第三章不等式教案 人教课标版(正式完美版课件)

不等关系与不等式

第一课时不等关系与不等式（一）一

一、教学目标.

.使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）

产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组..

.学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系：一

.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置,

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。一

二、教学重、难点一

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。.

难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.用不等式（组）正确表示出不等关系

三、教学过程.

（-）［创设问题情境L

问题：设点与平面a的距离为，为平面a上的任意一点，则一

问题：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本。根据市场调查，若单价每提高元，销

售量就可能相应减少本。若把提价后杂志的定价设为元，怎样用不等式表示销售的总收

入仍不低于万元？.

分析：若杂志的定价为元，则销售的总收入为（8-喘9x0.2］x万元。那么不等关系“销售

的总收入不低于万元”可以表示为不等式巨x0.2）x

问题：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mni和600mm两种，按照生产的要求，600mm

钢管的数量不能超过500mm钢管的倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？.

分析：假设截得500mm的钢管根，截得600mm的钢管根..一

根据题意，应有如下的不等关系：.

（）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；一

（）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的倍；.

（）解得两钟钢管的数量都不能为负

'500x+600y<4000

3x>y

由以上不等关系，可得不等式组：

x>0

y>0

［练习］:第页，第、题。一

提问：除了以上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系

吗？

归纳：

文字语言与数学符号间的转换.

文字语言数学符号文字语言数学符号

大于>至多

小于<至少2

大于等于不少于

小于等于不多于

(二)典例分析

例：某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每克含蛋白质个单位，含淀粉个单位；米饭每克含

蛋白质个单位，含淀粉个单位.某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含个单位的蛋白

质和个单位的淀粉.设每盒快餐需面食X百克、米饭y百克，试写出满足的条件.

例：配制A6两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料毫克，乙料毫克，配一剂

8药需甲料毫克，乙料毫克。今有甲料毫克，乙料毫克，若A8两种药至少各配一剂，则A,8

两种药在配制时应满足怎样的不等关系

(三)知识拓展

.设问：等式性质中：等式两边加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等。不等式是否也有类

似的性质呢？

从实数的基本性质出发，实数的运算性质与大小顺序之间的关系：对于任意两个实数，

如果〉，那么是正数；如果〈，那么是负数；如果等于.

它们的逆命题也是否正确？

(2)a=b<^>a-b=0;

(3)a<b<^>a-h<0

.例、比较(+)(—5)与(+)(一)的大小.

例、己知#,比较(+)与++的大小.

归纳：作差比较法的步骤是：

、作差；

、变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；

、判断符号；

、作出结论.

(四)课堂小结

.通过具体情景，建立不等式模型；

.比较两实数大小的方法一一求差比较法.

(五)作业：《习案》作业

/74-AHC1

比较竺竺与巴(其中m>0)的大小

b+mb

a+mab(a+m)-a(b+m)m(b-a)

解：---------=-------------------=--------，

h+mbb(b+in)b(h+in)

,八cm(b—a)八,a+ma

,:b>,m>0,・・---------->0,所以------>—.

b(b+in)b+tnb

〃+772Cl

说明：不等式_->-(b>a>0,〃z>0)在生活中可以找到原型：b克糖水中有。克糖

b+mh

(b>a>0\若再添加机克糖(〃z>0),则糖水便甜了.

第二课时3.1不等关系与不等式(二)

一、教学目标一

()使学生掌握常用不等式的基本基本性质；.

()会将一些基本性质结合起来应用.一

()学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系；一

二、教学重、难点一

重点：理解不等式的性质及其证明.一

难点：利用不等式的基本性质证明不等式。_

三、教学过程

(-)复习提问一

、比较两实数大小的理论依据是什么？.

、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤..

、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?_

基本性质不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

基本性质不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.一

基本性质不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.一

其数学含义：一

()若>，则+>+,—>—;.

