陕西省2021-2023年中考数学试卷分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类(含答案)VIP

陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二次函数综合题（共3小题）1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．答案：（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）B（4，0），C（0，8）；（2）P（0，16）或P（0，）．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在点P，设P（0，y），∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．3．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）y＝x2+6x+5，B（﹣1，0）；（2）抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，∴B（﹣1，0）；（2）存在，理由如下：延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，∵点P（m，2）在对称轴直线l上，∴P（﹣3，2），∵点P′与点P关于x轴对称，∴P'（﹣3，﹣2），∴PP'＝4，P'E＝2，由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，解得或，∴F（﹣2，﹣3），∴AP'＝＝2，P'F＝＝，由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，解得或，∴D（﹣4，﹣3），∴BP'＝＝2，P'D＝＝，∴＝＝＝2，由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．二．全等三角形的判定与性质（共1小题）4．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．答案：见解析．证明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，，∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．三．三角形综合题（共1小题）5．（2022•陕西）问题提出（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为75°．问题探究（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．问题解决（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．答案：（1）75°；（2）；（3）符合要求，证明见解答过程．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的中线，∴∠PAC＝∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75°；（2）如图2，连接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四边形PBCA为平行四边形，∵CA＝CB，∴平行四边形PBCA为菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE•tan∠ABC＝，∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE＝×6×3﹣×3×＝；（3）符合要求，理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四边形FDCA为正方形，∵PE是CD的垂直平分线，∴PE是AF的垂直平分线，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF为等边三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．四．四边形综合题（共1小题）6．（2022•陕西）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）答案：（1）；（2）PB+PE的最小值为；（3）BE的长为500米，DF的长为1000米．解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵2S△ABC＝AB•BC＝AC•BP，∴BP＝＝＝，故答案为：；（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：∵E，E'关于直线AC对称，∴PE＝PE'，∴PB+PE＝PB+PE'，∵B，P，E'共线，∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠ACB＝45°，∵点E是BC的中点，∴CE＝1，∵E，E'关于直线AC对称，∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，∴∠BCE'＝90°，在Rt△BCE'中，BE'＝＝＝，∴PB+PE的最小值为；（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE＝NE，CF＝MF，∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，∴∠ADC＝60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，∴∠MCD＝∠CMD＝30°，∴DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，∴CM＝1000米，∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AD＝2000米，∴CG＝DG﹣CD＝1000米，∵∠BCD＝150°，∴∠BCG＝30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，∴BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，∴CN＝1000米＝CM，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，∴∠NCM＝120°，∴∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝＝＝500（米），在Rt△MHF中，FH＝＝＝500（米），∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），答：BE的长为500米，DF的长为1000米．五．圆的综合题（共1小题）7．（2021•陕西）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．问题解决：（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．答案：（1）4；（2）cm2，OA＝5cm．解：（1）如图1，∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠B+∠ADC＝180°，∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴C、D、E在同一条直线上，∴CD+DE＝CE＝＝4；（2）如图2，连接OB，∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，∴∠BOE＝60°，OE＝OB，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，∴∠CBE+∠CEB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO＝S△BOE﹣S△BCE＝﹣S△BCE，∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，当C与C′重合时，S△BCE最大，S△BCE最大＝×15×（）＝，∴S四边形OABC最小＝cm2，此时OA＝OC＝＝＝5cm．六．作图—复杂作图（共1小题）8．（2023•陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）答案：见解答．解：如图，点P即为所求．七．列表法与树状图法（共1小题）9．（2023•陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外