高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题41双曲线及其几何性质(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题41双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线定义双曲线离心率焦点三角形双曲线渐近线双曲线方程双曲线渐近线双曲线方程面积周长面积周长练高考明方向1.(2023·全国乙（理）T11）11.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.2.(2023·全国甲（文）T15）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．3.(2023·全国甲（理）T14）.若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．4.(2023·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．5.(2023·浙江卷T16）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．6．(2023年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 ()A． B． C． D．7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 ()A．4 B．8 C．16 D．328．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a= ()A．1 B．2 C．4 D．89．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 ()A． B． C． D．10．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为() A． B． C． D．12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()A． B． C． D．13．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则 ()A． B． C． D．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ()A． B． C． D．15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 ()A．2 B． C． D．16．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 ()A． B． C． D．217．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ()(A)(B)(C)(D)18．(2023高考数学新课标2理科)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为 ()A． B． C． D．19．(2023高考数学新课标1理科)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是 ()A．(-，)B．(-，)C．(，) D．(，)20．(2023高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ()A． B．3 C． D．21．(2023高考数学新课标1理科)已知双曲线：()的离心率为，则的渐近线方程为 ()A． B． C．． D．22．(2023高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ()A． B． C．4 D．823．(2023年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．24．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．25．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为．26．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为___．讲典例备高考类型一、双曲线的定义基础知识：1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．基本题型：1.设双曲线的焦点为,点为上一点,,则为()A. B. C. D.2、已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)3．(多选)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝req\o\al(2,1)和C2：(x－2)2＋y2＝req\o\al(2,2)，其中常数r1，r2为正数，满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P为双曲线右支上的一点，满足|PF1|＋|PF2|＝eq\f(3,2)|F1F2|，且|PF2|，|PF1|，|F1F2|依次成等差数列，则双曲线的离心率为______．基本方法：1、双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题．(3)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．/2、利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：(1)距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．类型二、求双曲线的标准方程基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)基本题型：1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（

）A． B． C． D．3．（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是______．基本方法：求双曲线标准方程的基本方法：（1）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值（2）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解。类型三、求双曲线离心率基础知识：离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)，2、渐近线与离心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)。基本题型：1．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\r(7) D．72．设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)3．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．34．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则（

）A．B．C．D．5、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则双曲线的离心率____．基本方法：1、求双曲线离心率的方法(1)求出a，b，c的值，根据e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e；(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等．(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k＞0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k＜0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).类型四、有关双曲线焦点三角形问题基础知识：1、“焦点三角形”：双曲线上除与实轴的交点外的任意一点与双曲线两焦点的连线所构成的三角形叫做焦点三角形。2．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系。基本题型：1．设已知双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为()A．3eq\r(2) B．6eq\r(2)C．9eq\r(2) D．18eq\r(2)2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．3．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能4．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（

）A．B．C． D．5．（多选题）已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（）A．点P的横坐标为B．C．的内切圆半径为1D．平分线所在的直线方程为基本方法：1、若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.2、若P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.类型五、有关双曲线渐进线的问题基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x渐近线方程y＝±eq\f(a,b)x基本题型：1．双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的顶点到其渐近线的距离为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(6),3)C．1D.eq\r(3)2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且xeq\o\al(2,0)＋y20＝b2，若eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝0，且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝3|eq\o(F1N,\s\up7(→))|，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±2x3．已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为.4．已知双曲线C过点(2eq\r(3)，－1)，且与双曲线eq\f(x2,12)－eq\f(y2,6)＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．基本方法：1、求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程时，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．2、等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).3、若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4、双曲线的焦点到渐近线的距离为b.类型六、与双曲线有关的最值或范围问题基本题型：1、已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．(1,3) B．(1,3]C．(1，eq\r(3)] D．[eq\r(3)，3]2．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))3．已知P是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5)D．2eq\r(2)＋14、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝eq\f(π,2)，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5)＋1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)＋1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))5、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率大于eq\r(6)，则m的取值范围为_____________。基本方法：求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法：(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．新预测破高考1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.2.若双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，则的虚轴长是（）A. B. C. D.3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A.B.C.D.4、已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A．x＝0 B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1或x＝05.过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.答案：B【详解】由题得，∴（1），∵（2），6．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝17.点满足关系式，则点的轨迹是（）A.线段B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支8．已知圆(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(1,2)C．(eq\r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)9．(多选)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，则下列说法正确的是()A．|F2P|＝bB．双曲线的离心率为eq\r(3)C．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)xD．点P在直线x＝eq\f(\r(3),3)a上10.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且实轴长为，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.或D.或11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()A．1 B．2C．4 D．eq\f(1,2)13．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，过F2且倾斜角为锐角α的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若eq\f(r1,r2)＝3，则α的值为()A．75° B．30°C．45° D．60°14．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为15．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为_______．16.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的标准方程为.17．已知双曲线的左右焦点分别为，过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一渐近线为点，满足，则双曲线的离心率为______.18、设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为_____________。19．已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是____________①；

