四川省仁寿县2024-2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析

Page24一、单选题1.若向量，向量，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算.【详解】向量，向量，则.故选：C2.从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事务是（）A.至少有一本政治与都是数学 B.至少有一本政治与都是政治C.至少有一本政治与至少有一本数学 D.恰有1本政治与恰有2本政治【答案】D【解析】【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事务包含的事务，结合互斥事务与对立事务的概念，即可得出答案.【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，“至少有一本政治”包含事务：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A，事务“至少有一本政治”与事务“都是数学”是对立事务，故A错误；对于B，事务“至少有一本政治”包含事务“都是政治”，两个事务是包含关系，不是互斥事务，故B错误；对于C，事务“至少有一本数学”包含事务：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事务都包含事务“一本数学一本政治”，不是互斥事务，故C错误；对于D，“恰有1本政治”表示事务“一本数学一本政治”，与事务“恰有2本政治”是互斥事务，但是不对立，故D正确.故选:D.3.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量，，，则=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量的线性运算，，再转化为用表示即得解【详解】由题意，=+=×(+)+×=故选：C4.已知，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据空间向量的投影向量公式进行求解.【详解】，故在上的投影向量为.故选：D5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】A选项，分和两种状况，结合线面垂直得到面面垂直；B选项，作出帮助线，得到线面垂直，得到面面垂直；C选项，举出反例；D选项，证明出，结合，所以，D正确.【详解】A选项，如图1，当，时，因为，所以，如图2，当时，因为，，设，过点作，则，且因为，所以，所以，A正确；B选项，如图3，若，，所以，因为，故存在，使得，且，则，因为，所以，因为，故，B正确；则C选项，如图4，满意，，，但不满意，C错误；D选项，如图5，因为，，所以，又，所以，故D正确.故选：C6.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成果是依据3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列举法求得选物理和历史的全部种数，再利用古典概型求解【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择物化生的有1种，某考生选择物化生的概率是.故选：D7.在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连接交于点，连接，得到（补角）是异面直线与所成角求解．【详解】解：如图所示：连接交于点，连接，因为,所以（补角）是异面直线与所成角．因为平面，平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，则为直角三角形，设，在中，，所以，故选：B．8.如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满意，则线段的长度的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，依据得出、满意的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，，，，得，由，得，得，，，当时，取得最大值.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算实力，属于中等题.二、多选题9.下面四个结论正确的是（）A.向量，若，则．B.若空间四个点，，则三点共线．C.已知向量，，若，则为钝角．D.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；【答案】ABD【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可推断AC，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可推断BD.【详解】对于A：因为，，则，故A正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；对于C：若为钝角：则，且与不共线，由得，当时与平行时，，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；对于D：是空间的一组基底，则向量不共面，由，所以也不共面，故也是空间的一组基底，故D正确，故选：ABD10.是空气质量的一个重要指标,我国标准接受世卫组织设定的最宽限值,即日均值在以下空气质量为一级,在之间空气质量为二级,在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位:）的统计数据,则下列叙述不正确的是（）A.从5日到9日,日均值渐渐降低B.这10天中日均值的平均数是49.3C.这10天的日均值的中位数是45D.从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是【答案】C【解析】【分析】依据折线图可知选项A正确,依据平均数的计算公式可知选项B正确,将10天的日均值从小到大排列,取中间两数的平均数可知选项C错误,数出日均值在以下的天数,依据概率计算公式可知选项D正确.【详解】解:由图可知从5日到9日,日均值渐渐降低，故选项A正确;由图平均数为，故选项B正确;由图可知这10天的数据从小到大排列为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为:，故选项C错误;由数据可知,10天中日均值以下有4天，故空气质量为一级的概率是，故选项D正确.故选：C11.下列叙述正确的是（）A.互斥事务不愿定是对立事务，但是对立事务确定是互斥事务B.甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为C.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事务D.在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事务“至多一件一等品”的概率为【答案】ABD【解析】【分析】依据互斥事务和对立事务的定义推断AC选项，依据概率的基本性质求BD选项.【详解】对于A选项：互斥事务是不行能同时发生的两个事务，它可以同时不发生，对立事务是必有一个发生的互斥事务，A正确；对于B选项：甲不输的事务是下成和棋的事务与甲获胜的事务和，它们互斥，则甲不输的概率为，B正确；对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事务都含有一红一黑的两个球这一基本领件，即它们不互斥，C错误；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本领件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事务为“恰两件一等品”，有3个基本领件，从而所求概率为，D正确.故选：ABD.12.已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.正三棱柱外接球的表面积为B.若直线与底面所成角为，则的取值范围为C.若，则异面直线与所成的角为D.若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为【答案】AD【解析】【分析】选项：先求外接圆的半径，依据勾股定理求外接球的半径，从而求表面积；选项：确定出点与重合时，最小；点与重合时，最大，然后在直角三角形中求其正弦值；选项：将正三棱柱补成直四棱柱，然后找异面直线与所成角；选项：把三棱锥的体积最小，转化为三棱锥的体积最大，然后依据到平面距离的最大值求三棱锥的体积的最小值.