高中数学人教版(A版)必修-第一册(2019)-3.2.1-单调性与最大小值-公开课

第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大（小）值杭州某日0～24时气温曲线图024681012141618202224510152025303540T（℃）(14，36.8）(4，25.1）t(h)观察图像，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？观察图像，说出函数的变化规律.oxyxxf=)(oxyoxy问题1:根据上面的描述,对比函数f(x)=x与f(x)=x2在区间（-∞，+∞）上的变化规律，说出它们的不同点？探究一oxyxxf=)(oxy探究一问题2:请归纳函数f(x)=x,f(x)=2x+1和函数f(x)=x2(x>0)的共同特征.oxy2x+1xf=)(x1f(x1)x2f(x2)xyo试用符号语言表述函数y=f(x)在区间D上是增函数.xf(x1)f(x2)x1x2oy类比增函数的描述方法，试用符号语言表述函数y=f(x)在区间D上是减函数.1.增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为Ｉ：如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)，函数f(x)在区间D上是增函数(increasingfunction).2.减函数：一般地，设函数f(x)的定义域为Ｉ：如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)，函数f(x)在区间D上是减函数(decreasingfunction).3.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.杭州某日0～24时气温曲线图024681012141618202224510152025303540T（℃）(14，36.8）(4，25.1）t(h)问题3：观察图象，说出函数的单调区间，以及在每一个区间上是增函数还是减函数

.02-1xy1431-2-3235探究一判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)定义域为[0,+∞)的函数f(x)，满足f(n)<f(n+1)，n=0,1,2,3,…，则称函数f(x)在[0,+∞)上是增函数．(

)变式：函数f(x)在D

上是增函数，若任意x1,x2∈D，f(x1)>f(x2)，则有x1_____x2

(2)对于定义域内的区间D,若任意x1,x2

∈D,当x1>x2,都有

f(x1)>f(x2),则函数f(x)在D上是增函数.(

)>(3)若任意x1,x2

∈D,都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)],>0,则函数f(x)

在D上是增函数.(

)

例1:用定义证明:函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.探究二

例1:用定义证明:函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.探究二

证明：在区间（-∞，+∞）上任取两个自变量值x1,x2,设x1<x2,取值f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2=2(x1-x2)作差变形∵x1<x2

∴x1-x2<0∴2(x1-x2)<0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<

f(x2)定号∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.

下结论探究三

例2.物理学中的玻意耳定律

是常数且告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强P将增大．试用函数的单调性证明.探究四

“函数在定义域

上是减函数”，这个说法正确吗？并给出理由.

xyo请写出的单调区间________[注意]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．02-1xy1431-2-3235通过观察图1，可以发现二次函数的图像上有一个最高点（0，0）即当一个函数f(x)的图像有最高点时，我们就说函数f(x)有最大值。图102-1xy1431-2-3235通过观察图2，可以发现二次函数的图像上有一个最低点（0，0）即当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值。图2题型一利用图象确定函数的单调区间例1

求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.(2)函数y=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.解题方法（利用图象确定函数的单调区间）一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-为分界线.由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].题型二利用函数的图象求函数的最值

例2

已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].解题方法（用图象法求最值的3个步骤）(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.题型三证明函数的单调性

例3求证:函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1<x2,∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.[跟踪训练三]1.求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．题型四利用函数的单调性求最值例4

已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.

[跟踪训练四]题型五函数单调性的应用例5

已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小.[跟踪训练五]1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.

1.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一