②的离心率为；

③若，则的面积为2；④若的面积为，则为钝角三角形20．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．（1）求的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．21．过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为.（1）若三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程；（2）若存在直线，使得，求离心率的取值范围.22．已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.2023高考一轮复习讲与练专题41双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线定义双曲线离心率焦点三角形双曲线渐近线双曲线方程双曲线渐近线双曲线方程面积周长面积周长练高考明方向1.(2023·全国乙（理）T11）11.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.答案：C分析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；【详解】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，所以，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，，由，即，则，，，在中，，由正弦定理得，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率。2.(2023·全国甲（文）T15）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．答案：2（满足皆可）分析：根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”，所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）3.(2023·全国甲（理）T14）.若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．答案：分析：首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．4.(2023·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．答案：分析：首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得。5.(2023·浙江卷T16）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．答案：分析：联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．6．(2023年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 ()A． B． C． D．答案：A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即．7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 ()A．4 B．8 C．16 D．32答案：B【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故，面积为：，双曲线其焦距为，当且仅当取等号的焦距的最小值：8．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a= ()A．1 B．2 C．4 D．8答案：A【解析】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 ()A． B． C． D．答案：A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则．，故选A．【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．10．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．答案：A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵，∴，为以为直径的圆的半径，∴为圆心．∴，又点在圆上，∴，即，∴，∴，故选A．【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为() A． B． C． D．答案：C【解析】法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得由整理可得即即即，所以，所以，故选C．法二：由双曲线的性质易知，，所以，在中，，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以．12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()A． B． C． D．答案：A解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为．13．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则 ()A． B． C． D．答案：B【解析】双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ()A． B． C． D．答案：B【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为，又椭圆的焦点坐标为，所以，且，故所求双曲线的方程为：．【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 ()A．2 B． C． D．答案：A【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得．解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得．解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得．16．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 ()A． B． C． D．2答案：A【解析1】由题可令，则所以，，所以，所以【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．17．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ()(A)(B)(C)(D)答案：A【解析】表示双曲线，则，∴由双曲线性质知：，其中是半焦距∴焦距，解得∴故选A．18．(2023高考数学新课标2理科)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为 ()A． B． C． D．答案：D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．19．(2023高考数学新课标1理科)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是 ()A．(-，)B．(-，)C．(，) D．(，)答案：A【解析】由题知，，所以==，解得，故选A．20．(2023高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ()A． B．3 C． D．答案：A【解析】由:,得,，设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A．．21．(2023高考数学新课标1理科)已知双曲线：()的离心率为，则的渐近线方程为 ()A． B． C．． D．答案：C【解析】由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为．22．(2023高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ()A． B． C．4 D．8答案：C【解析】设等轴双曲线，则由抛物线得准线∵与抛物线的准线交于两点，，∴将A点坐标代入双曲线方程得．23．(2023年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．答案：4【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键24．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．答案：2【解析】联立，解得，所以．依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．25．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为．答案：2【解析】注意到，得到垂直平分，则，由渐近线的对称性，得，可得，所以，可得离心率．26．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为___．答案：【解析】如图所示,作因为圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则为双曲线的渐近线上的点,且,,因为,所以,到直线的距离,在中,,代入计算得,即,由得,所以．讲典例备高考类型一、双曲线的定义基础知识：1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．基本题型：1.设双曲线的焦点为,点为上一点,,则为()A. B. C. D.答案：B分析：将方程化为双曲线的标准方程,再利用双曲线的定义进行求解.【详解】将化为,所以,,由双曲线的定义,得：,即,所以或(舍).2、已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)答案：C【解析】设内切圆与边AB，边CA，边CB分别切于点D，E，F，则D(3,0)。又|CA|－|CB|＝|AE|－|BF|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6<|AB|＝10。所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，2a＝6的双曲线的右支且除去x轴上的点D(3,0)。因为a＝3，c＝5，所以b2＝16。所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)。3．(多选)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝req\o\al(2,1)和C2：(x－2)2＋y2＝req\o\al(2,2)，其中常数r1，r2为正数，满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线答案：BC【解析】由题意得，圆C1的圆心为C1(－2,0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2,0)，半径为r2，所以|C1C2|＝4，设动圆P的半径为r.当r1＋r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若均内切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线；当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上．②若均外切，则|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P为双曲线右支上的一点，满足|PF1|＋|PF2|＝eq\f(3,2)|F1F2|，且|PF2|，|PF1|，|F1F2|依次成等差数列，则双曲线的离心率为______．答案：6【解析】由已知|PF1|＋|PF2|＝3c，①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，②，由①②解得|PF1|＝eq\f(3,2)c＋a，|PF2|＝eq\f(3,2)c－a，代入2|PF1|＝|PF2|＋|F1F2|，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)c＋a))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)c－a))＋2c，解得e＝6.基本方法：1、双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题．(3)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．/2、利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：(1)距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．类型二、求双曲线的标准方程基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)基本题型：1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)答案：B【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)．2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（