【详解】选项：因为外接圆的半径，，所以正三棱柱外接球的半径，所以外接球的表面积为，故项正确；选项：取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可知平面平面，所以当点与重合时，最小，当点与重合时，最大，所以，故错误；选项：将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则(或其补角)为异面直线与所成的角，易得，，所以，故项错误；选项：如图所示，因为，所以要使三棱锥体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，因为，所以在以为直径的圆上，所以点原委面距离的最大值为，所以三棱锥的体积的最小值为，故项正确.故选：.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．三、填空题13.用分层抽样的方法从某校中学学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校中学学生总数是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出学生总数.【详解】，故该校中学学生总数是1800人.故答案为：180014.已知事务A，B，C两两互斥，且，，，则______．【答案】0.9##【解析】【分析】由互斥事务与对立事务的相关公式求解【详解】由题意得，则．故答案为：0.915.在△中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为__________．【答案】【解析】【详解】分析：依据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值．详解：如图：∵，∴，则，又∵B，P，N三点共线，∴，故得m=．故答案为．点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上随意两点，求证：直线上随意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为反之，若则A，P，B三点共线（特殊地令t=,称为向量中点公式）16.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面相互垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．则下列结论：①当a＝时，ME与CN相交；②MN始终与平面BCE平行；③异面直线AC与BF所成的角为45°；④MN的最小值为．正确的序号是_____．【答案】②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，由正方形，边长1，所以因为，所以，若与相交，则四点共面，又在平面，所以当且仅当在平面时，与相交，此时，故①错误；平面的法向量为，，，，所以MN始终与平面BCE平行，故②正确；，设异面直线与所成的角为，，所以异面直线AC与BF所成的角为，故③错误；，故④正确.故答案为：②④四、解答题17.设A，B，C，D为平面内的四点，且.（1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【小问1详解】设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以.【小问2详解】因为，所以，，因为向量与平行，因此，解得，所以实数k的值为.18.三棱台中，若面，分别是中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接、，即可得到四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；（2）方法一：几何法，过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为，由线面垂直的性质得到，再由，从而得到平面，再证明平面，从而求出，最终由点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即可得解；方法二：利用等体积法计算可得.【小问1详解】连接、，由分别是的中点，依据中位线性质，，且，由棱台性质，，于是，又由可知，四边形是平行四边形，则，又平面，平面，于是平面.【小问2详解】方法一：过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.由题干数据可得，，，，依据勾股定理，，因为面，面，所以，所以，所以平面，又平面，则，又，，平面，于是平面.又平面，则，又，，平面，故平面，在中，，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是.方法二：过作，垂足为，作，垂足为，因为面，面，所以，所以，所以平面，由题干数据可得，，，，依据勾股定理，，设点到平面的距离为，则，，由，解得.19.某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成果（满分100分，成果均为不低于40分的整数）分成六段：，，后得到如图的频率分布直方图.（1）求抽取的40名学生同学的成果的中位数；（2）若该校高二年级共有学生560人，试估计该校高二年级期中考试数学成果不低于80分的人数；（3）若从数学成果在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成果之差的确定值不小于10的概率.【答案】（1）75分；（2）196；（3）.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，求出，再利用中位数的定义可求得结果；（2）依据频率分布直方图求出成果不低于80分的频率，再乘以560可乘以所求的人数；（3）依据频率分布直方图求出数学成果在与两个分数段内的学生的频率，从而可求出各段上的人数，然后列出全部的状况，以及两名学生的数学成果之差的确定值不小于10的状况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得，解得，因为前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，解得，所以中位数为75分；【小问2详解】由频率分布直方图可得成果不低于80分的频率为，因为该校高二年级共有学生560人，所以该校高二年级期中考试数学成果不低于80分的人数约为（人）；【小问3详解】由频率分布直方图可得成果在内的人数为人，记为，成果在内的人数为人，记为，若从数学成果在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生的全部状况有：，，，，共15种状况，其中两名学生的数学成果之差的确定值不小于10的有：，，共8种，所以所求概率为.20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成果只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并赐予录用.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么（1）甲､乙两人都参与此高校自主招生考试，谁获得录用的可能性大？（2）甲､乙两人都参与此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录用的概率.【答案】（1）甲获得录用的可能性大；（2）.【解析】【分析】（1）利用独立事务的乘法公式求出甲､乙两人被录用的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事务、独立事务的概率求法，结合互斥事务的加法公式求恰有一人获得录用的概率.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事务，“甲通过面试”为事务，“甲获得录用”为事务A，“乙通过笔试”为事务，“乙通过面试”为事务，“乙获得录用”为事务B，则，，即，所以甲获得录用的可能性大.【小问2详解】记“甲乙两人恰有一人获得录用”事务C，则.21.如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，，为上一点.（1）求证：；（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（