高中数学选择性必修三课件：§7 2 离散型随机变量及其分布列(人教A版)

§7.2离散型随机变量及其分布列第七章随机变量及其分布1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.3.理解两点分布.学习目标在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列.导语你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？随堂演练课时对点练内容索引一、随机变量的概念及分类二、离散型随机变量的分布列三、分布列的性质及应用一、随机变量的概念及分类问题1

(1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？提示

试验结果：命中1环，命中2环，……，命中10环，用数字表示试验结果：1,2，…，10.(2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？提示

投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分.(3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？提示

共有6种，可以用1,2,3,4,5,6来表示相应结果.(4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来表示随机试验的结果呢？提示

掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.可以用1表示正面向上，0表示反面向上.知识梳理1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2.离散型随机变量：可能取值为

或可以

的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用

表示随机变量，例如X，Y，Z；用

表示随机变量的取值，例如x，y，z.唯一有限个一一列举大写英文字母小写英文字母注意点：离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出.注意点：离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出.例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；解某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；解某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；解明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.解由于果汁的容量在498mL～502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.反思感悟判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.跟踪训练1指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；解只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；解从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；解从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；解林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.解实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列问题2掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？提示

列成表的形式知识梳理1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率__________________________为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格表示：P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，nXx1x2…xnPp1p2…pn离散型随机变量的分布列的性质：(1)______________________(2)___________________pi≥0，i＝1,2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1.X01P1－pp我们称X服从

分布或0－1分布.注意点：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是.两点例2

从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；解从箱中取两个球的样本点有以下6种：(2个白球)，(1个白球，1个黄球)，(1个白球，1个黑球)，(2个黄球)，(1个黑球，1个黄球)，(2个黑球).当取到2个白球时，X＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，X＝－1；当取到1个白球，1个黑球时，X＝1；当取到2个黄球时，X＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，X＝2；当取到2个黑球时，X＝4，所以X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.所以X的分布列为(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.解P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)反思感悟求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值.(2)每一个取值所对应的概率.(3)用所有概率之和是否为1来检验.跟踪训练2某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列.解将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.故X的分布列为三、分布列的性质及应用解由题意，得X的分布列为由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，反思感悟分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.跟踪训练3设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123则由上表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.31.知识清单：(1)随机变量的概念、分类.(2)离散型随机变量的概念.(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质.(4)两点分布.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.课堂小结随堂演练C.1234√1.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是A.X012P0.70.150.15B.X－2024P0.50.20.30D.X123Plg1lg2lg51234解析C选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以C选项不是随机变量的分布列.则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是A.x≤1 B.1≤x≤2C.1<x≤2 D.1≤x<212342.若随机变量η的分布列如表所示：√η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1解析由分布列知，P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，∴P(η<2)＝0.8，故1<x≤2.3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)等于1234√解析设失败率为p，则成功率为2p，分布列为X01Pp2p12344.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.0.8解析因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.课时对点练1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4基础巩固12345678910111213141516√解析由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的.2.一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为A.6 B.5

C.4 D.212345678910111213141516√解析由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.3.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点12345678910111213141516√若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7123456789101112131415164.设随机变量X的分布列为√解析由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.X01234P0.20.10.10.3m则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为A.0.28 B.0.88

C.0.79 D.0.515.某射手射击所得环数X的分布列为12345678910111213141516√X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析根据题意，随机变量X的分布列为12345678910111213141516解析甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次、2次、3次.0,1,2,312345678910111213141516∴X的分布列为123456789101112131415169.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答.某选手抽到科技类题目的道数为X.(1)试求出随机变量X的可能取值；解由题意得X的可能取值为0,1,2,3.12345678910111213141516(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？解{X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”.由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种).1234567891011121314151610.将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列.12345678910111213141516解第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，12345678910111213141516故X的分布列为综合运用1234567891011121314151611.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是A.25B.10C.7D.6√解析∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7，3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个.1234567891011121314151612.若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为√X－11P4a－13a2＋a1234567891011121314151613.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则√X－101Pabc√12345678910111213141516解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.1234567891011121314151614.若随机变量X的分布列如表所示：则a2＋b2的最小值为________.拓广探究12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得1234567891011121314151616.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的样本点；解由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S，且m＋n＝0，所以A包含的样本点为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0).12345678910111213141516(2)