）A． B． C． D．答案：AD分析：求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．【详解】椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，即，当时，，解得，双曲线的方程为；当时，，解得，双曲线的方程为；综上，双曲线的方程可能为或．3．（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（

）A． B． C． D．答案：AB分析：利用双曲线的离心率公式，以及，建立方程组求解即可．【详解】焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或．4．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是______．答案：分析：由题意双曲线的一条渐近线与直线平行，可知a,b之间的关系，再根据双曲线的一个焦点在直线l上可得到c,进而求得双曲线方程.【详解】由题意可知：，直线与x轴的交点坐标为，由双曲线的一个焦点在直线l上可知，即为双曲线的一个焦点，故，则，解得，故双曲线方程为：，基本方法：求双曲线标准方程的基本方法：（1）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值（2）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解。类型三、求双曲线离心率基础知识：离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)，2、渐近线与离心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)。基本题型：1．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\r(7) D．7答案：C【解析】设|AF1|＝m，则|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2eq\r(7)a，又|F1F2|＝2c，∴2eq\r(7)a＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7).故选C.2．设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)答案：A【解析】设F的坐标为(c,0)，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).3．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．3答案：C分析：根据题意可知点，点，将其代入双曲线方程，即可求出，的值，再根据，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意上口外直径为，下底外直径为，由题意可知点，点，将点，点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，，所以双曲线C的离心率为.4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则（

）A．B．C．D．答案：ABD分析：由三角形的面积公式可得，由椭圆的离心率公式可得，设双曲线的方程为，设在第一象限，且，，运用椭圆和双曲线的定义，可得，，（用，表示），再在△中，运用余弦定理，求得，进而得到，检验即可得到结论．【详解】由题意，所以，可得△的面积为，所以，即有，则，设双曲线的方程为，设在第一象限，如图：令，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，在△中，，则，可得，则，即有，由，可得，则，，，选项正确；错误．5、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则双曲线的离心率____．答案：e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).【解析】若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，由题意可得eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq\f(c,a)＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq\f(a,b)x，由题意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，可得c＝eq\f(2\r(3),3)a，则e＝eq\f(2\r(3),3).综上可得e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).基本方法：1、求双曲线离心率的方法(1)求出a，b，c的值，根据e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e；(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等．(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k＞0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k＜0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).类型四、有关双曲线焦点三角形问题基础知识：1、“焦点三角形”：双曲线上除与实轴的交点外的任意一点与双曲线两焦点的连线所构成的三角形叫做焦点三角形。2．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系。基本题型：1．设已知双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为()A．3eq\r(2) B．6eq\r(2)C．9eq\r(2) D．18eq\r(2)答案：C【解析】在双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2eq\r(2)x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝eq\f(3,2)上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3eq\r(2)，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝9eq\r(2).2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．答案：A分析：设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A3．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能答案：B分析：分别利用椭圆和双曲线的定义，可求得，的表达式，根据有相同的焦点，可得c相等，可得m，n的关系，整理可得，即可得答案.【详解】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义有：，可得，，即，因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，所以，所以，所以，即，是直角三角形．故选：B.4．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（

