专题13 解直角三角形（原卷版）

专题13解直角三角形（原卷版）1．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得A．3 B．22 C．3 D．2．（2022·福建·统考中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm3．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am，BC=b（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM=a3m，CN=由测量知，AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵MN=c，∴AB=②___________m．故小水池的最大宽度为___________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．4．（2019·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.一、单选题1．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．12．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，一斜坡AB的长为213m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（A．3m B．4m C．6m D．16m3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙D于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD若AB=10,cos∠ABC=35,则tan∠DBC的值是(

A．12 B．13 C．2 D4．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23

A．1 B．2 C．23 D．5．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG=15°，其中结论正确的是（

）①AG=BD；②BF=3；③OPOA=13；④S△POF=13；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE=EC+CQA．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①③⑤7．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE=DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（

A． B． C． D．8．（2023·广东广州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）A．B．C．D．9．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针旋转60°到AB位置，且左边细管位置不变，则此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为（）A．4cm B．23cm C．3cm D．8cm10．（2023·山东烟台·统考一模）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，且∠BAC=120°，BC=2．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形ABC内的概率是()A．13 B．34 C．4912．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为32，则点PA．1 B．2 C．3 D．413．（2023·山东德州·校联考二模）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为(

)米A．43 B．65 C．12514．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，若∠D=∠B，AB=4．则OB的长度为（

）A．23 B．83 C．4315．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，已知AD＝4，AB＝43，∠C＝30°，连接BD，P为BD边上的一个动点．现让P点从B点出发沿着B→D（P不与点B重合）以1cm/s的速度运动，Q为折线BCD上一动点，现让Q点从B出发沿着折线BCD以3cm/s的速度运动当其中一个点到达终点时另一点也停止运动．则△PBQ与△BCD重合部分的面积S随时间t的变化关系的图象大致为（3≈1.7）（）A． B．C． D．二、填空题16．（2023·上海杨浦·统考二模）如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是_________．17．（2023·浙江湖州·统考一模）如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度i＝13，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝18．（2023·山东济南·统考模拟预测）如图，将菱形纸片ABCD固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45．如果随意投出一针命中菱形纸片，则命中矩形区域的概率是_____19．（2023·四川达州·校考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点P是线段AB上一动点．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C．点E是A1C上一点，且A1E＝2，则PE最大值为_____

．20．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC,OB交于点M，函数y=kx(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M，与BC交于点N．则点M的坐标为_________，点N21．（2023·四川成都·校考二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G为BC中点，以BG为边在BC右侧作正方形BEFG，直线AG，CE交于点P．现将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．（1）当旋转30°时，CE＝_____；（2）当正方形BEFG绕点B旋转一周时，点P经过的路径长为_____．22．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=AD，点E在CD上，点F在CB延长线上，∠EAF=∠BAD=120°，若DE=3，cos∠F=27723．（2023·广西南宁·统考一模）如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为6m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距离地面的高度），那么这棵树的高度为________m．（结果保留根式）24．（2023·河南许昌·统考二模）如图，已知▱ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝35，点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB，交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，当△CDE为直角三角形时，AM的长为_____25．（2023·陕西西安·校考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35三、解答题26．（2023·广东梅州·校考模拟预测）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．27．（2023·四川·统考一模）如图，一条河的某一段两岸平行，为了测量该段河两岸之间的距离，测量人员在河的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，现测得∠α＝37°，（1）求这条河在该段的两岸之间的距离．（2）若想在AC之间架一钢丝缆绳，那么缆绳最少需要多少米？（参考值：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53∘≈428．（2023·广东汕头·模拟预测）如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i=1:2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC=24米，与亭子距离CE=85米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．29．（2023·浙江温州·温州绣山中学校考三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是AB上一点，点D关于CE的对称点F恰好落在DA的延长线上，连结CF．（1）求证：∠BAD＝∠ECF．（2）若tan∠BAD＝23，AF＝9，求⊙O30．（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AD=30cm．（1）如图2，当∠BAC=24∘时，CD⊥AB，求支撑臂（2）如图3，当∠BAC=12∘时，求（参考数据：sin24∘≈0.40，cos24∘31．（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC,ED,DF

(1)依题意补全图形，并求∠DEC(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明．32．（2023·江苏盐城·校联考一模）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）33．（2023·上海闵行·校联考一模）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．34．（2023·山东泰安·统考一模）△ABC中