第01讲：集合与常用逻辑用语 解析版

第01讲：集合与常用逻辑用语【考点梳理】考点一：集合的含义和表示 考点二：集合中元素的特性考点三：集合之间的基本关系 考点四：集合的基本运算考点五：集合的应用 考点六：充分条件和必要条件考点七：全程量词和存在量词 考点八：集合和逻辑用语的综合【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(5)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2非空真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA4．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p5全称量词与存在量词(1示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．6．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)【题型归纳】题型一：集合的含义和表示1．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(

)A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案.【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确；为无理数，不属于整数，所以，所以②错误；0不是正整数，所以，所以③正确；是正整数，属于自然数，所以，所以④错误；是无理数，所以，所以⑤正确；是正数，所以，所以⑥错误；综上，共由3个正确命题，故选：C.2．（2024上·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（

）A．1与表示同一个集合B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解的集合可表示为D．集合可以用列举法表示【答案】B【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B.3．（2024上·全国·高一专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B题型二：集合中元素的特性4．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）若集合,集合,且,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可.【详解】因为,根据题意,故,所以,则,即,当时,与集合的互异性矛盾,故舍去;当,时,,符合题意,所以.故选：B.5．（2022上·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果.【详解】因为所以有，解得或当时，不满足集合中元素的互异性，故则故选:B.6．（2021上·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知集合，若，则实数的值为（

）．A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值.【详解】，且，或⑴、当即或，①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当时，，，此时，符合题意；⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数的值为1.故选：B题型三：集合之间的基本关系7．（2023上·四川泸州·高一校考期中）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案.【详解】，所以,图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合，又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素，所以它有个子集，故选：D.8．（2023上·山东青岛·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合.【详解】因为，且，当时，符合题意；当时，又，所以或，解得或，综上可得实数的取值集合为.故选：D9．（2023上·山西太原·高一山西实验中学校考期中）已知集合，若，则实数组成的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分、讨论可得答案.【详解】当时，，符合题意；当时，，又，所以，或，解得，或，所以实数组成的集合为.故选：D.题型四：集合的基本运算10．（2024上·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交并补即可求解.【详解】由题知，故选：A.11．（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为；【答案】【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案.【详解】由已知的：，则，因为，且，如图：则，即，则实数m的取值范围为.故答案为：12．（2021·全国·高一期中）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】当时，，此时符合题意；当时，，求出再与集合进行交集运算，根运算的结果列不等式，解不等式即可求解.【详解】当时，，解得：，此时，，符合题意；当时，，解得，因为集合，，所以或，因为，所以，解得：，所以时，，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.题型五：集合的应用13．（2023上·内蒙古·高一校联考期中）某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．【答案】【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案.【详解】这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．故答案为：.14．（2023上·山西朔州·高一校考期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是.【答案】10【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可.【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人，只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图，则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为人，故答案为：1015．（2023上·山西朔州·高一校考期中）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中；；.

【答案】9810【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可.【详解】由题意得，则，解得，故答案为：9，8，10题型六：充分条件和必要条件16．（2024上·四川雅安·高一校考期末）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【分析】由充分条件与必要条件的性质即可得.【详解】当时，，当时，有、，可使，但不符合甲，故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A.17．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由基本不等式求的最小值，再由充分条件和必要条件的定义判断结果.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.若，则，即的最小值大于5，反之亦成立．则“”是“的最小值大于5”的充要条件.故选：A18．（2024上·辽宁葫芦岛·高一葫芦岛第一高级中学校考期末）是函数且在是减函数的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】令，，图象的对称轴为直线，判断在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，进而得到不等式组，求出的范围，利用逻辑推理判断选项.【详解】令，，则图象的对称轴为直线，所以在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，则，解得,故，则是函数且在单调递减的必要不充分条件.故选：B题型七：全程量词和存在量词19．（2024上·云南昆明·高一统考期末）设命题p：，则的否定为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法求得结果.【详解】含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，故的否定为：，故选：C.20．（2024上·吉林·高一统考期末）已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析得，，分和讨论即可.【详解】由题意得命题的否定为真命题，即，，当时，恒成立，当时，则有，解得，综上，的取值范围为.故选：D.21．（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解.【详解】解：因为命题p“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，令，其对称轴为，当，即时，，解得，此时；当，即时，，解得，此时无解；当，即时，，即，此时，综上：实数a的取值范围是，故选：B题型八：集合和逻辑用语的综合22．（2024上·上海·高一校考期末）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为；（2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为；【详解】（1）解不等式可得，显然若，可得或，解得或，即实数的取值范围为；（2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集；可得，解得，因为不等式两端等号不会同时成立，所以实数的取值范围为.23．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求实数a的值组成的集合；(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知；（2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求.【详解】（1）因为，由，知，则或或，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以的取值集合为．（2）由题意得，，故，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，于是，解得：，经检验符合条件，综上，实数m的取值范围是．24．（2024上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；（2）根据已知可推得A，分以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】（1）解可得，或，所以，或.当时，，所以或.（2）由“”是“”的必要不充分条件，所以，.又或，.当，有，即，显然满足；当时，有，即.要使A，则有或，解得或.综上所述，或.【强化精练】一：单选题25．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合，又因为，可得.故选：B.26．（2024上·四川雅安·高一校考期末）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定为，.故选：B27．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知：，：方程有实数根，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由方程有实数根，则满足，解得，所以是方程有实数根的充分不必要条件，即是的充分不必要条件.故选：A.28．（2024上·河北张家口·高一统考期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调递增时a的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案.【详解】在上单调递增等价于函数满足：①在上单调递增，②，即，解得，结合选项可知是的充分不必要条件，故选：D.29．（2023上·全国·高一期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解,注意集合B中元素的互异性．【详解】由题意得，所以由，得，解得且，所以实数的取值范围是.故选:D．30．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）的一个充要条件是（

