2024八年级数学下册专题突破第05讲平行四边形存在性问题专题复习含解析新版浙教版

Page23第5讲平行四边形存在性问题专题复习学问点睛：平行四边形存在性问题1.学问储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的随意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：2.方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类探讨③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在另如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在另始终线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入另始终线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。类型一几何背景下的平行四边形存在性问题1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A动身，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C动身，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，证得FB＝FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，依据题意列出方程并解方程即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD＝12cm，∵AF＝6cm，∴AD＝18cm，∵点E是BC的中点，∴CE＝BC＝AD＝9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，依据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得：t＝3或t＝5．故答案为：3或5．2．（遂宁期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C动身，在CB间来回运动，两个点同时动身，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．【分析】依据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分状况探讨，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下状况：①点Q的运动路途是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路途是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路途是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路途是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：4.8s或8s或9.6s．3．（丹东期末）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DC＝6cm，AB＝9cm．点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形时，此时的运动时间为s．【分析】设运动时间为t，由题意可得AP＝tcm，PB＝（9﹣t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（6﹣2t）cm，分两种状况列出方程则可得出答案．【解答】解：设运动时间为ts，由题意可得AP＝tcm，PB＝（9﹣t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（6﹣2t）cm，∵DQ∥AP，∴当DQ＝AP时，四边形APQD为平行四边形，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．∵CQ∥PB，∴当CQ＝PB时，四边形CQPB为平行四边形，∴2t＝9﹣t，∴t＝3．综合以上可得t＝2或3s时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．故答案为2或3．4．（宁波期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．动点P从点D动身，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C动身，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时动身，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当t＝2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【分析】（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM＝DC＝12，由QB＝16﹣t，可知：S＝PM×QB＝96﹣6t；（2）当四边形ABQP为平行四边形时，AP＝BQ，即21﹣2t＝16﹣t，可将t求出；（3）本题应分三种状况进行探讨，①若PQ＝BQ，在Rt△PQM中，由PQ2＝PM2+MQ2，PQ＝QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP＝BQ，在Rt△PMB中，由PB2＝BM2+PM2，BP＝BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB＝PQ，PB2＝PM2+BM2，PB＝PQ，将数据代入，可将时间t求出．【解答】解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM＝DC＝12，∵QB＝16﹣t，∴S＝QB•PM＝（16﹣t）×12＝96﹣6t（0≤t≤）．把t＝2代入得到：S＝96﹣12＝84；（2）当四边形ABQP是平行四边形时，AP＝BQ，即21﹣2t＝16﹣t，解得：t＝5，∴当t＝5时，四边形ABQP是平行四边形．