2024届河北省武邑中学高三年级上册三调考试数学试题及答案

数学试题

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和n卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟

2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.

3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题

无效.

第I卷:选择题（60分）

一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置.

x+3

A=[x\x2>4）B=\x,faA\cyB=

1.已知全集TT。=D匕集合IIJ,1'IJ,则为（）

A.{x-2<x<l}B.{1卜2<x<C.1x|-2<x<l}D.|x|-2<x<ij

-1.•3

2.已知。为实数，若^一_->-（i为虚数单位），则a=()

a+i2

A.1B.-2C—D—

32

3.已知锐角。满足2cos26=1+sin2。，贝!Jtan。二=()

1j_

A.一B.C.2D.3

3

a=-x+yIi

4.已知向量Z[,京]满足,卜同=1,。=0,且,,则k+y等于()

b=2x-y111'

A.V2+V3B.V2+V5C.V3+V5D.7

5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（)

1V7

A.一B.

7V3。丹

6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前

往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东9角的方向沿

直线前往B处救援，则sin。的值为（)

北

A

V2「V3

2

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7.设a=l12,b=sina,c=e0,2，贝U（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

8.抛物线G：Y=2加（夕>0）与双曲线。2：=丸有一个公共焦点R,过上一点尸（364）向

G作两条切线，切点分别为A、B,则丹•忸丹=（）

A.49B.68C.32D.52

二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共

计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置.

9.已知数列｛4｝的前力项和为且=2（4-a）（其中0为常数），则下列说法正确的是（）

A.数列｛4｝一定是等比数列B.数列｛%｝可能是等差数列

C.数列｛Sn｝可能是等比数列D.数列｛S“｝可能是等差数列

10.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+/"）x+4y-3+3加=0（xe7?）恒过定点（-2,3）；

B.圆1+/=4上有且仅有3个点到直线/：X-y+a=0的距离都等于1

C.曲线G：/+/+2x=0与曲线。2：必+J?一4》一8了+加=0恰有三条公切线，则加=4

22_

D.若双曲线3=1伍〉0,6〉0）的一条渐近线被圆丁+3?-6彳=0截得的弦长为2君，则双曲线的

ab

离心率为

5

II.如图，棱长为1的正方体48co-4与。］〃中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确

A.直线口尸与/C所成的角可能是比TT

6

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B.平面44P，平面//尸

C.三棱锥D「CDP的体积为定值

D,平面4?。1截正方体所得的截面可能是等腰梯形

12.已知函数/(%)=d，8(%)=魇，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是()

A,函数y=/(x)-eg(x)的极值点为1

B.3xG(0,+co),/(x)-g(x)<2

c.若尸分别是曲线歹=/(力和^=8(力上的动点.则|尸。|的最小值为血

D.若/(")一8(%)2(1-。)》对任意的》6(0,+8)恒成立，则。的最小值为工

e

第n卷:非选择题(90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若直线3x+4y—8=0被圆(x—02+俨=4截得的弦长为26，则a=.

14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元,

池壁每1加2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为m.

15.已知点M(3,l)在圆C：(x-l)2+(j+l)2=r2(r>0)内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值

为8,则「=.

16.已知抛物线=2px(,〉0)的焦点到准线的距离为2,。为坐标原点，点尸在抛物线上，平面上

ULIULUULL

一点M满足PM=9MF，则直线OM斜率的最大值为.

四、解答题(本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分)

2

17.已知数列｛4｝的前〃项和S”=^W,〃eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设〃=2“"+(-1)"%,求数列也｝的前2〃项和.

18.已知函数/(x)=sinxsin^x+^+cos21》一］］一g.

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

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(2)已知锐角A/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,求acosB-bcosC

的取值范围.

19.已知圆C：炉+/-47+1=0,点-1),从圆。外一点尸向该圆引一条切线，记切点为7.

(1)若过点M的直线/与圆交于4,2两点且|48|=2/，求直线/的方程;

(2)若满足|尸4=£必，求使取得最小值时点尸的坐标.

20.如图，四棱锥P—48CD的底面是等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=2,PC=6

PC，底面25cD,/为棱N尸上的一点.

