专题2.6等腰三角形大题培优专练（压轴篇）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（原卷版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.6等腰三角形大题培优专练（压轴篇）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________解答题1．（2021秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期中）在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB，垂足为D，点P在直线BC上，PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为E，F．

(1)如图①，当P是BC中点时，易证：PE+PF=CD（不需证明）；(2)当P为线段BC上任意一点时，如图②，（1）中结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的结论并证明；(3)当点P在线段BC延长线上时，如图③，直接写出PE,PF,CD之间的数量关系．2．（2023秋·云南昆明·八年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，DH⊥BC于H，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BH=CH，BF=CE．

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，(1)试判断AD、(2)当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．4．（2022秋·安徽阜阳·八年级阜阳实验中学校考期中）已知四边形ABCD中，BC=CD，连接BD．过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

(1)如图1，若DE∥BC，求证：BD与CE互相垂直平分．(2)如图2，连接AC，设BD，AC交于点F，DE垂直平分线段AC．①求∠CED的大小；②若AF=AE，求证：BE=CF．5．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A0,a，点Bb,0，且a，b满足：

(1)求∠ABO的度数；(2)若点M为AB的中点，等腰直角△ODC的腰CD经过点M，∠OCD=90°，连接AD．求证：AD⊥OD．6．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥

(1)若∠B=∠C，求证AB=DC；(2)若E是CD的中点，AB⊥AE，且AB=4，AE=5，求四边形ABCD的面积．7．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）由角平分线不仅可以得到角相等，也可以用来构造全等三角形，其构造思路如下：

在图1中，点P是∠ABC的平分线OC上一点，点M在OA上，我们可以在OB上截取ON=______；连接PN，根据三角形全等判定方法______；构造出全等三角形△OMP≌(1)请补全上面的构造思路；(2)参考上面的思路，解答问题：如图2，在△ABC中，AC>BC，直线MN垂直平分BC，与∠BAC的平分线AE交于D点，连接CD、BD，则∠ABD与∠ACD有何数量关系，说明理由．8．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是BC边上一点，连接AD，以AD为直角边作△ADE，其中∠DAE=90°，

知识初探兴趣小组提出的问题是：“线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案________．类比再探睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，AE交BD于点F，其它条件不变，线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．

特例探究启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若DB平分∠ADE，其它条件不变，他们发现BE=CF．请你写出证明过程．

归纳总结此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是________（填正确选项代码）A．数形结合

B．从一般到特殊

C．归纳9．（2023秋·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC于点H，DM=DN．

(1)在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP．求证：DP=DM；(2)若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积．10．（2021秋·湖北孝感·八年级统考期中）（1）如图1，∠DAE=90°，AD=AE，DC⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为C，F，若DC=3，CF=1，则EF的长为（2）如图2，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，连接AD，AE=AD，且AE⊥AD，连接BE交AC于P．①求证：BP=PE；②若BDDC=2

11．（2020秋·福建厦门·八年级校考期中）概念学习：若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称这个三角形为过该顶点的生成三角形．

(1)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=67.5°，点D在线段(2)若△ABC是过顶点B的生成三角形，∠C是其最小的内角，且BC是其中一个小等腰三角形的底边，∠A是另一个小等腰三角形的底角，请探求∠BAC12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，点E为AD上一点，连接AC，CE，且∠B=∠AEC.

(1)如图1，求证：∠CED=∠CDE；(2)如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求(3)如图3，在（2）的条件下，作直线CE交AB的延长线于点F，过点A作射线AB交CE于点G，且∠G=∠D，若CG=5，AG=7，求AF:CF的值．13．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）如图，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰Rt△ABD与等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、CD，BE和CD相交于点

(1)求证：BE=DC；(2)求∠BOC的大小；(3)连接DE，取DE的中点F，再连接AF，猜想AF与BC的位置关系和数量关系，并证明．14．（2022秋·福建莆田·八年级校考期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B．

(1)如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，猜想线段AB，AC，CD之间有怎样的数量关系？并证明．(2)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想．(3)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明．15．（2023秋·全国·八年级专题练习）△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．(1)如图1，试说明CD=CB的理由；(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．16．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且满足AD=BD=BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF．

(1)求∠BAC和∠ACB的度数；(2)若点E是AB的中点，求证：△ABF是等腰三角形．17．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E．

(1)图1过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：(2)图2，若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=12∠ABC，判断BF、CD18．（2023秋·福建福州·八年级校考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，过点E作AD的垂线，垂足为F，延长EF交AC于G

(1)求证：①∠GEC=∠EAB；②EA=EG；(2)连接DG．①如图2，当DG⊥AC时，试判断BD与CD的数量关系，并说明理由；②若AB=5，△EDG的面积为4，请直接写出△CDG的面积．19．（2023秋·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图所示，

（1）模型的发现：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B，C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．请直接写出（2）模型的迁移1：位置的改变如图②，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，请说明DE，（3）模型的迁移2：角度的改变如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°<α<180°，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．20．（2023秋·全国·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BP平分∠ABC，交AC于点P，点M为BC边上一点，线段AM，BP交于点E．(1)如图1，若AM⊥BC，求证：AE=AP；(2)如图2，若AM⊥BP，连接PM，求证：AP=PM．21．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知在正方形的网格中，点A、B、C、P都在格点上，仅用无刻度直尺完成下列作图．

(1)作图：画出△ABC关于直线AP成轴对称的△ADC；(2)作图：在AD上找一点E，使得PE⊥AD，则PE的长为__________；(3)作图：若PE交CD于点F，在线段BC上找一点G使得∠GAF=∠BAC．22．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°<∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且

(1)如图，当∠ACB=90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；(2)当∠ACB=α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）23．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考开学考试）[探究型问题]（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°，求∠NMB的度数；（2）如图②，如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现了什么规律？试证明你发现的规律；（4）如图③，如果将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，那么对这个问题的规律性认识是否需要修改？请你完整地叙述上述规律．

24．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°．

(1)如图1，P为△ABC外一点，AQ⊥AP交PC延长线于点Q，且AQ=AP，求证：∠APB=45°；(2)如图2，∠BPC=90°，求∠APB的度数．25．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．26．（2023秋·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD=CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．(1)当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF=EF．(2)过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC=4,CF=1，求BH的长是多少？27．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知在△ABC中，∠A=120°,∠B<∠C．过三角形顶点的一条直线将△ABC分割为两个等腰三角形．求∠B的度数．

28．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）已知，如图：△ABC中，BD=DC=AC，AE是△ADC的中线：求证：AB=2AE．

29．（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°

(1)如图1，点D是AC上的一点（