（3）由图可知，CM＝PD＝2t，CQ＝t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种状况：①若PQ＝BQ，在Rt△PMQ中，PQ2＝t2+122，由PQ2＝BQ2得t2+122＝（16﹣t）2，解得t＝；②若BP＝BQ，在Rt△PMB中，PB2＝（16﹣2t）2+122，由PB2＝BQ2得（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144＝0，此时，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，所以此方程无解，∴BP≠BQ．③若PB＝PQ，由PB2＝PQ2得t2+122＝（16﹣2t）2+122得t1＝，t2＝16（不合题意，舍去）．综上所述，当t＝或t＝时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标1．（婺城区校级模拟）把▱ABCD放入平面直角坐标系中，已知对角线的交点为原点，点A的坐标为（2，﹣3），点C的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）【分析】因为平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而依据A点坐标可求C点坐标．【解答】解：∵平行四边形是中心对称图形，所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，∵A（2，﹣3），∴C（﹣2，3）．故选：C．2．（绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．3．（天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（）A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）【分析】首先依据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后依据A点向右平移线段BC的长度得到D点，即可由A点坐标求得点D的坐标．【解答】解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵点A的坐标为（0，1），∴点D的坐标为（4，1），故选：C．4．（思明区校级月考）【阅读】在平面直角坐标系中，以随意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）【运用】（1）已知O为▱ABCD的对角线AC与BD交点，点B的坐标为（4，3），则点D的坐标为（﹣1，1），则O的坐标为；（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．（提示：运用阅读材料完成）【分析】（1）由平行四边形的性质得出O是BD的中点，利用中点坐标公式代入可得M的坐标；（2）存在三种状况：①当AC和BC为平行四边形的边时，②当BC和CD2为平行四边形的边时，③当AC和AB为平行四边形的边时；分别依据平行四边形对角线相互平分，即对角线的交点即为对角线的中点，由中点坐标公式代入可得结论．【解答】解：（1）∵O为▱ABCD的对角线AC与BD交点，∴OB＝OD，即O为BD的中点，∴点O的横坐标为＝，纵坐标为＝2，∴点O的坐标为（，2）；故答案为：（，2）；（2）如图所示：①当AC和BC为平行四边形的边时，连接对角线AB、CD1交于E，∴AE＝EB，CE＝ED1，∵A（﹣1，2），B（3，1），∴E（1，），∵C（1，4），∴D1（1，﹣1）；②当BC和CD2为平行四边形的边时，连接对角线BD2和AC交于G，同理可得D2（﹣3，5）；③当AC和AB为平行四边形的边时，连接AD3和BC交于F，同理可得D3（5，3）；综上所述，点D的坐标为（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．5．（玄武区校级月考）已知坐标系中有O、A、B、C四个点，其中点O（0，0），A（3，0），B（1，1），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是．【分析】由平行四边形的判定，分三种状况进行探讨即可．【解答】解：如图所示：分三种状况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；②OB为对角线时，点C的坐标为（﹣2，1）；③OA为对角线时，点C的坐标为（2，﹣1）；综上所述，点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故答案为：（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）．6．（南岸区期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（4，3），且CD是x轴上一条长度为3的线段．（1）求AC+CD+DB的最小值，并求出此时点D的坐标；（2）在（1）的条件下，当AC+CD+DB取得最小值时，平面直角坐标系内是否存在一点E，使得点B，C，D，E构成的四边形为平行四边形，若存在，请干脆写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图，把点A（﹣3，1）向右平移3个单位，得到点A'（0，1）．点B关于x轴的对称点B'（4，﹣3），连接A'B'，与x轴的交点为D．此时AC+CD+DB取得最小值，最小值为CD+A'B'，依据两点间的距离公式得到CD+A'B'＝，过点B'作B'F⊥y轴，垂足为F，则B'F＝A'F＝4，于是得到结论；（2）当CD＝BE＝3，CD∥BE，点B，C，D，E构成的四边形为平行四边形，当CD为对角线，即E（﹣5，﹣3），依据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图，把点A（﹣3，1）向右平移3个单位，得到点A'（0，1）．点B关于x轴的对称点B'（4，﹣3），连接A'B'，与x轴的交点为D．此时AC+CD+DB取得最小值，最小值为CD+A'B'，即最小值为CD+A'B'＝，过点B'作B'F⊥y轴，垂足为F，则B'F＝A'F＝4，∴∠OA'D＝45°，∵OD⊥A'O，∴∠A'OD＝90°，∴A'O＝DO＝1，∴D（1，0）；（2）存在，理由：当CD＝BE＝3，CD∥BE，点B，C，D，E构成的四边形为平行四边形，∵B（4，3），∴E点的坐标为（7，3）或（1，3）．