(1)证明：ABVCM-,

/i-7PM

(2)若二面角N-DC-M的余弦值为YLL,求——的值.

17PA

21.已知曲线C上任意一点到点E(2,0)的距离比它到y轴的距离大2,过点尸(2,0)的直线/与曲线C交于

A,B两点.

(1)求曲线C的方程；

(2)若曲线C在4,2处的切线交于点"，求△初48面积的最小值.

22.已知函数/(x)=xe*-Ax2,keR.

(1)当左=0时，求函数/(x)在-2,2］上的值域；

(2)若函数/(x)在(0,+”)上仅有两个零点，求实数上的取值范围.

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2a-1

=0,

/+1

a+23

,«2+l>2,

1

Q=一.

2

故选：D

【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.

3.已知锐角。满足2cos26=l+sin2。，则tanO=()

1

A.-BC.2D.3

3-I

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于6的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数

关系求得tan。的值.

【详解】：2cos26=1+sin26,2(cos2©-sin?。)=(sin，+cos©)?,

即2(cos。一sin6)(sin0+cos。)=(sin0+cos0)2,

又••,，为锐角，，sine+cose>0,

/.2(cos6—sin。)=sin。+cos6,

即cos6=3sin6,:.tan6=—.

3

故选：A

—»—»-»

4.已知向量混W满足同=同=l,a・B=O,且<_,，则卜|+”等于()

1111[Z?=2x-y1111

A.V2+V3B.V2+V5C.V3+V5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据方程组求出已歹，再分别求它们的模，相加即可.

a=-x+yx-a+b

【详解】由-得：《

b=2x-yy=2a+b

又同=W=i，=o,

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•••|x|=+61=^(«+6y=yla2+2ab+b2=J1+0+1=日

国=忸+b\=J(21+盯=^4a2+4a-b+b2=J4+0+1=小.

所以闭+例=行+君.

故选：B

5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()

1V73V21

A.-B.—C.-D.--

7777

【答案】A

【解析】

【分析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据

勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径「是底面正三角形内切圆的半径时，该

内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.

【详解】设正三棱柱取三棱柱48C一481G的两底面中心。，

连结取。的中点。，连结AD，则为正三棱柱外接球的半径.

：445。是边长为2的正三角形，。是的中心,

BO=-xy/3=^-.

33

又：OD=L4=1,

2121

BD=^OB-+OD2-口=—.

V33

正三棱柱ABC-外接球的表面积4兀XBD?=弋.

根据题意可知，当球半径,是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即

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力

33

所以正三棱柱48C-44G内半径最大的球表面积为4»x「2=着,

4%

所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为a+=三1.

28〃7

亍

故选：A.

【点睛】方法点睛:

①一般地，柱体的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处;

②柱体的内切球的半径为其中截面内切圆的半径.

6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前

往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东0角的方向沿

直线前往B处救援，则sin9的值为()

北

A

A・理V2V3D・等

RD.----------r-

22

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题中所给的条件，画出对应的图形，在AA8C中，利用余弦定理求得BC,然后根据正弦定

理求得sinN4c5,则cosNZC'8可得，进而利用5也。=$吊(30°+/2。8),根据正弦函数的两角和公式

解决.

【详解】本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式.在三角形/3C中，由NC=10,/8=20,

NC4B=120。.由余弦定理可得2。=10、万.又由正弦定理可得AB20*m

dn/ACS

//03=叵.故sin9=sinACBI-I=返、亚+班上=前

7I6J77?14

【点睛】该题考查的是利用正余弦定理解决海上救援的问题，在解题的过程中，注意正确分析题中的条件,

熟练掌握正余弦定理，将所涉及到的量代入对应的式子正确求解即可.

7.设a=1.F,b=sina，c=e02，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

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【答案】D

【解析】

【分析】首先判断这三个数与1的大小，确定6最小；对。、C先开方，再利用函数/(X)=e'-x-l,(x>0)

的单调性判断他们的大小.

【详解】：a=1』2〉1]。=1，6=sintze[-l,l],c=e°2〉e°=1，；.6最小.