）A． B．C．， D．，【答案】A【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意；由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件；选项C和D都为的既不充分也不必要条件.故选：A.31．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案.【详解】当时，对任意的恒成立；当时，要使不等式对任意的恒成立，则应有，解得.综上所述，的取值范围为.显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.故选：A.32．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C． D．的关系无法确定【答案】C【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【详解】，有，从而有，进一步，即，所以，，有，从而有，进一步有，即，所以，综上所述，有.故选：C.33．（2023上·四川达州·高一校考期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得存在量词命题的否定，然后根据真假性以及对进行分类讨论来求得的取值范围.【详解】依题意，“，”是假命题，所以“”是真命题，当时，不等式化为恒成立；当时，化为，当时，取得最大值为，所以.当时，化为，当时，取得最小值为，所以.综上所述，的取值范围是.故选：A【点睛】全称量词命题或存在量词命题的否定，要点有两点，一个是之间的转换，另一个是否定结论，而不是否定条件.求解不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.34．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解.【详解】由题意得，所以，因为，所以，所以，所以，，当时，，，此时，当时，，，此时，当时，，此时，综上：，所以，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解.二、多选题35．（2024上·甘肃·高一统考期末）下列叙述中正确的是（

）A．B．若集合是全集的两个子集，且，则C．命题“”的否定是“”D．命题“”的否定是“”【答案】AC【分析】根据集合间的关系可判断选项A，B；根据全称量词命题的否定形式可判断选项C，D.【详解】对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：B错误，可举特例说明，如，则，所以,故B错误；全称量词命题的否定是：，故选项C正确；选项D错误.故选：AC.36．（2024上·云南昭通·高一校考期末）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可.【详解】因为时，，不满足题意，故A错误；若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误；若，则，同时若时，，满足题意，故C正确；当时，则，同时，则满足题意，故D正确，故选：CD.37．（2023上·江苏南京·高一期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断．【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即，由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合.故选：CD.38．（2023上·山东济宁·高一统考期中）下列四个结论中，正确的结论是（

）A．“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B．已知集合，均为实数集的子集，且，则C．，有，则实数的取值范围是D．“”是“”的充分不必要条件【答案】ACD【分析】根据全称量词命题定义可判断A；作出韦恩图结合集合的运算可判断B；根据命题为真列出不等式求解即可判断C；根据充分不必要条件可判断D.【详解】对于A，因为命题中含有量词“所有”，故该命题为全称量词命题，故符合题意；对于B，如图设全集，集合，集合如图所示，根据运算得，故B不符合题意；

对于C，，有成立，则，解得，故C符合题意；对于D，满足的数一定满足，所以充分性满足，而满足的数不一定满足，所以必要性不满足，即“”是“”的充分不必要条件，故D符合题意.故选：ACD.三、解答题39．（2024上·河北张家口·高一统考期末）设不等式的解集为，(1)求集合A；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和指数函数的性质求解即可.（2）分和两种情况进行讨论，求出m的取值范围．【详解】（1），即，，解得，即，所以.（2）因为，①当时，即，解得，满足题意；

②当时，需满足，解得.综上，满足的m的取值范围为.40．（2024上·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集R.(1)求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）解不等式，得到，利用并集和补集的概念进行求解；（2）根据交集结果得到包含关系，由定义域得到，分三种情况，得到不等式的解集，并根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1），解得，故，，故，解得，故，所以，或；（2），故，令，当，即时，的解集为，满足；当，即时，不等式解集为，要想，则，解得，结合，可得；当，即时，不等式解集为，要想，则，解得，结合，可得，综上，实数