当CD为对角线，即E（﹣5，﹣3），综上所述，点E的坐标为（7，3）或（1，3）或（﹣5，﹣3）．7．（岳麓区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx﹣4k（k≠0）．（1）求A，C的坐标；（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请干脆写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y＝kx﹣4k，令y＝0，即kx﹣4k＝0，解得x＝4，则点C（4，0），则OC＝4，而矩形的面积＝AO•OC＝4OA＝12，解得OA＝3，即可求解；（2）若D为AC中点，则点D（2，），而点E（0，﹣1），用待定系数法即可求解；（3）分CD是边、CD为对角线两种状况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．【解答】解：（1）对于y＝kx﹣4k，令y＝0，即kx﹣4k＝0，解得x＝4，故点A（4，0），则OA＝4，而矩形的面积＝AO•OC＝4OA＝12，解得OC＝3，故点C（0，3）；（2）若D为AC中点，则点D（2，），∵OE＝1，故点E（0，﹣1），设直线EF的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线EF的表达式为y＝x﹣1；（3）存在，理由：对于y＝x﹣1，令y＝3＝x﹣1，解得x＝，故点F（，3），而点C，D的坐标分别为（0，3）、（2，），设点G（a，b），①当CD是边时，点C向右平移2个单位向下平移个单位得到点D，同样，点F（G）向右平移2个单位向下平移个单位得到点G（F），则+2＝a且3﹣＝b或﹣2＝a且3+＝b，解得，故点G的坐标为（，）或（，）；②当CD为对角线时，由中点公式得：（0+2）＝（a+）且（3+）＝（b+3），解得，故点G的坐标为（﹣，）；故点G的坐标为（，）或（，）或（﹣，）．8．如图，已知A、B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，假如OA，OB的长分别是x2﹣14x+48＝0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，（1）求OA，OB的长．（2）求点C的坐标．（3）在坐标平面内找点Q，使A，B，C，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点Q的坐标．【分析】（1）首先依据x2﹣14x+48＝0，求出方程的两个根是多少；然后依据OA＞OB，求出OA，OB的长各是多少即可．（2）首先依据射线BC平分∠ABO交x轴于C点，设∠OBC＝∠ABC＝α，则tan2α＝＝，据此求出tanα的值是多少；然后求出OC的值是多少，即可确定出点C的坐标．（3）依据题意，分三种状况：①当AC、BQ为四边形ABCQ的两条对角线时；②当AQ、BC为四边形ABCQ的两条对角线时；③当AB、CQ为四边形ABCQ的两条对角线时；然后依据平行四边形的性质，分类探讨，求出符合条件的点Q的坐标是多少即可．【解答】解：（1）由x2﹣14x+48＝0，解得x＝6或x＝8，∵OA＞OB，∴OA＝8，0B＝6，即OA的长是8，OB的长是6．（2）∵射线BC平分∠ABO交x轴于C点，∴设∠OBC＝∠ABC＝α，则tan2α＝＝，整理，可得2tan2α+3tanα﹣2＝0，解得tanα＝或tanα＝﹣2，∵α为锐角，∴tanα＝﹣2舍去，∴tanα＝，即，∴，解得OC＝3，∴点C的坐标是（3，0）．（3）①如图1，AC、BQ交于点D，设点Q的坐标是（a，b），∵AB∥CQ，∴＝﹣…（1），∵四边形ABCQ是平行四边形，∴点D是AC、BQ的中点，∴…（2），由（1）（2），可得∴点Q的坐标是（11，﹣6）．②如图2，AQ、BC交于点E，设点Q的坐标是（c，d），∵AC∥BQ，∴d＝6，∵四边形ABCQ是平行四边形，∴点E是AQ、BC的中点，∴，解得c＝﹣5，∴点Q的坐标是（﹣5，6）．③如图3，AB、CQ交于点F，设点Q的坐标是（e，f），∵AC∥BQ，∴f＝6，∵四边形ABCQ是平行四边形，∴点F是AB、CQ的中点，∴，解得e＝5，∴点Q的坐标是（5，6）．综上，可得点Q的坐标是（11，﹣6）、（﹣5，6）或（5，6）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标1．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y＝x+1与y＝﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】当OE∥AC时，由相互平行的两条直线的一次项系数相同，可得到直线OE的解析式，然后将OE和AB的解析式联立，组成方程组从而可求得点E的坐标；当DE∥OA时，OD∥AB时，先求得OD的解析式，然后联立OD、AC，求得点D的坐标，然后再求得DE的解析式，将DE和AB联立，组成方程组可解得点E的坐标．【解答】解：①如下图：当OE∥AD时，∵OE∥AC，所以直线OE的解析式为y＝﹣2x，联立OE、AB，得，解得，即E1（﹣，）；②如下图：当DE∥OA时，OD∥AB时，∵OD∥AB，∴直线OD的解析式为y＝x，联立OD、AC，得，解得，D（，）．联立AB、AC得，解得，A（1，2）．OA的解析式为y＝2x，∵DE∥OA，∴设直线DE的解析式为y＝2x+b，将点D的坐标代入直线的解析式得：y＝2x﹣联立DE、AB得，解得，E2（，）．③当OA为对角线时，∵A（1，2），∴OA的中点坐标为（，1），∵点D在直线y＝﹣2x+4上，∴设D（m，﹣2m+4），∵点E在直线y＝x+1上，∴设E（n，n+1），∴DE的中点坐标为（，），∴＝，＝1，∴m＝，n＝﹣，∴E（﹣，）综上所述：E1（﹣，），E2（，）．2．