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文档简介
2022届山西省临汾市高三二模数学(文)试题一、单选题1.设,则(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用待定系数法设出,为实数,根据条件建立方程求解即可.【详解】解:设,为实数,则,于是故,所以,则.故选:D2.已知集合,,则(
)A.S B.TC.R D.【答案】A【分析】利用集合的基本运算法则进行求解.【详解】解:当(偶数)时,则当(奇数)时,则或故答案为:A3.已知向量,,.若,则(
)A.2 B.0 C. D.【答案】D【分析】利用向量的坐标运算求得向量的坐标,利用向量的数量积为零求得的值.【详解】,,,解得,故选:D4.若,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据换底公式及对数恒等式求解即可.【详解】,,,故选:B5.已知双曲线经过点,,则其标准方程为(
)A. B.C. D.或【答案】A【分析】本题已知A,B两点坐标,将其代入双曲线标准方程即可得到结果【详解】设双曲线方程为则,解的所以双曲线的方程为故选:A6.如图,网格中小正方形边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根据三视图复原出几何体后,按照体积公式计算即可.【详解】根据三视图可知,几何体是正方体的左上角切掉了一个三棱锥.故体积为.故选:C.7.下列函数为奇函数的是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据奇函数的定义进行判断即可.【详解】A:因为,所以该函数不是奇函数;B:因为,所以该函数是奇函数;C:由,该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数不是奇函数;D:因为,所以该函数是偶函数,不符合题意,故选:B8.执行下面的程序框图,则输出的(
)A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【分析】按照迭代方式代入根据格式判断规律为等比数列的求和,按照等比数列求和公式求出数据逐渐做判断即可得解.【详解】经过判断框时,第一个S变为,n变为2,第二个S变为,n变为3,第三个S变为,n变为4,第四个S变为,n变为5,第九个S变为,n变为10,第十个S变为,判断框按照“否”输出n=10.故选:B.9.第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行.本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素,很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落,获得了世界人民的普遍赞誉.为弘扬中国优秀传统文化,某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛.比赛分为初赛和决赛,参赛选手在初赛时完成规定作品和创意设计作品各2幅,若共有不少于3幅作品入选,则该选手晋级决赛.某选手完成了规定作品和创意设计作品各3幅,指导教师评定其中有规定作品和创意设计作品各2幅符合入选标准.现从这6幅作品中,随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅,则指导教师预测该选手能晋级决赛的概率是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由排列组合知识、古典概型求解【详解】3幅规定作品,3创意设计作品,各选2幅,共种①若抽取中有4幅满足入选标准,则有1种②若抽取中有3幅满足入选标准,则有4种由古典概型可得故选:B10.已知函数有2个不同的零点,则k的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根,于是画出曲线与直线的图象,结合图象求解即可.【详解】因为函数有2个不同的零点,所以关于的方程在区间内有两个不等的实根,即曲线(圆的上半部分)与经过定点的直线有两个不同的交点,如图过作圆的切线,则点到切线的距离,解得或(舍去),所以,得,即k的取值范围是.故选:B.11.如图,在圆锥中,,点C在圆O上,当直线与所成角为60°时,直线与所成角为(
)A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【分析】以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示,设,,根据空间向量的数量积运算求得点C的坐标,再由异面直线的空间向量求解方法可求得答案.【详解】解:以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示,设,则,,所以,,因为直线与所成角为60°,所以,又因为点C在圆O上,所以,所以解得,所以,点,所以,则,又直线与所成角的范围为,所以直线与所成的角60°,故选:C.
12.筒车亦称“水转筒车",是我国古代发明的一种水利灌溉工具,筒车发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).假设在水流量稳定的情况下,一个半径为4m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动,已知筒车的轴心O到水面的距离为,以筒车上的某个盛水筒P(视为质点)刚浮出水面开始计时,设转动时间为t(单位:min),则下列说法正确的是(
)①时,盛水筒P到水面的距离为;②与时,盛水筒P到水面的距离相等;③经过30min,盛水筒P共7次经过筒车最高点.A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】A【分析】设时刻P据水面的距离,根据条件求出函数解析式即可得解.【详解】设时刻P据水面的距离,由题意,则,当时,,即,不妨取,则,所以当时,,故①正确;当时,,当时,,故②正确;经过30min,则水车转过了个周期,所以盛水桶P共8次经过最高点,故③错误.故选:A二、填空题13.现从某学校450名同学中用随机数表法随机抽取30人参加一项活动.将这450名同学编号为001,002,…,449,450,要求从下表第2行第5列的数字开始向右读,则第5个被抽到的编号为_________.162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695556719981050717512867358074439523879【答案】447【分析】根据随机数表法,依次抽取即可得解.