()若〉，〉,则>，

cc-

()若>，<,则V,

CC

(二)新授

常用的不等式的基本性质

()a>b,<^>b<a(对称性)()a>b.b>c^=>a>c(传递性)

()a>b,na+c>b+c(可加性)

()a>b,c>O=>ac>be；a>b,cac<bc(可乘性)

()a>b>O.c>d>0ac>bd(同向不等式的可乘性)

()a>b>O,nEN,n>\=>an>hn>>Jh(可乘方性、可开方性)

cc

例：已知a>b>O,cvO,求证：—>—

ab

X

例：如果VV,6<<,求+,-及一的取值范围.

y

V<<,6<<.\-8<-<-,

：.+6V+V+即6<+<66•

••一8V—V—即一8V—V；

30x42

—<—<—■,

24>>16

日21

即n一5<一X<

4yT

,兀/c,兀4a+Ba-BEE.E

例.已知<&<〃<—求-----，------的取值氾围O

22922

（三）随堂练习、教材面第题

、回答下列问题：

（）如果），>,是否可以推出〉？举例说明;

（）如果>，<,且片，半,是否可以推出£〉£?举例说明.

ah

.若。AZ?AO,则下列不等式总成立的是()

bb+11,11,12a+ba

.—>------oCld---AbT----oCl-\---------------------A-

aQ+1abbaQ+26b

.有以下四个条件：（1）方（2）0>a>b（）a>O>b\()a>h>0

其中能使L>J成立的有个

ab

若、、G/?,>，则下列不等式成立的是（）

11ab

・—>—.a1>b2•———>———.眼>相

ahc+1c~+1

rrjr

.若a、质足—土<a<〃（生，则二一尸的取值范围是（）

.-7v<a-/3<7T.-7T<a-/3<0

（四）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。

（五）作业：《习案》作业二十二

一元二次不等式及其解法.

第一课时一元二次不等式及其解法（）一

一、教学目标一

.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；能把一元二次不等式的解的

类型归纳出来；_

,过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不

同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；一

.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结

合的应用以及计算机在数学中的应用。.

二、教学重、难点.

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形

结合的思想；一

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。.

三、教学流程.

(-)［创设情景］

探究。通过让学生阅读第页的上网问题，得出一个关于的一元二次不等式，即

X2-5x<0

一元二次不等式的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为的不等式；.

练习：判断下列式子是不是一元二次不等式？一

1,

()x+—>5()xy+3<0()(%+2)(x—3)<0()x~-3x>x(x-V)

x

(二)［探索研究］

思考。一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系？

.不等式f―5x<0、二次函数y=d-5x、一元二次方程V—5x=0的之间有什么关系？

容易知道，方程5x=0有两个实根：芯=0,々=5由二次函数的零点与相应的一元二次方

程根的关系，知％=0,4=5是二次函数,=/一5龙的两个零点。

通过学生画出的二次函数y=/-5x的图象，观察而知，

当x<0,x>5时，函数图象位于轴上方，此时y>0,即/一5x>0；

当0<x<5时，函数图象位于轴下方，此时y<0,即5%<0。

所以，一元二次不等式X2-5X<0的解集是｛x|0<x<5｝从而解决了以上的上网问题.

.如何解一元二次不等式？

(三)［举例应用］

例求下列不等式的解集

()x2-3x-4>0()x2-5x+6<0

()%2-4X+1>0()-X2+2X-3>0

练习：面练习题。

通过以上的例题及练习的讲解，指导学生归纳面的表格及一元二次不等式的解的情况。

例.解不等式4(2--2x+l)>x(4-x)

例.解不等式d产23+64

2

(四)小结

.从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；

.能把一元二次不等式的解的类型归纳出来。

（五）作业：《习案》作业二十三。

第二课时一元二次不等式及其解法（）.

一、教学目标.

.知识与技能：应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元

二次不等式的过程表示出来；一

.过程与方法:通过学生对一元二次不等式的解法的理解，利用计算机将数学知识用程序表示出来：一

.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结

合的应用以及计算机在数学中的应用。一

二、教学重、难点.

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形

结合的思想；.

难点：理解一元二次不等式的应用。一

三、教学流程：一

（一）复习：一元二次不等式的解法一

（二）举例分析.

例.某种汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速X有如下关系：

s^—x+—x\在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5cm,那么这辆汽车刹车

20180

前的车速至少为多少？

变式：若车速为80km/h,司机发现前方50nl的地方有人，问汽车是否会撞上人？

例.一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配线，这条线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y

（元）之间有如下的关系：y=-2x2+220x,若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创元

以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

22

例.求下列函数的定义域：（）y=logv_,（x-3x-4）（）y=^x-2x-6

例.解不等式二^<0

x+7

变式：若关于X的不等式土二巴>0的解集为（-8,-1]D（4,+8）则实数

X+1

2ex-\x<2

例.设/(x)h则不等式/"）〉2的解集为（1,2）U（V10,-KO）

2

log3(x-l),x^2

（三）小结：运用不等式解实际问题时，要注意：不大于、不小于、不超过等字眼。

（四）作业：《习案》作业二十四。

一元二次不等式及其及解法（三）

一、教学目标

（）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；

（）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；

（）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不尊式的综合题.一

二、教学重点，难点

从不等式的编集出,装求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路.