（超群区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB围着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）请干脆写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请干脆写出全部满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC＝∠ECD，由旋转的性质可得出BC＝CD，结合∠BOC＝∠CED＝90°即可证出△BOC≌△CED（AAS）；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设OC＝m，则点D的坐标为（m+3，m），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C，D的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式；（3）设点Q（x，﹣3x+3），由题意得DQ∥PC，DQ＝PC，则点Q的纵坐标＝点D的纵坐标＝1，求出x＝，则PC＝DQ＝，设点P的坐标为（a，0），分两种状况，由平行四边形的性质得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD，∵将线段CB围着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD，在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）；（2）解：在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝6，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0），设OC＝m，由（1）得：△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m），∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3）、C（1，0）代入解析式得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3；（3）解：存在，理由如下：∵点Q在线段CB上，直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴设点Q（x，﹣3x+3），∵点P在x轴上，以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴DQ∥PC，DQ＝PC，∴点Q的纵坐标＝点D的纵坐标＝1，∴﹣3x+3＝1，解得：x＝，∴PC＝DQ＝4﹣＝，设点P的坐标为（a，0），分两种状况：①如图1所示：则1﹣a＝，解得：a＝﹣，∴P（﹣，0）；②如图2所示：则a﹣1＝，则a＝，∴P（，0）；综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，P点坐标为（﹣，0）或（，0）．3．（渝中区校级期末）如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝6，∠CAO＝30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求点D的坐标；（2）在线段AC上有一动点P，连接EP和OP，求当△OPE周长最小时，点P的坐标，若M，N是x轴上两动点（M在点N左侧）且MN＝1，求当四边形CMNP周长最小时，M点的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用翻折的性质以及直角三角形的性质即可求解；（2）如图2中，作点E关于AC的对称点E′，连接OE′交AC于点P，此时PE+OP的值最小，即△OPE的周长最小．求出直线AC，OE′的解析式，构建方程组求出交点P的坐标；过点P关于x轴的对称点P'，作P'K∥x轴，且P'K＝1，连接CK交AO于点M，依据点P坐标，由对称性可得P'的坐标，K的坐标，可求直线CK的解析式，即可求点M的坐标；（3）因为MN∥CD，所以当CD＝MN时，四边形CDMN是平行四边形，推出点M的横坐标为3，由直线EC的解析式为y＝﹣x+2，可得点M的纵坐标为y＝﹣3+2＝﹣，推出M（3，﹣），依据对称性可知的M根源点C的对称点M′也满足条件．【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥OA于H，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝30°，∠AOC＝90°，OA＝6，∴∠ACO＝60°，OC＝OA•tan30°＝2，AC＝4，由翻折可知：∠ECA＝∠ECO＝30°，∴OC＝CD＝2，∠AOC＝∠CDE＝90°，∴AD＝AC﹣CD＝2，且∠OAC＝30°，DH⊥AO∴DH＝，AH＝DH＝3，∴OH＝OA﹣AH＝3，∴D（3，）；（2）如图2中，作点E关于AC的对称点E′，连接OE′交AC于点P，此时PE+OP的值最小，即△OPE的周长最小，过E′作E′F⊥OA于F．由（1）知，AD＝2，∠CDE＝90°，∠CAO＝30°，∴DE＝2，∠DEA＝60°，AE＝4，∴EE′＝4，OE＝OA﹣AE＝2，∵E′F⊥OA．∴EF＝2，E′F＝2，∴OF＝OE+EF＝4，E′（4，2），∴直线OE′的解析式为y＝x，∵OA＝6，OC＝2，直线AC的解析式为y＝﹣x+2，由，解得，∴P（，）；过点P关于x轴的对称点P'，作P'K∥x轴，且P'K＝1，连接CK交AO于点M，此时四边形CMNP周长最小．∵点P关于x轴的对称点P'，∴P'（，﹣）；∵P'K∥OA，P'K＝1∴K（，﹣），设直线CK的解析式为：y＝kx+2，过点K（，﹣），∴﹣＝k+2，∴k＝﹣，∴直线CK的解析式为：y＝﹣x+2，∴当y＝0时，x＝，∴点M（，0）；（3）如图3中，连接QD．∵MN∥CD，∴当CD＝MN时，四边形CDMN是平行四边形，∴点M的横坐标为3，∵直线EC的解析式为y＝﹣x+2，∴点Q的纵坐标为y＝﹣3+2＝﹣，∴Q（3，﹣），依据对称性可知点Q关于点C的对称点Q′也满足条件，可得Q′（﹣3，5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（3，﹣）或（﹣3，5）．4．（杭州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，2），B（b，0），且a，b满足+b2﹣8b+16＝0．（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC是以线段AB为底的等腰三角形？若存在，试求出点C的坐标：若不存在，试说明理由．（3）点A关于点（0，﹣1）对称的点D坐标为；是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）由二次根式及偶次方非负，即可求出a、b的值；（2