®/(x)=ex-x-1(x>0),则/'(x)=eX-l,因为x>0,所以/'(x)>0,所以/(x)在(0,+。。)上为

增函数.

又/(0)=0,所以/(0.1)>0,即e°」—0.1—1〉006°」〉1.1二卜°」)2〉1.12即6()2〉112,

所以c>a.

综上可得：c>a>b.

故选：D

【点睛】(1)先把。，c开方，利用函数/(x)=e，—x—l(x>0)的单调性比较是难点.

(2)也可以先把。，c取自然对数：lna=21nl.l,lnc=0.2,然后利用函数g(x)=x—ln(l+x),(x>0)

的单调性来比较它们的大小.

8.抛物线G：必=2加(0>0)与双曲线。2：必一3/=2有一个公共焦点厂，过。2上一点尸(3指,4)向

5作两条切线，切点分别为A、B,则丹•忸可=()

A.49B.68C.32D.52

【答案】A

【解析】

【分析】将尸坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数“利用导数几何

意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将43到焦点的距

离转化为到准线的距离，表示为43的纵坐标的关系式，求得M尸3尸|关于43纵坐标的表达式.

【详解】由P在双曲线上，将尸点坐标代入双曲线的方程，2=(3A/5)2-3X42=-3，

2

•••双曲线的方程为、=1,双曲线的焦点在y轴上，/=1万=3,••"=/+/=尔

c=2,双曲线的焦点坐标为(0,2)，抛物线X2=2^的焦点坐标为

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•••抛物线与双曲线的焦点重合，，5=2,.•.抛物线的准线为了=-2,p=4,

抛物线的方程为V=8y,即了=,/，

8

y'=；x,设2(苞,%),8(%2/2)，切线以，尸3的斜率分别为:芭,；》2,切线方程分别为

J-V1=|x1(x-x1),j-v2=1x2(x-x2),

将P的坐标及%=，％=代入，并整理得X；-6氐]+32=0,,一6瓜2+32=0,

OO

可得演,乙为方程X2-6氐+32=0的两个实数根，由韦达定理得

xxx2-32,再+%=6也,

加叫=(乃+2)(%+2)=%2+2,3+2]="出Rgw+x；b4

='(占%2)2+；(Xl+X2^-2X1X2+4=\X322+J[(66『一2X32+4=49,

故选:4

【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦

达定理的灵活运用.

二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共

计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置.

9.已知数列｛%｝的前n项和为Sn(〃eN*),且Sn=2(a“-a)(其中0为常数),则下列说法正确的是(

A.数列｛4｝一定是等比数列B.数列｛4｝可能是等差数列

C.数列｛S｝可能是等比数列D.数列电｝可能是等差数列

【答案】BD

【解析】

【分析】由sn和an的关系求得4+1=2an,%=2a,分类讨论a是否为0,判断选项正误.

【详解】因为S0=2(%-a),当〃=1时，S]=%=2(%-a),得%=2a,

将"+1代入,得S"+i=2(%+]-。)，an+x=Sn+X-Sn=2(an+x-a)-2(a„-a),

即%+i=2%,

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当a=0时，a“=0,｛4｝不是等比数列，是等差数列，=0,｛5｝也是等差数列;

当时，｛%｝是以2a为首项，2为公比的等比数列，S“=2"0—2"）=〃（2"一1）不是等比数歹也

1—2

故答案为：BD.

10.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+掰）x+4y-3+3加=0（xw7?）恒过定点（-2,3）；

B.圆=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+忘=0的距离都等于1

C.曲线G：/+72+2x=0与曲线G：X?+/—4x—8y+掰=0恰有三条公切线，则加=4

22

D,若双曲线二一4=1伍〉0,6〉0）的一条渐近线被圆/+/-6苫=0截得的弦长为2石，则双曲线的

ab

离心率为

5

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心

距等于半径和列式求得加判断C；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆/+丁-6x=0所截得的

弦长为2君，结合弦心距和勾股定理，即可求出双曲线的离心率，即可判断选项D是否正确.

