C分析：由对任意的在区间[-2，2]上总存在唯一的零点可得，由此求实数a的取值范围.【详解】∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∵在上总存在唯一的零点，即与的图象在上仅有一个交点，∴，即，.∵，∴，∴，即的取值范围为，故选：C．3．（2023·黑龙江大庆·铁人中学高三月考（文））函数零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B分析：求导分析单调性，结合极小值，极大值，以及的正负，即可判断零点个数【详解】由题意得，令令或，则在和上单调递增；令，则在单调递减故当时，取得极小值；当时，取得极大值故当时，函数无零点；当时，，又故当时，函数只有一个零点因此函数有一个零点故选：B4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是()A． B． C． D．答案：C分析：首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为，所以，当，；当，，所以在和单调递减，在单调递增，且当时，，，故的大致图象如图所示：关于的方程等价于，即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故选:C.5．（2023·河南高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：B分析：求导分析的单调性、极值、边界情况，画出函数在的图象，数形结合即得解【详解】当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，且，当时，；当时，单调递增，且此时.函数在的图象如下图所示：方程即，由图象可知，在有3个实数解，由于为偶函数，故在R上有6个实数解所以只需要有4个不同的实数解，可得或，故选：B.6．（2023·全国高二学业考试）函数与函数的图象有3个交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据题意得关于x的方程有3个不相等实根，进而令，利用导数研究函数的零点即可得答案.【详解】的定义域为，函数与函数的图象有3个交点，等价于关于x的方程有3个不相等实根.令，因为，所以必有1个零点.（当且仅当时取等号）.当时，在上单调递增，不符合题意；当时，令，得，，所以，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，又，所以，，又，，所以在上有1个零点，在上有1个零点，所以函数有3个零点，即函数与函数的图象有3个交点.故选：D.7．（2023·云南曲靖一中高三月考（理））定义在R上的偶函数f（x）满足，当（其中e为自然对数的底数，e=2.71828……），则函数g（x）=f（x）+lnx在区间（0，4）上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：A分析：由题意知函数的周期为，为偶函数，且关于对称，令，转化为图象交点求解.【详解】由知函数的周期为，又因为函数为偶函数，所以，则函数关于对称.令，，令，如图：，当时，，，可求得处的切线方程为；当时，，故函数与有两个交点，故选：A.8．（2023·河南高三月考（理））已知函数f(x)=x2lnx，，若x>0时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[-1，1] B．[-1，+∞）C．（-∞，-1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）答案：A分析：当时，恒成立可得，当时，构造函数，利用导数探讨其单调性并确定a的范围即可作答..【详解】依题意，当时，有恒成立，而有，则，即，解得，当时，有恒成立，即，令，求导得，令，，则有在单调递增，，若，而，则必存在使得，当时，，则在上单调递减，于是有与当时，恒成立矛盾，从而得，解得，而当时，，，在上单调递增，恒成立，则，综上得，，所以实数a的取值范围是.故选：A【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.二、多选题9.（2023·皇姑·辽宁实验中学高三月考）已知，下列说法正确的是（）A．在处的切线方程为B．若方程有两个不相等的实数根，则C．的极大值为D．的极小值点为答案：BC分析：对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线方程，可判断选项A；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项B,C,D．【详解】，所以（1），（1），的图象在点处的切线方程为（1），即，故选项A不正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以的极大值也是最大值为（），且当时，，当时，，所以方程有两个不相等的实数根，则，故选项BC正确；因为在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误.故选：BC10．（2023·全国高二单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．若是增函数，则C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有两个极值点答案：BD分析：对A,根据奇函数的定义判定即可，对B,求导后利用恒成立问题分析即可，对C,根据单调性分析即可，对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对于A，的定义域为R，，所以是奇函数，选项A错误；对于B，若是增函数，则，即在R上恒成立．令，则，令，则，所以为增函数，又，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，所以，选项B正确；对于C，当时，为增函数，不可能有两个零点，选项C错误；当时，，结合函数与的图象，由图可知，有两解（不妨记为，且），当或时，，当时，，故有两个极值点，选项D正确．故选：BD11．（2023·福建高三一模）已知函数，，则（）A．在上为增函数B．当时，方程有且只有3个不同实根C．的值域为D．