）A．B．C． D．答案：D分析：根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立与的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：，两式平方相加得：，于是有，所以的值为.5．（多选题）已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（）A．点P的横坐标为B．C．的内切圆半径为1D．平分线所在的直线方程为答案：BCD分析：求得双曲线的，不妨设，，运用三角形的面积公式求得的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点间距离公式求得周长，再利用三角形的面积公式和等面积法即可求出，由二倍角的正切公式可求出平分线所在的直线斜率，得出方程.【详解】双曲线中的，不妨设，，的面积为，，解得，由，可得，故A错误；由，且，则，则，即，故B正确；，则的周长为，设的内切圆半径为，则，即，解得，故C正确；设平分线所在的直线为，可得，解得，则平分线所在的直线的方程为，即，故D正确.故选：BCD.基本方法：1、若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.2、若P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.类型五、有关双曲线渐进线的问题基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x渐近线方程y＝±eq\f(a,b)x基本题型：1．双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的顶点到其渐近线的距离为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(6),3)C．1D.eq\r(3)答案：B【解析】双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的顶点为(0，eq\r(2))，(0，－eq\r(2))，渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，由双曲线的对称性可知，任一顶点到任一渐近线的距离相等，不妨求点(0，eq\r(2))到渐近线y＝eq\r(2)x的距离，可得d＝eq\f(|0－\r(2)|,\r(2＋1))＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且xeq\o\al(2,0)＋y20＝b2，若eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝0，且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝3|eq\o(F1N,\s\up7(→))|，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±2x答案：C【解析】依题意，四边形MF1NF2为平行四边形，因为|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝3|eq\o(F1N,\s\up7(→))|，且|MF1|－|MF2|＝2a,故|MF2|＝a，而xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，则(2b)2＋a2＝(3a)2，则b2＝2a2，则双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.3．已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为.答案：分析：将直线的方程与双曲线的渐近线方程联立，求出点的坐标，利用列等式可求得的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】联立方程组，解得，即．因为，所以，化简得，所以双曲线的渐近线方程为．4．已知双曲线C过点(2eq\r(3)，－1)，且与双曲线eq\f(x2,12)－eq\f(y2,6)＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．答案：eq\f(x2,10)－eq\f(y2,5)＝1【解析】由题意设所求双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,6)＝k，因为双曲线过点(2eq\r(3)，－1)，所以eq\f(12,12)－eq\f(1,6)＝k，k＝eq\f(5,6)，所以双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,6)＝eq\f(5,6)，即eq\f(x2,10)－eq\f(y2,5)＝1.基本方法：1、求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程时，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．2、等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).3、若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4、双曲线的焦点到渐近线的距离为b.类型六、与双曲线有关的最值或范围问题基本题型：1、已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．(1,3) B．(1,3]C．(1，eq\r(3)] D．[eq\r(3)，3]答案：B【解析】设PF中点为M，双曲线E的左焦点为H，由题意知|OM|＝|PF|，当点P异于双曲线E的右顶点时，连接PH，由三角形中位线性质，可得eq\f(1,2)|PH|＝|PF|，且|PH|－|PF|＝2a，则|PF|＝2a，又因为|HF|＝2c，由三角形任意两边之和大于第三边可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋4a＞2c，,2a＋2c＞4a，))解得1＜eq\f(c,a)＜3.当点P是双曲线E的右顶点时，|OM|＝a＋eq\f(c－a,2)，|PF|＝c－a，由题意得a＋eq\f(c－a,2)＝c－a，解得eq\f(c,a)＝3.综上，得1<eq\f(c,a)≤3，即1＜e≤3.2．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))答案：A【解析】由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，设F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．∵eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，∴(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，∴2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).3．已知P是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5)D．2eq\r(2)＋1答案：D【解析】设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|－|PF2|＝2eq\r(2)，所以|PF1|＝2eq\r(2)＋|PF2|，则|PF1|＋|PQ|＝2eq\r(2)＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，焦点F2(eq\r(3)，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2eq\r(2)＋1.4、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝eq\f(π,2)，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5)＋1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)＋1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))答案：A【解析】不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(－c,0)，B(0，b)，直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上．由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＞a，,\f(bc,\r(b2＋c2))＜a，))解得1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＜eq\f(\r(5)＋1,2)，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5)＋1,2))).5、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率大于eq\r(6)，则m的取值范围为_____________。答案：(0,1)∪(4，＋∞)【解析】由双曲线方程可得m>0，所以e＝eq\f(\r(m＋m2＋4),\r(m))>eq\r(6)，解得m>4或m<1。由m>0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)。基本方法：求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法：(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．新预测破高考1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.答案：B分析：将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的标准方程为，则，，因此，该双曲线的渐近线方程为.2.若双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，则的虚轴长是（）A. B. C. D.答案：B分析：根据双曲线方程可求出渐近线方程，利用渐近线倾斜角可得斜率，根据斜率即可求解.【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线与轴的夹角是，所以直线的倾斜角为，则，解得