三、教学设计

（-）复习引入

、列表复习一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的关系：.

、由上表引导学生观察出：ox?+bx+c>0对一切xeR都成立的条件为：<>（）

A<0

以2+法+。<0对一切xeR都成立的条件为：

A<0

（二）典例分析一

例.解不等式如2-2%+1>0

例.已知关于x的不等式V—皿+〃W0的解集是｛x|-5Wx«l｝,求实数加，〃之值.

例.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x12<x<3｝求不等式c%2-bx+a>0的解集.

2+3=--

“b--5a

解：由题意\2x3=-,即Jc=6a.代入不等式52一反+。>0得：

6ax2+5ax+a=0(a<0).即Gd+Sx+lvO,

所求不等式的解集为｛x|—g<x<-；｝.

例.己知一元二次不等式（加-2）/+2（根一2）x+4>0的解集为R,求，〃的取值范围.

解：>=（〃2-2）工2+2（加一2）工+4为二次函数，・二加工2

二次函数的值恒大于零，即（加一2）/+2（根一2）x+4>0的解集为R.

m-2>0m>2m>2

即.解得・

A<04(m-2)2-16(m-2)<0,2<m<6

.二加的取值范围为｛〃z|2<根<6｝

变式：

.已知二次函数y=(/〃—2)/+2(机—2)x+4的值恒大于零，求机的取值范围.

.已知一元二次不等式(m-2)/+2(根-2)x+4V0的解集为。，求m的取值范围.

例.若函数y=+2"+次中自变量x的取值范围是一切实数,求左的取值范围

解：y=1•+2米+左中自变量x的取值范围是R,二/+2而+ZNO恒成立.

A=4A:2-4k<0：.0<k<l

故女的取值范围是伙[0<《41}.

思考题：若不等式/nN—2x+l—〃2<0对满足一24加<2的所有，〃都成立，求实数X的取值范围.

解：己知不等式可化为，-1)加+(1—2x)<0.

设/(加)=(1一1)加+(1-2幻，这是一个关于M的一次函数(或常数函数)，从图象上看，

要使/(/«)<0在一2WmW2时恒成立，其等价条件是：

1/(2)=2(f—1)+(1—2x)<0,[2X2+2X-3>0,-1+币1+百

Wn]J但是得-----------<X<______

/(-2)=-2(x2-1)+(1-2x)<0,[2X2-2X-1<0.22

所以，实数x的取值范围是二士o.

122}

四、课堂小结：

.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；

.一元二次不等式恒成立的问题

五、作业：《习案》作业二十五

简单的线性规划问题一

第一课时简单的线性规划问题(一)一

一、教学目标一

()知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、一

最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.

()过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通

过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入

手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生

动性

()情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识;

激发学生的学习兴趣一

二、教学重点、教学难点一

教学重点：线性规划的图解法一

教学难点：寻求线性规划问题的最优解

三、教学过程一

(一)复习引入一

、某工厂用、两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用个配件耗时，每生产一件乙产

品使用个配件耗时，该厂最多可从配件厂获得个配件和个配件，按每天工作计算，该厂所有的

日生产安排是什么？一

x+2y<8,

4x<16,

()设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可的二元一次不等式组：\4)，<12,X

x>0

y>0

()将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。.

()若生产一件甲产品获利万元，生产一件乙产品获利万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品乙产品件时，工厂获得的利润为，则.这样，上述问题就转化为：一

当、满足不等式※并且为非负整数时，的最大值是多少？.

