人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题14对数函数及其性质(原卷版+解析)

专题14对数函数及其性质【考点预测】知识点一、对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点二、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点三、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点四、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【典型例题】例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；(3)求的值；(4)证明函数在上为单调递减函数．例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；（2）若函数的值域为，求的范围.例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.(1)若，且的定义域为，求的取值范围；(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【过关测试】一、单选题1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（

）A． B． C． D．2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（）个A． B． C． D．7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（

）A． B． C． D．8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是增函数 D．的值域为10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（

）A．若函数是奇函数，则B．函数的值域为，则实数的取值范围是C．函数与的图象关于对称D．函数与函数为同一函数11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（

）A．B．函数的图象关于点对称C．若实数a、b满足，则D．若函数与图象的交点为，则12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.四、解答题17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并加以说明；(3)求使的的取值范围.18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.(1)解方程；(2)设不等式的解集为，求函数的值域.20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．21．（2023·福建省漳州第一中学高一开学考试）已知函数是的反函数，当时，函数，（）的最小值为．（1）求的函数表达式；（2）是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在求出、的值，若不存在，请说明理由．22．(2023·上海·高一专题练习）已知函数，.(1)如果，求函数的值域；(2)求函数的最大值；(3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．专题14对数函数及其性质【考点预测】知识点一、对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点二、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点三、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点四、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【典型例题】例1．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；(3)求的值；(4)证明函数在上为单调递减函数．【解析】（1）由题意,解得,定义域为；（2）是偶函数：证明：，所以是偶函数；（3）；（4）设，，∵，所以，，，∴，即，∴函数在上为单调递减函数．例2．(2023·上海市嘉定区第一中学高一阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.【解析】（1）由可得，即，则，即，所以，即的解集为.（2）因为，令，则，当即时，，即取得最小值；当或即或时，，即取得最大值；例3．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）（1）若函数的定义域为，求的范围；（2）若函数的值域为，求的范围.【解析】（1）的定义域为，对恒成立；当时，不等式变为，即，不合题意；当时，若恒成立，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为；（2）设的值域为，的值域为，；当时，，则，满足题意；当时，若，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.例4．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知函数，其中，均为实数.(1)若，且的定义域为，求的取值范围；(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当时，的定义域为,则，解得：；（2）当时，，函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，当时，在上单调递减，并且，满足条件，当时，需满足下列条件则，解得：,综上可知存在实数，的取值范围是.【过关测试】一、单选题1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得，解得，的开口向下，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.故选：D2．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C．3．(2023·湖南·邵阳市第二中学高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．答案：B【解析】因为，所以，时，；当时，；因为函数是定义域为的奇函数，所以，时，；时，；时，.所以，的解集为.故选：B4．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，因此函数在上的取值集合包含，当时，函数在上的值为常数，不符合要求，当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A5．(2023·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】对任意的，存在，使得，则，因为当时，单调递增，所以，又因为当时，单调递减，所以，所以由解得，故选：A.6．(2023·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（）个A． B． C． D．答案：D【解析】因为，则.①当时，，令，解得；②当时，，令，解得.因此，方程的根有个.故选：D.7．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设满足，满足，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】根据题意，令，则，即，因为函数在上单调递增，又满足，所以，所以，即，所以.故选：D.8．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】设，由题意得：在上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数在上单调递减，则有，解得：.故选：A二、多选题9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是增函数 D．的值域为答案：ABC【解析】的定义域为，又，所以为奇函数，故AB正确；，因为在为增函数，由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确.因为函数定义域为.时，故的值域为，故D错误.故选：ABC.10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列说法中正确的是（

）A．若函数是奇函数，则B．函数的值域为，则实数的取值范围是C．函数与的图象关于对称D．函数与函数为同一函数答案：BC【解析】是奇函数，且在原点有定义，则，比如是奇函数，则无意义，故A错误，的值域为,则能够取遍所有的正数，当满足题意，当，则且，故，因此，故B正确，函数与互为反函数，故其图象关于对称，C正确，由于函数，，两函数的对应关系不一样，故不是同一函数，D错误，故选：BC11．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数，函数满足．则（

）A．B．函数的图象关于点对称C．若实数a、b满足，则D．若函数与图象的交点为，则答案：ABC【解析】对于A选项，由函数，函数定义域为R，则所以，所以，故A选项正确.对于B选项，因为满足，的图象关于点成中心对称.故B选项正确.对于C选项，设，则，则为奇函数，由函数单调性的性质可知，当时，单调递增，所以在R上为增函数，则也为R上的增函数，因为实数a、b满足，且，则，即，所以，即.故C选项正确.对于D选项，由，，的图象关于点成中心对称，的图象也关于点成中心对称，令，则，因为函数与图象的交点为，不妨设，由对称性可知，，所以，则.故D选项错误.故选：ABC12．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】由题意得，且，则，故，故A错误，对于B，，而，故，故B错误，对于C，，故C正确，对于D，，故D正确，故选：CD三、填空题13．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________答案：【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，对于，则，解得，所以的定义域为.故答案为：14．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.答案：【解析】在上单调递增，，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.15．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．答案：【解析】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,不等式等价于，即，解得：或；或，即，解集为；综上可知，不等式的解集为.故答案为：16．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.答案：【解析】，，使得，；在上单调递减，；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，；，解得：，则实数的最大值为.故答案为：.四、解答题17．(2023·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并加以说明；(3)求使的的取值范围.【解析】（1）由题意得函数要有意义则：故的定义域为.（2）为奇函数，理由如下：由（1）知的定义域关于原点对称，由,所以故函数是奇函数．（3）由>0可得，所以，即解得，故求使>0的的取值范围是(0,1).18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由，即计算可得或或故解集为：或；（2）令，则，原式可化为在上恒成立，记函数在上单调递增，，故的取值范围是.19．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）设函数.(1)解方程；(2)设不等式的解集为，求函数的值域.【解析】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；