第一章 弹性力学基本理论

第一章弹性力学基础理论1第一章弹性力学基础理论

本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机械结构有限元分析的重要力学理论基础。要求:学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。本章概述21.1弹性力学的基本概念弹性力学（ElasticTheory）弹性力学是一门基础学科，弹性力学是固体力学(solidmechanics)的一个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时,确定其任一点的应力、应变状态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领域的结构分析中,都需要应用弹性力学的基本理论。1.1.1弹性力学及其基本假设31.1.1弹性力学及其基本假设弹性力学与材料力学的区别材料力学弹性力学研究对象几何形状杆状构件杆、板、壳、块、三维体描述方程常微分方程偏微分方程求解难易程度容易困难适用范围窄宽弹性力学与材料力学(StrengthsofMaterials)在研究对象、研究内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大差别。41.1.1弹性力学及其基本假设弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法，为解决工程实际问题开辟了广阔的前景。51.1.1弹性力学及其基本假设

弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。弹性力学的研究对象是理想弹性体，所谓理想弹性体应符合下述的五个假定。61.1.1弹性力学及其基本假设五个基本假设——理想弹性体

（1）连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连续函数来描述。

（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。

71.1.1弹性力学及其基本假设五个基本假设——理想弹性体 （3）均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。 （4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。 （5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。

8（1）外力作用于物体的外力通常可分为两类：面力(SurfaceForce)

体力(BodyForce)

1.1.2外力与内力9

面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(DistributedForce)和集中力(ConcentratedForce)，如压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。 在物体表面P点处取一微小面积

S，假设其上作用有表面力

F，则P点所受的表面力定义为

（1.1）（1.2） 通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即1.1.2外力与内力10

体力(BodyForce)一般是指分布在物体体积内的外力，作用于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小体积

V，假定其上作用有体力

R，则P点所受的体力可定义为一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力，即（1.3）（1.4）1.1.2外力与内力11

物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加”内力。若假想用一经过物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，移去其中的一部分B。显然，在截面mn上必定有某种力存在使A平衡，这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力。（2）内力图1-1物体内任意点处的应力1.1.2外力与内力12

所谓一点处某个截面上的应力(Stress)就是指该截面上的“附加内力”，即应力是内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截面mn上P点处取一微小面积

A，假设作用于

A上的内力为

G，则图1-1物体内任意点处的应力（1.5）T就是P点处的应力。

通常将应力沿截面

A的法向和切向进行分解，相应的分量就是常用的正应力和剪应力。它们满足（1.6）1.1.3应力1.1.3应力13在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。图1-2微小正方体元素的应力状态

如图1-2所示，正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表示。这样，用9个应力分量来表示正方体各面上的应力，即（1.7）其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。应力状态1.1.3应力14

应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。（1.8）剪应力互等定理：

1.1.3应力6个独立的应力分量15

物体在外力作用下，其形状要发生改变，变形(Deformation)指的就是这种物体形状的变化。因此，为了考察物体内某一点处的应变(Strain)，可在该点处从物体内截取一单元体，研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况。对于微分单元体的变形，将分为两部分讨论：

（1）棱边长度的伸长量，即正应变(或线应变,LinearStrain)

（2）两棱边间夹角的改变量（用弧度表示），即剪应变（或角应变,ShearStrain）。

1.1.4应变16在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即相应地，y轴方向的正应变为：x-y平面内的剪应变：（1.9）（1.10）（1.11）(a)x方向的线应变(b))y方向的线应变(c)xy面内的剪应变图1-3应变的几何描述1.1.4应变17因此，剪应变为应变分量的矩阵型式（1.12）（1.13）除了上面的两种应变，还有一种体积应变(VolumeStarin)。体积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变的大小等于三个线应变的和，即（1.14）1.1.4应变181.2应力状态的描述弹性体在外力作用下产生应力场，弹性体内任意一点的应力状态可以用6个应力分量描述。一点的应力状态与所选定的坐标系相关。以下从应力坐标变换、任意截面的应力分解实现对一点的应力状态进行分析，并介绍主应力等概念。191.2.1应力坐标变换图1-4一点附近的坐标系及其旋转变换用一个斜面切过实体，并与三个互相垂直的坐标面相交，就会隔离出关于一点的四面体单元。设轴为斜面的外法线，和与该斜平面相切，，和构成新的直角坐标系。斜面的外法线方向角定义为，和，即轴分别与x，y，z轴的夹角。如图1-4，这些夹角的余弦值定义为轴的方向余弦。分别为：（1.15）三个方向余弦满足如下关系：（1.16）201.2.1应力坐标变换相应地，分别求解，轴的方向余弦，新坐标系三个轴向的方向余弦写成如下矩阵形式

T即为应力变换矩阵。根据静力学平衡条件可知其中，是的转置矩阵。分别为新坐标系和原坐标系下的一点的应力矩阵。（1.17）（1.18）图1-4一点附近的坐标系及其旋转变换211.2.1应力坐标变换例题：