2z

变形：把z=2x+3y转变为y=-§尤+§,

27

这是斜率为-：，在y轴上的截距为?的直线，当变化时，可以得到一组互相平行的直线；

当直线y=-*x+=与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点，使直线经

33

点时截距一最大

3

平移一一通过平移找到满足上述条件的直线

表述一一找到给(，)后，求出对应的截距及的值

(-)新课讲授

、概念引入

x+2y<8,

4尤<16,

()若z=2x+3y,式中变量、满足上面不等式组<4y<12,，则不等式组叫做变量、的约束

x>0

y>0

条件，z=2x+3y叫做目标函数;又因为这里的z=2x+3y是关于变量、的一次解析式,

所以又称为线性目标函数。

()满足线性约束条件的解叫做可行解,

()由所有可行解组成的集合叫做可行域；

()其中使目标函数取得最大值的可行解3叫做最优解

(三)例题分析

x-4y<-3

例、设z=2x+y,式中变量、满足下列条件<3x+5y<25,求的最大值和最小值。

x>1

归纳解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；第二步：令=,画直线；

练习：面练习题()

解答线性规划问题的步骤：

♦第一步：根据约束条件画出可行域；

♦第二步：令=,画直线；

♦第三步：观察，分析，平移直线，

从而找到最优解；

♦第四步：求出目标函数的最大值或最小值.

x+2y-2>0

例、求=一的取值范围，使式中的、满足约束条件<%-240

y-l<0

\x-2y+7>0

例、.求=+的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件：<4x-3y-1240

x+2y-3N0

x-4y<-3

思考、己知点(，)的坐标满足,3%+53；425则上的最大值为，最小值为-

x

x>\

(四)课堂小结：

了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解

(五)作业：《习案》作业二十九。

简单的线性规划问题(二)一

一、教学目标.

()知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题

()过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若

要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生

正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解一

()情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力一

二、教学重点、教学难点.

教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答一

教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解一

三、教学过程一

、复习引入.

通过上一节课的学习，我们了解到在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示平面区域，

并且掌握了用直线定界，特殊点定域的方法来画出平面区域。口

问题：设z=2x+y,式中变量无，y满足下列条件：求的最大值与最小值。一

、举例分析.

()效益最佳问题.

例、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白

质,0.06kg的脂肪.1kg的食物含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪，花费元;而

1kg食物含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费元.为了满足营养专家指出的日

常饮食要求，同时花费最低,需要同时食用食物和食物多少？

食物()碳水化合物()蛋白质()脂肪()

探究:一

()如果设食用食物、食用食物，则目标函数是什么？.

()总成本随、食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件一

()能画出它的可行性区域吗？.

()能求出它的最优解吗？一

()你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？.

解线性规划应用题的一般步骤：.

()设出所求的未知数；.

()列出约束条件；_

()建立目标函数；

()作出可行域；

()运用平移法求出最优解。

例.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品需耗种矿石、种矿石、煤；生产乙种产品需耗种

矿石、种矿石、煤.每甲种产品的利润是元，每乙种产品的利润是元.工厂在生产这两种产品的

计划中要求消耗种矿石不超过、种矿石不超过、煤不超过.甲、乙两种产品应各生产多少，能使

利润总额达到最大.

例、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐；生产

车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐、硝酸盐。现库存磷酸盐、硝酸盐，在此基础上生产这两

种混合肥料。若生产车皮甲种肥料，产生的利润为元；生产车皮乙种肥料，产生的利润为元。那

么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设生产甲种肥料车皮、乙种肥料车皮，能够产生利润万元。目标函数为z=x+0.5y,

画出可行域。

把z=x+0.5y变形为y=—2x+2z,得到斜率为-2,在轴上的截距为2z，随变化的一组

平行直线。由此观察出，当直线)，=-2x+2z经过可行域上的点时，截距2z为最大,

即最大。

18x+15y=66,x=2,y=2,

解方程组＜得的坐标为

4x+y=10所以，Zmax=x+0.5y=3

由此可知，生产甲、乙两种肥料各车皮，能够产生最大的利润，最大利润为万元。

()用料最省问题

例、面例

思考：例、例有区别吗？区别在哪里？

、练习：面练习

、课堂小结：

解线性规划应用题的一般步骤：

()设出所求的未知数；

()列出约束条件；

()建立目标函数；

()作出可行域；

()运用平移法求出最优解。

四、作业：《习案》作业二十八。5x-llj>-22,

.某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件:>2x+3yN9,

则的最大值是：()2x<U.

3.3.2简单的线性规划问题().

一、教学目标一

()巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；一

()会用画网格的方法求解整数线性规划问题.一

()利用线性规划求代数式的取值范围。.

