2024届江苏省淮安市五校联盟高三上学期10月学情调查测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市五校联盟2024届高三上学期10月学情调查测试数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得又，所以，故选：A.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故选：D.3.已知，命题，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗为真命题，则，故，由于，所以是的必要不充分条件，故选：B4.数学家杨辉在其专著《详析九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗数列前六项分别为，依题知，叠加可得：，得，当时，，满足，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号取不了，所以最小值在取得，当时，，所以最小值为.故选：C.5.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，，故选：D6.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，而当为单调递增函数，故当，单调递减，由可得，平方得，解得或，故的取值范围是，故选：C7.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，故选：B8.已知，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，由可得，进而可得故，同理可得，令或，故均为方程的实数根，故，，由于函数为单调递增函数，所以，，故选:B二､多项选择题9.已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（）A. B.公比C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由得，又与的等差中项为20，则，所以公比为，故，故，故ACD正确，B错误，故选:ACD10.已知正数满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为9C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗BD〖解析〗A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最大值为，因此本选项不正确；B：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；C：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最小值，因此本选项不正确；D：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为因此本选项正确，故选：BD11.已知函数，则（）A.的图象关于原点中心对称B.在区间上的最小值为C.过点有且仅有1条直线与曲线相切D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗的定义域为，且，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，，令得或，故在单调递增，在单调递减，故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，又，最小值为，故B错误，设切点为，则切点处切线方程为，若切线经过，则将代入可得，所以或，故经过会有两条切线，C错误，若切线经过，则将代入得，令，则当因此在单调递增，在和单调递减，作出的图象如下：，要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，故，D正确，故选：AD12.已知函数，则（）A.是方程的两个不等实根，且最小值为，则B.若在上有且仅有4个零点，则C.若在上单调递增，则在上的零点最多有3个D.若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则〖答案〗ABD〖解析〗A选项：由题可知，所以，A正确；B选项：若，令得，即，所以，函数由小到大的第4个零点为，第5个零点为，由题知，，解得，B正确；C选项：由得，因为在上单调递增，所以，解得，若在上有3个零点，则，解得，因，所以C错误；D选项：由图可知，，又，所以，即，因为，所以，所以，D正确.故选：ABD.三､填空题13.数列满足，则__________.〖答案〗〖解析〗由题设，所以是周期为3的数列，则.故〖答案〗为：14.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得，故〖答案〗：15.在中，角的对边分别为为边中点，若则面积的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗由于为边中点,所以,平方,因此,由于，所以，当且仅当时等号成立，故，由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，,由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，由可得，故面积的最大值为，故〖答案〗为：16.已知函数，若恒成立，则满足条件的所有整数的取值集合为__________.（参考数据：）〖答案〗〖解析〗由题意且，当时，即在上递减，又，所以，定义域内存在，不符合题意；当时，时，递减；时，递增；所以，要使恒成立，只需，令且，则，所以，时，递增；时，递减；由，所以在各有一个零点，且取两个零点之间的值（含零点）时，故整数时恒成立.故〖答案〗为：四､解答题17.已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.解：（1），所以的最小正周期，则；且的最大值，则.所以.（2）因为，所以，则，则，所以的值域为.当取得最大值时，，所以自变量的值为.18.已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列通项公式与前项和；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得.所以数列的通项公式为，数列的前项和.（2）由得，所以当时，，；由得，所以当时，，.所以，当时，；当时，.所以，.19.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.解：（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.20.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列的前项和.解：（1）因为，所以①当时，，所以；当时，②①-②得，即，则，所以数列构成以为首项，3为公比的等比数列，则，所以.（2）因为，所以，所以.21.中，角的对边为.（1）求角的大小；（2）若内切圆的半径，求的面积.解：（1）由正弦定理得，因为，所以，则，即，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，因为，所以（*）.又的面积，即，则，代入（*）式得，即，所以，则，所以的面积.22.已知函数.