【详解】根据随机数表的读取方法,依次抽取到的编号分别为:175,331,068,047,447,…,故第5个被抽到的编号为447,故答案为:447.14.已知点是椭圆上一点,与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为,则的离心率为_________.【答案】【分析】设点,则,可得出,利用斜率公式结合已知条件可得出,再利用离心率公式可求得椭圆的离心率的值.【详解】设点,则,则,则,椭圆的上、下顶点坐标分别为、,所以,由已知可得,可得,所以,.故答案为:.15.已知正数a,b满足,则的最小值为_________.【答案】【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.【详解】因为正数a,b满足,则,当且仅当即时取等.则的最小值为.故答案为:.16.已知数列满足,,则的前100项和为_________.【答案】2550【分析】根据的奇偶分类讨论【详解】①当为偶数时,,则偶数项是以1为首项,2为公差的等差数列故②当为奇数时,,即故综上,故答案为:2550三、解答题17.内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,.(1)求;(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理得,则,结合余弦定理即可求出答案;(2)由(1)可知都可以用来表示,代入余弦定理即可求出答案.【详解】(1)由和正弦定理得,所以,由,得,代入可得,解得.(2)由(1)得,所以.所以.18.如图(1),在梯形中,且,线段上有一点E,满足,,现将,分别沿,折起,使,,得到如图(2)所示的几何体.(1)求证:;(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)求得,利用勾股定理证得,,再根据线面垂直的判定定理证得平面,再根据勾股定理证得,再根据线面垂直的判定定理证得平面,再根据线面垂直的性质即可得证;(2)根据,分别求出三棱锥和三棱锥的体积即可得解.【详解】(1)证明:在中,,所以,,在中,,,,由余弦定理得,所以,所以,同理可得,在中,,且,在中,,所以,因为,,平面,所以平面,在中,,在中,,则,因为,所以平面,所以;(2)解:由(1)可知平面,平面,所以,分别为三棱锥、三棱锥的高,在中,,所以,则,所以.19.购鞋时常常看到下面的表格.脚长与鞋号对应表脚长(mm)220225230235240245250255260鞋号343536373839404142(1)若将表中两行数据看成数列,记脚长为数列,鞋号为数列,试写出关于的表达式,并估计30号童鞋所对应的脚长是多少mm?(2)有人认为可利用线性回归模型拟合脚长xmm和鞋号y之间的关系,请说明合理性;若一名篮球运动员脚长为282mm,请判断该运动员穿多大号的鞋?请说明理由.参考公式:,.【答案】(1),200mm(2)答案见解析【分析】(1)根据数据可得出数列、是等差数列,求出通项公式即可得出关于的表达式,利用关系求30号童鞋对应脚长即可;(2)根据数据满足一次函数关系可说明合理性并求出拟合函数,代入脚长为282mm,判断鞋子码号,也可计算相关系数,判断满足线性回归方程,利用参考公式求解线性回归方程,利用回归方程求解.【详解】(1)在数列中,,,所以是以220为首项,5为公差的等差数列,可得.①.在数列中,,,所以是以34为首项,1为公差的等差数列,可得.②.由①②可得.③将脚长和对应鞋号记作,当时,代入公式③可得,估计30号童鞋对应的脚长200mm.(2)合理性说法一:利用表格中数据可以发现,脚长与鞋号之间满足一次函数关系,相关系数为1,故可用线性回归模型拟合.合理性说法二:将表格中数据代入公式计算可得,,故可用线性回归模型拟合.法一:当时,代入公式③可得,.法二:利用公式算出,,将代入,得.建议一:选46号鞋,刚开始会稍有挤脚,但穿过一段段时间后鞋子会变大,就比较舒适了.建议二:选47号鞋,穿上会比较宽松,运动员运动量比较大,宽松的鞋子会更舒适一些.建议三:选46.5号鞋,相对而言更合脚一些.20.已知抛物线的焦点为F,其准线与x轴交于点P,过点P作直线与C交于A,B两点,点D与点A关于x轴对称.(1)证明:直线过点F;(2)若,求l的斜率.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)设直线的方程为:,联立抛物线方程,得到根与系数的关系,求出,写出直线BD的方程,即可得出直线过定点;(2)由得出坐标之间的关系,结合(1)求出即可得解.【详解】(1)设点,,,直线的斜率为k,由题可知k一定存在,直线的方程为:.由,得,,,,直线方程为,即故直线过点.(2)由可得由(1)可知,,故,又,故,即,故,所以,满足,故.21.已知函数,.(1)若有大于零的极值点,求a的取值范围;(2)若恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)若有大于零的极值点,则有大于零的零点,又因为,所以只需即可求出答案.(2)方法一:恒成立,即恒成立,转化为求即可求出a的取值范围.方法二:恒成立,分离参数,先讨论时,成立,所以;令,,,转化为求;,,转化为求即可求出a的取值范围.【详解】(1)函数的导函数为,因为有大于零的极值点,所以有大于零的零点.因为,所以单调递增,那么,可得.(2)方法一:设,有,令,解得,所以在单调递减,在单调递增,记,其满足.此时,设,其导函数为,所以在单调递增,在单调递减.结合,知可得.所以.方法二:当时,成立,所以.下面考虑函数,其导函数,设,其导函数为,所以在单调递减,在上单调递增,注意到,,所以在单调递增,在单调递减,在单调递减,在单调递增,于是当时,有最小值;当时,有最大值;由知,当时,;当时,;综上,a的取值范围为围为.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.与,分别交于A,B两点(异于点).(1)求的极坐标方程;(2)已知点,求的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用同角的三角函数关系式,结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可;(2)利用代入法,结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)曲线的普通方程为,因为,,所以的极坐标方程为;(2)因为直线与,分别交于A,B两点,所以将代入得,将代
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