七道数学极限计算习题C1

七道数学极限练习题及计算过程1.计算eq\s(lim,n→∞)eq\f(13n²-12,3n⁴+10n-5).解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。eq\s(lim,n→∞)eq\f(13n²-12,3n⁴+10n-5),分子分母同时除以n⁴，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(\f(13,n)-\f(12,n⁴),3+\f(10,n³)-\f(5,n⁴))=0。2.计算eq\s(lim,n→∞)eq\f(36n-11n-10,7+19n-48n²).解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：eq\s(lim,n→∞)eq\f(36n-11n-10,7+19n-48n²)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(36-\f(11,n)-\f(10,n²),\f(7,n)+\f(19,n)-48)=eq\f(36-0,0-48)=-eq\f(3,4)。思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：eq\s(lim,n→∞)eq\f(36n-11n-10,7+19n-48n²)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(72n-11,19-96n)，继续使用罗必塔法则，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(72-0,0-96)，=-eq\f(3,4)。3.求极限eq\s(lim,x→1)eq\f(x³-19x+18,x⁴-34x+33).解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：eq\s(lim,x→1)eq\f(x³-19x+18,x⁴-34x+33)=eq\s(lim,x→1)eq\f((x-1)(x²+x-18),(x-1)(x³+x²+x-33)),=eq\s(lim,x→1)eq\f(x²+x-18,x³+x²+x-33),=eq\f(1+1-18,1+1+1-33)=eq\f(8,15)。4.求eq\s(lim,x→0)eq\f(3x+8sin2x,18x-18sin5x).解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx,x)=1应用计算而得，则：eq\s(lim,x→0)eq\f(3x+8sin2x,18x-18sin5x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(3+8\f(sin2x,x),18-18\f(sin5x,x))，=eq\s(lim,x→0)eq\f(3+16\f(sin2x,2x),18-90\f(sin5x,5x))，=eq\f(3+16,18-90)=-eq\f(19,72)。思路二：使用罗必塔法则计算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(3x+8sin2x,18x-18sin5x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(3+8*2cos2x,18-18*5cos5x)，=eq\f(3+8*2,18-18*5)=-eq\f(19,72)。5.求eq\s(lim,x→∞)eq\f(x²sin\f(1,x),11x+38).解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)eq\f(sinx,x)=1，则：eq\s(lim,x→∞)eq\f(x²sin\f(1,x),11x+38)=eq\s(lim,x→∞)eq\f(xsin\f(1,x),\f(11x+38,x))=eq\s(lim,x→∞)eq\f(\f(sin\f(1,x),\f(1,x)),11+\f(38,x)),=eq\f(1,eq\s(lim,x→∞)11+\f(38,x))=eq\f(1,11)。6.求eq\s(lim,x→0)eq\f(sin47x-sin23x,sin12x).解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin47x-sin23x,sin12x)=eq\s(lim,x→0)eq\f(2cos35xsin(12x),sin12x),=eq\s(lim,x→0)2cos35x=2cos0=2。思路二：使用罗必塔法则计算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin47x-sin23x,sin12x),=eq\s(lim,x→0)eq\f(47cos47x-sin23cos23x,12cos12x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(47-23,12)=2。7.求eq\s(lim,x→0)(1+11x)eq\s\up15(\f(6,x))。解：本题主要通过使用重要极限公式eq\s(lim,x→0)(1+x)eq\s\up15(\f(1,x))=e计算