（1）若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即.由得，即.因为函数定义域为，所以方程有非零实数根，当时，，符合题意，当时，则，即，且，所以实数a的取值范围是.（2）因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根，所以当时，无实根，因为，即是偶函数，所以在上无实根.，记则，.①当时，，又，则，所以，满足在上无实根.②当时，在上有实根，不合题意，舍去.③当时，，所以在单调递增，则，所以在上单调递增，所以，满足在上无实根.④当时，因为在单调递增，且，，则存在唯一的，使，列表得-0+↘极小值↗所以当时，，则在单调递减，则，又因为，且在上连续，所以在上有实根，不合题意.综上可知，实数的取值范围是.江苏省淮安市五校联盟2024届高三上学期10月学情调查测试数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得又，所以，故选：A.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故选：D.3.已知，命题，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗为真命题，则，故，由于，所以是的必要不充分条件，故选：B4.数学家杨辉在其专著《详析九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗数列前六项分别为，依题知，叠加可得：，得，当时，，满足，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号取不了，所以最小值在取得，当时，，所以最小值为.故选：C.5.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，，故选：D6.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，而当为单调递增函数，故当，单调递减，由可得，平方得，解得或，故的取值范围是，故选：C7.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，故选：B8.已知，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，由可得，进而可得故，同理可得，令或，故均为方程的实数根，故，，由于函数为单调递增函数，所以，，故选:B二､多项选择题9.已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（）A. B.公比C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由得，又与的等差中项为20，则，所以公比为，故，故，故ACD正确，B错误，故选:ACD10.已知正数满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为9C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗BD〖解析〗A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最大值为，因此本选项不正确；B：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；C：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最小值，因此本选项不正确；D：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为因此本选项正确，故选：BD11.已知函数，则（）A.的图象关于原点中心对称B.在区间上的最小值为C.过点有且仅有1条直线与曲线相切D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗的定义域为，且，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，，令得或，故在单调递增，在单调递减，故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，又，最小值为，故B错误，设切点为，则切点处切线方程为，若切线经过，则将代入可得，所以或，故经过会有两条切线，C错误，若切线经过，则将代入得，令，则当因此在单调递增，在和单调递减，作出的图象如下：，要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，故，D正确，故选：AD12.已知函数，则（）A.是方程的两个不等实根，且最小值为，则B.若在上有且仅有4个零点，则C.若在上单调递增，则在上的零点最多有3个D.若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则〖答案〗ABD〖解析〗A选项：由题可知，所以，A正确；B选项：若，令得，即，所以，函数由小到大的第4个零点为，第5个零点为，由题知，，解得，B正确；C选项：由得，因为在上单调递增，所以，解得，若在上有3个零点，则，解得，因，所以C错误；D选项：由图可知，，又，所以，即，因为，所以，所以，D正确.故选：ABD.三､填空题13.数列满足，则__________.〖答案〗〖解析〗由题设，所以是周期为3的数列，则.故〖答案〗为：14.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得，故〖答案〗：15.在中，角的对边分别为为边中点，若则面积的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗由于为边中点,所以,平方,因此,由于，所以，当且仅当时等号成立，故，由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，,由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，由可得，故面积的最大值为，故〖答案〗为：16.已知函数，若恒成立，则满足条件的所有整数的取值集合为__________.（参考数据：）〖答案〗〖解析〗由题意且，当时，即在上递减，又，所以，定义域内存在，不符合题意；当时，时，递减；时，递增；所以，要使恒成立，只需，令且，则，所以，时，递增；时，递减；由，所以在各有一个零点，且取两个零点之间的值（含零点）时，故整数时恒成立.故〖答案〗为：四､解答题17.已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.解：（1），所以的最小正周期，则；且的最大值，则.所以.（2）因为，所以，则，则，所以的值域为.当取得最大值时，，所以自变量的值为.18.已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列通项公式与前项和；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得.所以数列的通项公式为，数列的前项和.（2）由得，所以当时，，；由得，所以当时，，.所以，当时，；当时，.所以，.19.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.解：（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令