高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2省公开课一等奖新名师获奖课件

1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数性质1/622/62主题杨辉三角与二项式系数性质(a+b)n展开式二次项系数,当n取正整数时能够表示以下形式:3/62表一:4/62表二:5/621.你从上面表示形式能够直观地看出什么规律?提醒:三角两边都是1,除去全部1后剩下三角两边从上到下依次为从2开始自然数列.2.计算每一行系数和,你又看出什么规律?提醒:2,4,8,16,32,64,…,2n,…6/623.二项式系数最大值有何规律?提醒:当n=2,4,…时,中间一项最大,当n=3,5,…时中间两项最大.7/62结论:1.杨辉三角对称美表达了怎样数量关系:(1)与这两个1等距离两个数相等.即:_________(r=1,2,3,…,n-1)(2)每一个数都等于它“肩上”两个数和,即____________(r=2,3,…,n-1)8/622.二项式系数性质(1)对称性:与首末两端“等距离”两个二项式系数_____.实际上,这一性质可直接由公式________得到.相等9/62(2)增减性与最大值:当k<时,二项式系数是逐步增大.由对称性知它后半部分是逐步减小,且在中间取得最大值.假如二项式幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项,即____二项式系数最大;假如n是奇数,那么其展开式中间两项____与____二项式系数________相等且同时取得最大值.10/62(3)各二项式系数和:2n11/62【微思索】1.二项式(x+y)n展开式中二项式系数最大时该项系数就最大吗?提醒:不一定最大,当二项式中x,y系数均为1时,或x,y系数均为-1,n为偶数时,此时二项式系数等于项系数,不然不一定.12/622.怎样求二项展开式中各项系数和或部分系数和?提醒:通常利用赋值法,如:求(a+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn展开式中各项系数和,可令x=1,即得各项系数和a0+a1+a2+…+an=(a+1)n.若要求偶数项系数之和或奇数项系数之和,可分别令x=-1,x=1,两等式相加或相减即可求出结果.13/62【预习自测】1.若展开式二次项系数之和为64,则n=(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.由二项式系数之和为2n=64.所以n=6.14/622.在(1+x)n(n∈N*)二项展开式中,若只有x5系数最大,则n等于(

)A.8

B.9

C.10 D.11【解析】选C.只有x5系数最大,x5是展开式第6项,第6项为中间项,展开式共有11项,故n=10.15/623.展开式各项系数和为(

)A.-1 B.0 C.1 D.210【解析】选B.令x=1得展开式各项系数和,所以各项系数和为0.16/624.若(3x+1)n展开式中各项系数和为256,则n=____.【解析】令x=1,得展开式各项系数和为4n=256,所以n=4.答案:417/625.(1-x)13展开式中系数最大项为第________项.【解析】由Tr+1=(-x)r=(-1)rxr当r为偶数时,系数为正值,值为,r为奇数时,系数为负值,值为-.18/62而展开式中第7,8两项二项式系数最大,所以当r=6时,即展开式第7项二项式系数最大,值为.答案:719/626.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.(1)求a0+a1+a2+…+a5.(2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|.(3)求a1+a3+a5.20/62【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5通项Tr+1=(-1)r·25-r·x5-r知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.21/62(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35,所以a1+a3+a5==-121.22/62类型一与杨辉三角相关问题【典例1】(1)如图所表示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所表示数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列前n项和为S(n),则S(16)等于(

)23/62A.144

B.146

C.164

D.46124/62(2)在由二项式系数所组成杨辉三角中,第________行中从左至右第14与第15个数比为2∶3.25/62【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前两项和,解答本题可观察数列各项在杨辉三角中位置,把各项还原为各二项展开式二项式系数,然后利用组合数性质求和.(2)可联络对应二项式系数位置求解.26/62【解析】(1)选C.由图知,数列中首项是,第2项是,第3项是,第4项是,…,第15项是,第16项是,所以27/62(2)由题可设第n行第14个与第15个数比为2∶3,即二项展开式第14项和第15项系数比为=2∶3,即=2∶3,即解得n=34.答案:3428/62【延伸探究】1.若本例(1)中条件不变,则S(19)值怎样?【解析】由题图知,数列中首项是

,第2项是

,第3项是

,第4项是

,…,第17项是

,第18项是

,第19项是

.29/62所以S(19)=30/622.若将本例(1)中,数列改为“1,3,3,4,6,5,10,…,”如图所表示,S(16)值怎样?31/62【解析】由题图知,数列中首项是,第2项是第3项是,第4项是,…,第16项是.所以,S(16)=32/62【方法总结】处理与杨辉三角相关问题普通思绪33/62【赔偿训练】如图所表示,在杨辉三角中,第n条和第n+1条细斜线上各数之和与第n+2条细斜线上各数之和关系怎样?并证实你结论.34/62【解析】第n条和第n+1条细斜线各数之和等于第n+2条细线各数之和,其证实以下:第n条细斜线上各数和为:

35/62最终一项当n为偶数时是,n为奇数时是,与第n+1条细斜线上各数和为这恰好是第n+2条细斜线上各数之和.36/62类型二求展开式中系数和【典例2】(1)(·济宁高二检测)假如(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7值等于(

)A.-1 B.-2 C.0 D.237/62(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60.①求n值;②求值.38/62【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.(2)①由a2=60,求出n值.②令x=0,求出a0,再令x=-即可求得.39/62【解析】(1)选A.令x=1,代入二项式(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,得(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7=-1.(2)①因为T3=(-2x)2=a2x2,所以a2=(-2)2=60,化简可得n(n-1)=30,且n∈N*,解得:n=6.40/62②令x=0,则a0=1,令x=-,则26=所以41/62【方法总结】1.赋值法求解二项展开式问题步骤(1)明确展开式特点与意义.(2)观察展开式与所求式子间区分与联络.(3)注意特值0,1,-1对二项展开式来说,令x=1得各项系数和;令x=0得常数项;令x=-1得偶数项与奇数项差.42/622.处理二项式系数和问题思维流程43/62【巩固训练】设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0.求:(1)a8+a7+…+a1.(2)a8+a6+a4+a2+a0.44/62【解析】令x=0,得a0=1.(1)令x=1,得(3-1)8=a8+a7+…+a1+a0,①所以a8+a7+…+a2+a1=28-a0=256-1=255.45/62(2)令x=-1,得(-3-1)8=a8-a7+a6-…-a1+a0.②式①+②得28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0),所以a8+a6+a4+a2+a0=(28+48)=32896.46/62类型三二次项系数性质【典例3】(·西安高二检测)已知f(x)=展开式中各项系数和比各项二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大项.(2)求展开式中系数最大项.47/62【解题指南】(1)由二项式系数性质求二项式系数最大项.(2)由通项得解出r值.48/62【解析】(1)令x=1,则二项式各项系数和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍),或2n=32.所以n=5.49/62因为n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大项为中间两项,它们分别是T3=(3x2)2=90x6,T4=(3x2)3=50/62(2)展开式通项公式为Tr+1=假设Tr+1项系数最大,则有所以51/62所以所以因为r∈N,所以r=4.所以展开式中系数最大项为52/62【方法总结】(1)求二项式系数最大项,要依据二项式系数性质对(a+b)n中n进行讨论,n为奇数时中间两项二项式系数最大;n为偶数时,中间一项二项式系数最大.53/62(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同.求展开式系数最大项,如求(a+bx)n(a,b∈R)展开式中系数最大项,普通是采取待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,…,Ar+1,…且第r+1项系数最大,应用解出r来,即得系数最大项.54/62【