高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(真题测试)(原卷版+解析)

专题6.1平面向量的概念及其运算（真题测试）一、单选题1．（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．2．(2023·全国·高考真题（文））已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．03．（2023·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．7．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．8．(2023·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A． B．C． D．0二、多选题9．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（

）A．若为单位向量，且，则B．若，，则C．D．若平面内有四点，则必有10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（

）A． B．C．∥ D．11．(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使三、填空题13．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.14．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．15．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．16．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.四、解答题17．（2023·辽宁大连·高三学业考试）已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，.18．(2023·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．19．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，且．(1)求与的夹角；(2)求．20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.(1)试用，表示，；(2)求的值.21．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（文））设两个非零向量与不共线．(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？(2)试确定实数，使和同向．22．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.(1)若与垂直，求的大小；(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.专题6.1平面向量的概念及其运算（真题测试）一、单选题1．（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．答案：A分析：利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，故选：A2．(2023·全国·高考真题（文））已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．0答案：B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.3．（2023·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.4．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件答案：B【解析】分析：考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.5．（2023·全国·高考真题（理））已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.6．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．答案：B【解析】分析：本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．7．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．答案：A【解析】分析：先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.8．(2023·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A． B．C． D．0答案：C【解析】【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.二、多选题9．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（

）A．若为单位向量，且，则B．若，，则C．D．若平面内有四点，则必有答案：ABC【解析】分析：由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确.【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误；对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABC.10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（

）A． B．C．∥ D．答案：BC【解析】分析：由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可【详解】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：BC．11．(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：对移项后平方可得出：，，，对于A，，代入即可判断A；由可判断B；由，可判断C；由代入即可判断D.【详解】因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；对于A，，故A正确；对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以D错误；故选：AC.12．(2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使答案：BCD【解析】分析：直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确；对于B：因为为给定的的垂心，故，即,解得：,故B正确；对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确；对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.答案：分析：根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.14．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．答案：【解析】分析：设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．15．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．答案：【解析】，，，.故答案为：.16．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.答案：.【解析】分析：由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.四、解答题17．（2023·辽宁大连·高三学业考试）已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，.答案：【解析】分析：设可，可得出关于、的方程组，即可求得结果.【详解】因为，，与的夹角为，则与不共线，因为，可设，即，即，解得.18．(2023·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．答案：或9【解析】分析：由三个非零平面向量，，两两夹角相等得或，再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或．当时，．当，即，，共线时．．故答案为：或919．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，且．(1)求与的夹角；(2)求．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）由，利用数量积的运算律和定义可求得，进而得到；（2）由数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.(1)，，又，.(2)，.20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.(1)试用，表示，；(2)求的值.答案：(1)，(2)【解析】分析：（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可求出结果；（2）根据平面向量数量积的运算律和定义可求出结果.(1)，.(2)，，.21．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（文））设两个非零向量与不共线．(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？(2)试确定实数，使和同向．答案：(1)A，B，D三点共线(2)【解析】分析：（1）由题意化简得到，得到共线，进而得到三点共线.又由有公共点，所以三点共线．（2）由和同向，存在实数，使，得出方程组，即可求得的值.(1)解：由题意，向量，，，可得，所以共线，又由有公共点，所以三点共线．(2)解：因为向量和同向，所