x+3—0

【详解】由（3+掰）x+4y-3+3加=0（xeR）,得3x+4y-3+掰（x+3）=0,联立<,

、3x+4y30

'x=-3

解得<.，，直线（3+加）x+4y—3+3机=0（xeR）恒过定点（―3,3）,故A错误；

心3

..•圆心（0,0）到直线l：x-y+s/2=0的距离等于1,

...直线与圆相交，而圆的半径为2,故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆

上有三个点到直线Z:x-j+V2=0的距离等于1,故B正确；

两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线G：x2+y2+2x=。化为标准式（》+1『+?2=],曲线

22

C2:x+y-4x-8y+m=0化为标准式（x—2『+（y—4）?=20—加〉0,圆心距为

J（2+l『+42=5=l+J20-加，解得加=4,故C正确；

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22

双曲线二-」=1伍〉0,b>Q）的一条渐近线方程为bx+ay=0,

ab

3b

圆x?+/-6x=0的圆心（3,0）到双曲线的渐近线的距离为:

yja2+b2

又圆的半径为3,所以，9-,解得卫=3,所以二4即c二二9‘，所以离

\ya2+b2）2/5«25a25

心率为6=境，故D正确.

5

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题,一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解,

而是应用几何方法去求解.

方法是：直线与圆相交时，若/为弦长，/为弦心距，厂为半径，贝第,即—J/—/,

求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式.

11.如图，棱长为1的正方体48CD-481Goi中，尸为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确

7T

A.直线QP与/C所成的角可能是一

6

B.平面24尸，平面44P

C.三棱锥D「CDP的体积为定值

D.平面4Poi截正方体所得的截面可能是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于/,以。为原点，ru为X轴，DC为夕轴，为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求

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\7171\

出直线。声与/C所成的角为；对于8,由A.D.LAB,得4A_L平面4AP，从而平

面R4尸，平面44尸；对于C,三棱锥D,-CDP的体积VDi_CDP=VP_CDDi=1为定值；对于D,当AP延长

线交2丛的中点时，可以得到等腰梯形的截面.

【详解】对于/,以。为原点，'为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

r>](O,O,l),^(l,O,O),C(0,1,0),设P(l,a,))(0<a<l,0<6<l)

Z^P=(l,a,Z?-l),^C=(-l,l,0)

/—7_7^<\_D[P♦AC_a—1

cos(D]P,AC]=।—g-—1=<0

'/口邨C|J1+/+.—1)2x6

当a=l时，(印，就)=5；

当a=0)=1时，(印,%)=今,

a-\1_

••.u

[7171\

...直线与所成的角为4，万，

故/错误；

对于8,正方体48cz)-45GQ中，42-L441，A.D^AB,

,：AAtC\AB=A,J_平面4/尸，

平面。4P，，平面Aapj_平面a/p，故8正确；

对于C,•••SACDD=-xlxl=-,尸到平面CD。的距离3C=1,

三棱锥2-CD尸的体积：

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除的=%他=94义1=J为定值，故C正确；

326

对于。，当工尸延长线交AB】的中点E时，设平面与直线与G交于点F,

因为平面ADD.AJ/平面BCC、B、,平面&PD[n平面ADD^AD,,平面APDXn平面BCC、B「EF,所以

斯〃4Di,...尸为5G的中点，...截面4D尸£为等腰梯形的截面，故。正确；

12.已知函数/(》)=d，8(%)=11»,其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是()

A,函数y=/(x)—eg(x)的极值点为1

B.3%€(0,+oo),/(x)-g(x)<2

C.若P,。分别是曲线y=/(x)和>=g(x)上的动点.则|P0|的最小值为血

D.若/(ax)—g(x)2(l-a)x对任意的xe(O,+8)恒成立，则。的最小值为,

e

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B,设M"=/(X)—g(x),

求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C,利用曲线〉=廿与曲线y=lnx互

为反函数，可先求点尸到V=x的最小距离d,然后再求的最小值；对于D,利用同构把恒成立问题

lux

转化为分离参数，构造函数M(X)=——，利用导数求解最值即可.