若，则答案：BCD分析：根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程的根的个数；数形结合求得成立时，参数范围；【详解】根据函数解析式作出函数图象，由图象易知，在上不是增函数，故A错误；当时，，则，过定点，当时，与在上相交，共2个交点；当时，，过点作的切线，设切点为，则，，解得，，故当时，与在处相切，有1个交点；故当时，与共有3个交点，故B正确；由图易知，故C正确；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；当时，等价于，由函数图象，及上述分析知，；故若，，故D正确；故选：BCD12．（2023·山东高三其他模拟）已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列四个结论中正确的是（）A．周期为B．函数在区间上为增函数C．函数在上的零点个数为D．对，答案：ACD分析：对于A，利用周期的定义判断即可；对于B，画出函数的图像结合周期判断；对于C，根据函数的图像断；对于D，有对称性可知：关于对称，从而求值即可【详解】对于选项A，函数的定义域为，又，令，可得，解得，所以，所以，故函数是周期为2的周期函数，故A正确．对于选项B，画出的图象(如图)可知，函数在区间上为减函数，所以函数在区间上为增函数，故B错误．对于选项C，由图象知函数在上的零点个数为6，故C正确；对于选项D，对，有对称性可知：关于对称，所以，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．（2023·西城·北京十五中高三月考）函数有两个零点，则的取值范围是___________.答案：分析：依题意，与有两个交点，求出函数的单调性与最值，结合函数图象即可得解；【详解】解：由题知，与有两个交点，，由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，又，且当时，，函数图象如下所示：所以；故答案为：14．（2023·全国高二学业考试）一艘船的燃料费y（单位：元/时）与船速x（单位：千米/时）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为______千米/时.答案：30分析：依题意，航行的总费用，求导分析单调性可得当时，取得极小值，也是最小值，即得解【详解】依题意，航行的总费用，所以.令，得.当时，故在单调递减；当时，，故在单调递增；所以当时，取得极小值，也是最小值.所以要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时.故答案为：3015．（2023·全国高二单元测试）已知定义域为R的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______．答案：分析：（1），可求出参数，在求导，可得单调区间；（2）作出和的图像，数形结合解决.【详解】由题意，得，所以，，当时，，当时，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是．设，可知该函数恒过点，画出，的大致图像，如图所示，不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，－1，所以，即，解得．故答案为：，16．（2023·四川青羊·石室中学高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为___________.答案：分析：令，再令，利用导数讨论的单调性后可求实数的最大值.【详解】等价于整理得到在上恒成立.令，则，令，则，当时，为增函数，且.当时，在上恒成立，故在为增函数，所以在上恒成立，故在为增函数，所以在上恒成立即在上恒成立.若，因为当时，；当时，，故在上存在一个零点，且时，，故在上为减函数，所以在上恒成立，故在为减函数，所以在上恒成立即在上恒成立，这与题设矛盾.综上，即实数的最大值为.故答案为：3.四、解答题17.（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））已知函数，函数的图象在处的切线方程为．（1）当时，求函数在上的最小值与最大值;（2）若函数有两个零点，求a的值．答案：（1）最小值为，最大值为；（2）．分析：（1）求出导函数，写出切线方程，与已知方程比较可得，结合可确定函数在区间上的单调性、最值．（2），由解得，令，由导数得出单调性，极值，函数的变化趋势后可得结论．【详解】（1）由题可知，则函数的图象在处的切线方程为，即，由已知条件可得，当时，在上，，函数在上单调递增，从而函数在上最小值为，最大值为．（2）由（1）知，由得，令，则，或时，，时，，所以在和上递增，在上递减．的极小值为，时，，时，，所以要有两解，则．所以时，函数有两个零点．18．（2023·湖南开福�长沙一中高三月考（理））设函数，.（1）若，讨论的零点个数；（2）证明：.答案：（1）当时，有唯一零点；当时，有两个零点；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，函数，则，①当，则函数，此时有唯一的零点；②当，令，可得，-+所以，最多两个零点，当时，可得且，所以，所以，故时，，所以在有一个零点；当时，，所以在有一个零点.综上可知，当时，有唯一零点；当时，有两个零点.（2）令，则，令，可得在是增函数，且（，所以在有唯一零点，且，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，故，且，所以，∴，所以成立.19.(2023·全国高考真题（理））已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.答案：（1）见解析；（2）【解析】（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．20.（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数．（1）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围；（2）证明：关于的方程有两个不等实根．答案：（1）；（2）证明见解析．分析：（1）利用导数求出的单调性，结合、当时，可得答案；（2）由可得，设，利用导数求出的单调性和最小值，然后结合零点存在定理可证明.【详解】（1）因为，所以的定义域为，，当时，当时所以在内单调递增，在内单调递减，，当时，因为关于的方程有两个不等实根，所以实数的取值范围是．（2）方程的实根个数即方程的实根个数，设，则，设，易知在上单调递增，因为，．所以存在唯一的，使得，当时，