二、教学重点、难点一

用画网格的方法求解整数线性规划问题.一

三、教学流程一5x-llj>-22,

()复习：练习.某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件:2x+3j>9,

则的最大值是：()一2x<U.

()举例分析.

x+y+z=l

3y+z>2

例、设x,y,z满足约束条件组<，求M=2x+6y+4z的最大值和最小值。.

0<x<l

0<y<l

2y-x>l

解:由x+y+z=1知z=—x—y+1,代入不等式组消去z得<0<x<l,

0<

代入目标函数得〃=-2x+2y+4,作直线4)：-x+y=O,

作一组平行线/：—x+y="平行于4，

由图象知，当/往/。左上方移动时，“随之增大，

当/往右下方移动时，〃随之减小，

所以，当/经过8(0,1)时，=—2x0+2xl+4=6,

当/经过A(l,l)时，umin=-2xl+2xl+4=4,

所以，"max=6,"min=4.

\<a-b<2

例、()已知<求r=4a-2〃的取值范围;

2<a+b<4

()设/,(乃=如2+法，且1</(—1)<2,2</(1)<4,求/(—2)的取值范围。

解：()不等式组表示的平面区域如图所示，

作直线4a-2b=0,

作一组平行线/：4a—2b=t,

由图知/由4向右下方平移时，;随之增大，反之减小，

当/经过A点时/取最小值，当/经过C点时f取最大值

a-b-1a-b-231

由V和<分别得A,,]),C(3,l),

a+b=4[a+b=2

31

・・.fmin=42x——22x-=5,nidA*”=4x3—2x1=10,所以，r*-e[5j,10].

()f(-r)=a-b,f(l)=a+b,/(—2)=4a—2b,由()知,/(-2)G[5,10].

()、练习：教材面第题

思考题：已知AA3C的三边长满足〃+cW2a,c+a<2h,求2的取值范围。

a

\<x+y<2

bcx<y+l<2x_

解：设x=2，丁=+,则《'，作出平面区域，由图知:明)，C(|,l),

ay<x+l

x〉0,y>0

23即

—<x<—2<2<3.

323。2

四、课堂小结:

.巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法;

.用画网格的方法求解整数线性规划问题。

五、作业：《习案》作业三十。

.二元一次不等式组与简单的线性规划问题.

第一课时二元一次不等式（组）与平面区域一

一、教学目标.

（）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平

面区域.

（）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何

用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮

助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特

别提醒学生注意Ax+By+C>0（或<0）表示区域时不包括边界，而

Ax+By+C20（或K0）则包括边界.

（）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想一

二、教学重点、教学难点一

教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

教学难点：如何确定不等式Ax+By+C>0（或〈0）表示Ax+By+C=0的哪一侧区域一

三、教学设计一

（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来元

的收益，其中从企业贷款中获益％,从个人贷款中获益％。那么，信贷部应如何分配资金呢？一

提问：_

.这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？

.设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由于总资金为元，得到：

x+jV<25000000©,

.由于计划从企业贷款中获益％,从个人贷款中获益％,共创收元以上,

所以(％)X(%)y230000000

.企业和个人贷款不能为负，所以

x+y<2500000Q

12x+10y>3000000

解:分析题意,我们可得到以下式子<

x>0,

y>0

（二）概念一

、二元一次不等式：一

我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式称为二元一次不等式。一

我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。.

、满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序数对（），所有这样的有序数对（）构成的集合称为二元

一次不等式（组）的解集..

注意:有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成

直角坐标系内的点构成的集合.

例如二元一次不等式x-y<6的解集为{（x,y）k-y<6|}

（三）问题：二元一次不等式x—y<6所表示的图形？

在直角坐标系中，所有点被直线x-y=6分成三类：

一类是在直线x-y=6上；二类是在直线x-y=6左上方的区域内的点；

三类是在直线x-y=6右下方的区域内的点.

尝试：设点（再，％）是直线上的点，任取点（看,当），使它的坐标满足不等式％-丫<6,在图中标出点

和点.

观察并讨论

我们发现，在直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；

反之,直线左上方点的坐标也满足不等式X-y<6.

因此,在直角坐标系中,不等式X-y<6表示直线X-y=6左上方的平面区域.

类似地，不等式X-y>6表示直线X-y=6右下方的平面区域.我们称直线x-y=6为这两个区

域的边界.将直线x-y=6画成虚线,表示区域不包括边界.