如该坐标系先绕z轴旋转45°，然后再绕新的x轴旋转30°，试确定该点在新的坐标系下的应力矩阵。MPa某一点在xyz坐标系内的应力状态已知，其应力矩阵如下（a）解：对于每一次旋转，都可以通过一系列的坐标变换得到弹性体表面的法线向量，并可将该法向向量分别投影到x,y,z轴，得到三个方向上的向量分量。其中第一次旋转得到的向量分量为221.2.1应力坐标变换（b）=将第一式代入上式，可得第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与坐标的关系如下==（c）231.2.1应力坐标变换将和代入，得到变换矩阵T，为将T代入式(1.18)，解得变换后的应力矩阵MPa241.2.2任意截面上的应力分解图1-5一点的应力状态设平面ABC的外法线为N，而N的方向余弦为cos(N,x)=nx，cos(N,y)=ny，cos(N,z)=nz

（1.19）可见，如果把平面ABC的外法线N作为变换后的任一坐标轴，则上面方向余弦对应变换矩阵的一行。用应力变换的方法可快速求得平面ABC上的正应力（1.20）(1)用坐标变换法求任意截面上的应力25（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力见图1-5，由平衡条件

Fx=0，得即同理，还可得到另外两个相似的方程：该方程称为柯西应力公式（Cauchy’sstressformula）。公式描述了弹性体内任一点P的6个应力分量，与通过P点任一平面上的应力之间的关系。（1.21）（1.22）图1-5一点的应力状态1.2.2一点的应力状态——任意截面上的应力261.2.2一点的应力状态——任意截面上的应力（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力由上述公式很容易求出平面ABC上的全应力：故有（1.23）而平面ABC上的正应力则可通过，，三个分量投影后合成得到，或参考公式(1.20)，即因为全应力与正应力、剪应力之间满足如下关系(见式1.6）（1.24）（1.25）（1.26）271.2.3主应力（1）主应力的定义在过一点的所有截面中，存在着三个互相垂直的特殊截面，在这三个截面上仅有正应力。这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点应力的主方向。由柯西应力公式，可得设一主方向的方向余弦为nx，ny，nz，因为在主平面上没有剪应力，可用代表该主平面上的全应力，则全应力在x,y,z轴的投影可表示为（1.28）（1.27）（1.29）281.2.3主应力将此行列式展开，得到一个关于应力的一元三次方程因为，即不全为0，上述方程组中有非平凡解的条件是其系数矩阵的行列为0，即（1.30）（1.31）可以证明，该方程有三个实根，而这三个根就是P点处的三个主应力。将主应力分别代入（1.28），结合（1.29）式便可分别求出各主应力方向的方向余弦。还可以证明，三个主方向是相互垂直的。291.2.3主应力（2）应力不变量方程式(1.31)中，的系数以及常数项记为定义为第一，第二，第三应力不变量。(1.31)可表示为（1.35）301.2.3主应力一点的应力状态可以用六个直角应力分量组成的矩阵来表示：应力不变量可以用主应力表示成：（1.36）也可以通过选择主坐标作为参考坐标，用主应力组成的矩阵来表示：311.2.3主应力（3）摩尔圆弹性体内任一点的应力状态可以用摩尔圆来表示，一点的应力状态的具体值在阴影区域表示。主应力按代数值排列，以和为坐标轴的横轴和纵轴，沿着轴标记出和，接着画三个圆，直径分别为(),()和(),如图1-6所示图1-6应力摩尔圆用摩尔圆图形可显示任一可能截面上的应力，如图1.6阴影区，这个阴影区叫做摩尔应力的π平面，这三个圆就叫作摩尔圆。从图中可以得出以下结论：（1）主应力用图上点A，B和C来表示，这些点相应的剪应力为0。（2）最大剪应力为，对应的正应力为，可用图上D点表示。（3）对于正应力有三个极限值和所对应的平面叫主应力平面，主剪应力有（1.38）321.3平衡微分方程一般情况下物体内不同的点将有不同的应力。各点的应力分量都是点的位置坐标（x,y,z）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，即平衡微分方程。这是弹性力学基础理论中的一个重要方程式。图1-7微小单元体的应力平衡根据平衡方程，有，整理得（1.39）（1.40）331.3平衡微分方程同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即（1.41）（1.42）341.3平衡微分方程展开这个式子，略去四阶微量，整理后得到或同理，得和将上面三个式子联立，得到任意一点处应力分量的另一组关系式这个结果表明：任意一点处的六个剪应力分量成对相等，即剪应力互等定理

为便于表示，一点的九个应力分量写成应力列阵，（1.43）（1.44）（1.45）351.4几何方程弹性体受到外力作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫做Cauchy几何方程(GeometricalEquations)。从物体内P点处取出一个正方微元体，其三个棱边长分别为dx、dy、dz，如图1-8所示。当物体受到外力作用产生变形时，不仅微元体的棱边长度会随之改变，而且各棱边之间的夹角也会发生变化。为研究方便，可将微元体分别投影到三个坐标面上。图1-9为投影到xoy面的情况。图1-8微元体图1-9位移与应变361.4几何方程据此，可以求得根据线应变（正应变）的定义，AB线段的正应变为因，故由上式可得代入(1.46）式，得由于只是微小变形的情况，可略去上式中的高阶微量（即平方项）。当微元体趋于无限小时，AB线段的正应变就是P点沿x方向的正应变。用同样的方法考察AD线段，则可得到P点沿y方向的正应变。（1.46）（1.47）（1.48）（1.49）371.4几何方程式中与1相比可以略去，故现在再来分析AB和AD两线段之间夹角（直角）的变化情况。在微小变形时，变形后AB线段的转角为同理，