JC

%

【详解】y=/(x)-eg(x)=ex-elnx.所以y=/-£='二,

当0<x<l时，<0,当x>l时，>0,

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所以.v=e'-elnx在(0,1)上单调递减，在。,+功上单调递增，

所以了=/(x)-eg(x)的极值点为1,故A正确；

设〃(x)=/(x)-g(x)=ex-Inx,则%'(x)=e*——,

X

由单调性的性质知〃(X)在(0,+8)上单调递增.

又":]=e、e<0,/l)=e—l>0,则存在/e.使得"伍)=e*-J-=0,

即lnx0=-x0,所以当x«O,Xo)时.当x£(%,+oo)时./(x)>0.

xo

所以Mx)在(0,%)上单调递减.在(玉),+8)上单调递增.

所以〃(x)min=〃(％)=e"。—1叫)=\-XQ,又飞£|—,1|，则XQ>2,

x°IeJ/

所以Vxe(O,+e),/(x)-g(x)>2,故B错误；

因为函数/(X)=/与函数g(X)=111Y互为反函数，其图象关于.V=X对称，

设点P到y=X的最小距离为d,设函数f(X)=ex上斜率为1的切线为y=x+b,

f'(X)=Qx,由e，=l得X=0,所以切点坐标为(0,1),即6=1,所以

[22

所以|「。|的最小值为2d=JL故c正确；

若/(依)—g(x)2(1—a)x对任意的xe(0,+8)恒成立，

则eov+ax>x+lux=elm+lux对任意的xe(0,+oo)恒成立，

令%x)=x+e"则尸(x)=l+e*〉O.所以E(x)在(0,+动上单调递增，则以之Inx,

口口、hix人/、Inx.,/x_1-Inx

即4之--，令M(X)=---,所fi以Cr"(X)=-----，

当0<x<e时，/(x)>02(x)单调递增，当％>e时，M'(X)<0,M(X)单调递减，

所以"x'wx="e)=4=」，所以即。的最小值为上，故D正确.

eeee

故选：ACD

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【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

第n卷:非选择题（90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若直线3x+4y—8=0被圆（x一0）2+产=4截得的弦长为2&，则a=.

【答案】1或上13

3

【解析】

【分析】根据几何关系及点到直线的距离公式求解.

过。作

在Rt/X/OC中，ZADC=9Q°,\AC\=2\AD\=^AB\=y[i,

故_以呼=4三=],

因为C（a,0）,

\ici-8|13

即/==1,解得〃=1或。=——.

•#+423

故答案为：1或上13.

3

14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800〃广，深度为3根,如果池底每1冽2的造价为150元,

池壁每1加2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为m.

【答案】160

【解析】

第12页/共23页

【分析】设水池底面一边的长度为X加，则另一边的长度为生巴加，由题意可得水池总造价/(X),然后

3x

利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长.

【详解】设水池底面一边的长度为X加，则另一边的长度为先”加，

3%

由题意可得水池总造价/(x)=150x4800+12of2x3x+2x3x竺”)

3I3xJ

=240000+720>0),

则/(x)=720,+3竺］+240000>720x2卜回五+240000

=720x2x40+240000=297600,,

当且仅当》=电"，即x=40时，/(x)有最小值297600,

X

此时另一边的长度为生”=40m,

3x

因此，当水池的底面周长为160加时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元，

故答案为160.

【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于

中档题.

15.已知点M(3,l)在圆C(x-l)2+(v+l)2=r2(r>0)内，过点”的直线被圆。截得的弦长最小值

为8,则^=.

【答案】2氐

【解析】

【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到

关于厂的方程，求解即可.

【详解】由点M(3,l)在圆C：(x—l『+(y+l)2=/内，且

所以(3—1『+(3+1)2<汽又r>0,解得r>2/

过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为|cw|

又C(l,—1),.•.|CM|=20

所以8=262_陋2=2/2_8,解得厂=2后

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故答案为：2册

16.已知抛物线C:y2=2/（,〉0）的焦点到准线的距离为2,。为坐标原点，点P在抛物线上，平面上

一点M满足PM=9MF，则直线OM斜率的最大值为.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据抛物线方程中。的几何意义，结合共线向量的坐标表示公式、直线斜率的公式、基本不等式

进行求解即可.