结论:、一般地，在直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示Ax+By+C=0某侧所有

点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.

而不等式Ax+By+C>0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.

、二元一次不等式Ax+8y+C>0表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方

法，即画线取点判断。当CwO时，常把原点（，）作为测试点。

（四）举例分析

例、画出x+4y<4表示的平面区域（见教材第页例）

分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

特别是，当CHO时，常把原点（，）作为测试点。

例、画出<“表示的平面区域

x-y+2<0

y<—3x+12

例、用平面区域表示不等式组的解集

x<2y

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示

的平面区域的公共部分。

练习：、教材面练习、、题

x-y+5>0,

、画出不等式组<x+y20,表示的平面区域并求该区域的面积。

x<3

、画出（x+2y+l）（x—y+4）<0表示的平面区域

（五）小结：

（）懂得画出二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）在平面区域中表示的图形

（）注意如何表示边界

（六）作业：《习案》第二十六课时

第二课时二元一次不等式（组）与平面区域（二）.

一、教学目标一

（）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题.

（）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不

等式（组）所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践

机会。教师要善于引导学生思维，调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的

妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢.

（）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数

形结合中得到辨证唯物主义的思想教育.

二、教学重点、教学难点一

教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题一

教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题.

三、教学过程.

（-）复习引入一

y<2x+1,_4

画出下列不等式组《,所表示的平面区域:

x+2y>4

解：不等式y42x+l表示直线y=2x+l及其下方的平面区域；.

不等式x+2y>4表示直线x+2y=4上方的平面区域；_x+2y=4

O

因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域.

（二）探究新知

例、某人准备投资万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以

班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件

学段班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元）

初中班人

高中班人

解：设开设初中班个，高中班个，根据题意,

总共招生班数应限制在到之间，所以有20«x+y〈30

考虑到所投资金的限制，得到26x+54y+2x2x+2x3y〈1200,即x+2y<40

另外，开设的班数不能为负，则x>0,y>0

2Q<x+y<30,

x+2y<40,

x>0,■

y>0

根据限制条件画出图形（略）

例、教材面例

例、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐；生产

车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐、硝酸盐。现库存磷酸盐、硝酸盐，在此基础上生产这两

种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设、分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

4x+y<10,

18x+15y<66,③

\在直角坐标系中画出平面区域。

x>0,

y>0

总结：学生分组讨论后，对结果进行汇总时，老师要对学生展示的成果进行点评，针对学习过程中

出现的常见错误给予指正。

（三）练习：、面第题

、本公司计划年在甲、乙两个电视台做总时间不超过分钟的广告，广告总费用不超过万元，甲、乙

电视台的广告收费标准分别为5（）0元分钟和元分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分

钟广告，能给公司事来的收益分别为万元和万元.设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分

别为x分钟和y分钟，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为X分钟和y分钟，总收益为Z元，

x+yW300,

由题意得<500x+200yW90000,

x20,y»0.

x-y+520,

、若不等式组2。，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）

A.a<5B.a27c.5Wa<7D.a<5或aN7

（四）小结：

解线性规划的应用题时，（）认真分清题意，将题目条件准确地转化为二元一次方程组，

（）根据不等式组画出平面区域

（五）作业：

《习案》第二十七课时

.基本不等式一

第一课时基本不等式（一）.

一、教学目标一

（）知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的倍的不等式的证明；理解两个正数的

算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释一

（）过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地

探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实

际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，

培养学生良好的数学品质

（）情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合

的想象力一

二、教学重点、难点.

教学重点：两个不等式的证明和区别一

教学难点：理解“当且仅当时取等号”的数学内涵一

三、教学过程一

提问：我们把“风车”造型抽象成图.在正方形中有个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a.b,

那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？一

（+b2,a1+h2）.

提问：那个直角三角形的面积和是多少呢？（说）一

提问：根据观察个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，

a2+b2>2ab。什么时候这两部分面积相等呢？

（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a=b时，正方形变成一个点，这时有力+匕2=功）

、一般地，对于任意实数a、b,我们有当且仅当。=人时，等号成立。

提问：你能给出它的证明吗？

证明：/+/一2"。=(a+b)2当a*力时,(。一/J->o当.=。时,(Q一。>=o

所以a2+b2>2ah

注意强调()当且仅当。=〃时