高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.1数列的概念与简单表示(真题测试)(原卷版+解析)

专题7.1数列的概念与简单表示（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（

）A．200 B．210 C．220 D．2422．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列的通项公式为，其前项和为，则（

）A． B． C．180 D．2404．(2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（

）A．数列是常数列B．若，则是递增数列C．若，则D．若，则的最小项的值为5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线7．（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．8．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（

）A． B．C． D．10．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，，前n项和为，则（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，.下列说法正确的是（

）A． B．C． D．数列为递减数列三、填空题13．（2023·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．14．（2023·全国·高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则______________.15.（2023·全国）已知数列满足若，则________.16．(2023·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.四、解答题17．(2023·全国·高考真题（文））已知各项都为正数的数列满足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通项公式.18．(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．20．(2023·河南·模拟预测（文））已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．21．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.22．(2023·全国·模拟预测）数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．专题7.1数列的概念与简单表示（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（

）A．200 B．210 C．220 D．242答案：C【解析】分析：由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有故其奇数项上的通项公式为故，故选：C2．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】分析：由以及解析式求出，再由得出答案.【详解】由题得，解得，故，所以故选：A．3．（2023·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列的通项公式为，其前项和为，则（

）A． B． C．180 D．240答案：D【解析】分析：分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.【详解】当，时，，；当，时，，；当，时，，；当，时，，.，.故选：D4．(2023·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（

）A．数列是常数列B．若，则是递增数列C．若，则D．若，则的最小项的值为答案：D【解析】分析：由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.【详解】当时，，当时，，则，而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；由，显然且，即不单调，B错误；若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，而，C错误；若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】分析：由得，进而得到，再由数列是递增数列，得到，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，由，可得，，，，则数列是递增数列，，则，则.故选：B.6．（2023·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线答案：C【解析】分析：首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.7．（2023·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．8．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．二、多选题9．(2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.10．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，，前n项和为，则（

）A． B． C． D．答案：BCD【解析】分析：根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.【详解】由知，A错；∵，，∴，，∴，时，；时，，D对；，∴，∴，∴，∴，∴；，∴，∴，∴，∴时，，，B对．，C对．故选：BCD11．（2023·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】分析：利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：ACD.12．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，.下列说法正确的是（

）A． B．C． D．数列为递减数列答案：ABC【解析】分析：对A，根据递推公式求得，再结合二次函数取值范围分析即可；对B，根据分析即可；对C，化简可得，再结合分析即可；对D，分析的正负即可【详解】对A，因为数列的各项均为正数，，所以可得，所以可得，故A正确；对B，因为，所以，所以，故B正确；对C，因为，因为且各项为正，所以，所以可得，即可得，故C正确；对D，因为，所以可得数列为递增数列，故D错误；故选：ABC．三、填空题13．（2023·浙江·高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．答案：【解析】分析：根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．【详解】因为，所以．即．故答案为：.14．（2023·全国·高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则______________.答案：【解析】分析：对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.15.（2023·全国）已知数列满足若，则________.答案：分析：根据递推公式，可知，，，，…，故数列是以为周期的周期数列，由此即可求出结果.【详解】因为所以，，，…故数列是以为周期的周期数列，又知，所以.故答案为：.16．(2023·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.答案：【解析】分析：由已知条件可得，进而求得，以及周期，利用周期性求的前项和.【详解】由题设，两边平方得：，化简得，∵得：，∴，，,则，，综上，是周期为2的数列且，，因此，数列的前项和.故答案为：四、解答题17．(2023·全国·高考真题（文））已知各项都为正数的数列满足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通项公式.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）由题意，得.（Ⅱ）由得.因为的各项都为正数，所以.故是首项为，公比为的等比数列，因此.18．(2023·全国·高考真题（文））设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：(1)；(2).【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和19．(2023·全国·高考真题（文））已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．答案：（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.【解析】分析：（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；（2）利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.【详解】（1）由条件可得．将代入得，，而，所以，．将代入得，，所以，．从而，，；（2）是首项为，公比为的等比数列．由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列；（3）由（2）可得，所以．20．(2023·河南·模拟预测（文））已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根据题干中的已知条件可得当时，，当时，，即可求解数列的通项公式；（2）代入化简数列，利用裂项相消法即可求解数列的前n项和.(1)解：∵，∴当时，，当时，，从而有，即当时，，又满足上式，故数列的通项公式为．(2)解：由题可知，，所以，，所以.21．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.答案：（1）；（2）.【解析】分析：(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20