【详解】因为抛物线C:y2=2/（夕〉0）的焦点到准线的距离为2,

所以0=2,因此该抛物线的方程为/=4x,F（1,O）,

设P争为J,M（x,y）,

ULLULULLLL

因为「初=9叱，

2

<2、y=

所以有x-^-,y-y=9（1-X-A=9(1-X)w

0=><

工_9M

14J

y-y0=-9y

设直线（W斜率为左，

则后=?=著J，要想直线。M斜率有最大值，一定有外〉0,

x36+打

36

当且仅当一=%时取等号，即为=6,%,=—6舍去,

%

故答案为：—

3

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y//【点睛】关键点睛：对直线斜率的表达式进行变形，利用基本不等式是解题的关

—

键.

四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）

2

17.已知数列｛4｝的前〃项和=2y,〃eN*.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设％=2"”+（—1）"4,求数列也｝的前2及项和.

【答案】（1）%=〃；（2）22n+1+n-2.

【解析】

【分析】⑴利用%\求得数列｛%｝的通项公式.

（2）利用分组求和法求得数列加“｝的前2〃项和.

【详解】（1）当〃=1时，4=Si=l；

当〃22时，a“=S,7当月=1时，上式也符合.

故数列｛a,,｝的通项公式为an=n.

(2)由⑴知，"=2"+(—1)”〃，记数列抄“｝的前2〃项和为

则=(2i+22+...+22")+(—1+2—3+4—...+2〃).

记Z=2i+22+...+22",8=—1+2—3+4—...+2〃，

2(1-22"｝

则/=-----L=22B+1-2，

1-2

8=(—1+2)+(—3+4)+...+[—(2〃—1)+2〃]=n.

故数列出｝的前2〃项和汽=N+8=22n+1+77-2.

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n

18.已知函数/(x)=sinxsin|x+—|+cos,2

62

（1）求函数/（x）的单调递减区间;

（2）已知锐角A/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

的取值范围.

■兀137r7

【答案】（1）—F左肛---Fk/c

_44

【解析】

【分析】（1）先利用降幕公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数/（X）

的单调递减区间即可；

（2）先根据*求得5=W，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将

acosB—bcosC化简为cos弓+N）,最后结合角A的范围求解即可.

71]_

【详解】解：⑴由题意/(x)=sinxsin[x+?)+cos2X----

122

/

苴sinx+\os」+Z1』2x」n

=smx

2

2276

V3(l-cos2x)

+lsin2x+V3cos2x+lsin2x

4444

24

冗37r

令——b2kn<2x<----F2k兀,左£Z,

22

兀37r

解得—Fk兀VxV---Fkji，左£Z,

44

故函数/（X）的单调递减区间为-+k7i,-+k7i,kez；

(2)由(1)知f\—j=—sinBH——=——,解得sin8=——，

UJ2422

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因为Be［。,］71；所以5=：.

2

a_c_b_43

由正弦定理可知sin/-sinC-sin8-75

T

则。=2sin/,c=2sinC,

所以acos5-Z?cosC=--V3cosC=sin/-百cos7T-A--

2I3

V3

=sin4+百cos4+工=sin/+----.(cosZ--sin^

I3j22

71

=5cosA4——1si・nA4=cos1-兀l-AA

一不26

Zu

A+C=—

3

。"事，

在锐角AASC中，易知《得一＜z＜一,

62

0<c<f

l,“7"1,77i12L万n.,n.

因此丁</+一<=，贝！1cos|

363rl-

故acosB-力cosC的取值范围为14•

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用降塞公式和辅助角公式化简函数的解析式，在第(2)题中关键是

利用正弦定理将所求式转化为cos今+Z,结合题中条件求出A的范围，从而得解.

19.已知圆C：/+产一句+1=0,点M(-1,-1),从圆C外一点尸向该圆引一条切线，记切点为7.

(1)若过点M的直线/与圆交于/,8两点且|/8|=2血，求直线/的方程;

(2)若满足|尸7］=|尸加］，求使|尸刀取得最小值时点尸的坐标.