备考2025届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题

突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题例1[2024全国卷甲]已知函数f（x）＝exx－lnx＋x－（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1.解析（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由f'（x）＝ex（x－1）x2－可得函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（1）＝e＋1－a. 又f（x）≥0，所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1， 所以a的取值范围为（－∞，e＋1].（2）解法一不妨设x1＜x2，则由（1）知0＜x1＜1＜x2，1x1＞令F（x）＝f（x）－f（1x），则F'（x）＝（ex＋x)(x－1）x2＋（e1x＋1令g（x）＝ex＋x－xe1x－则g'（x）＝ex＋1－e1x＋xe1x·1x2＝ex＋1＋所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，1）上单调递增，所以F（x）＜F（1）， 即在（0，1）上f（x）－f（1x）＜F（1）＝0.又f（x1）＝f（x2）＝0，所以f（x2）－f（1x1）＜0，即f（x2）＜f（1由（1）可知，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以x2＜1x1，即x1x2＜解法二不妨设x1＜x2，则由（1）知0＜x1＜1＜x2，0＜1x2＜由f（x1）＝f（x2）＝0，得ex1x1－lnx1＋x1＝ex2x2－即ex1－lnx1＋x1－lnx1＝ex2－因为函数y＝ex＋x在R上单调递增，所以x1－lnx1＝x2－lnx2成立.构造函数h（x）＝x－lnx，g（x）＝h（x）－h（1x）＝x－1x－2lnx则g'（x）＝1＋1x2－2x＝（x所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0，即当x＞1时，h（x）＞h（1x），所以h（x1）＝h（x2）＞h（1x2又h'（x）＝1－1x＝x所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以0＜x1＜1x2＜1，即x1x2＜方法技巧对称构造法求解极值点偏移问题的步骤（1）求导，获得f（x）的单调性、极值点x0，作出f（x）的图象，由f（x1）＝f（x2）得x1，x2的取值范围（数形结合）；（2）构造对称函数，若证x1＋x2＞（＜）2x0，则令F（x）＝f（x）－f（2x0－x），若证x1x2＞（＜）x02，则令F（x）＝f（x）－f（x02x），求导，（3）推断F（x）的符号，从而确定f（x），f（2x0－x）的大小关系或f（x），f（x0（4）代入x1（或x2），利用f（x1）＝f（x2）及f（x）的单调性去符号“f”得最终结论.训练1已知函数f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有两个零点，a＞0，设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1＋x2＜2.解析因为f'（x）＝（x－1）（ex＋2a），且a＞0，所以当x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）的微小值点为x＝1.f（x1）＝f（x2）＝0，不妨设x1＜1＜x2，要证x1＋x2＜2，即证x2＜2－x1.构造函数F（x）＝f（2－x）－f（x），x＜1，代入整理得F（x）＝－xe－x＋2－（x－2）ex.求导得F'（x）＝（1－x）（ex－e－x＋2）.当x＜1时，F'（x）＜0，则F（x）在（－∞，1）上单调递减，于是F（x）＞f（2－1）－f（1）＝0，则f（2－x）－f（x）＞0，即f（2－x）＞f（x）（x＜1）.将x1代入，则f（x1）＜f（2－x1），又f（x1