高考数学一轮复习试题第2节 两条直线的位置关系

第2节两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是()A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)答案AC解析设B(x，y)，根据题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(（x－3）2＋（y－3）2)＝\r(（0－3）2＋（4－3）2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，))所以B(2，0)或B(4，6).3.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A.1 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D.2答案B解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为eq\r(2).4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.答案－9解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.5.(2020·上海卷)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为________.答案eq\r(2)解析直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，当l1∥l2时，a2－1＝0解得a＝±1.当a＝1时，l1与l2重合，不满足题意；当a＝－1时，l1∥l2，则l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，则l1与l2的距离为d＝eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).6.(2022·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝________.答案－4解析∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－eq\f(a,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.考点一两直线的平行与垂直1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则eq\f(1,n)＝eq\f(m,1)≠eq\f(－1,1)，∴mn＝1，充分性成立.而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.2.(2021·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是()A.3或－3 B.3或4C.－3或－1 D.－1或4答案A解析∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.答案4x－3y＋9＝0解析法一由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9))).因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝eq\f(4,3).由点斜式得所求直线方程为y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.法二由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.法三由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是()A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3B.若l1∥l2，则m＝3C.若l1⊥l2，则m＝－eq\f(1,2)D.若l1⊥l2，则m＝eq\f(1,2)答案BD解析若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq\f(1,2)，故C不正确，D正确.感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两直线的交点与距离问题例1(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，则两直线平行)∴交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).(2)(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.答案[0，10]解析由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10].(3)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是________.答案2或－6解析由题意得eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由两平行线间的距离公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.训练1(1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)))解析联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋2k＋1＝0，,2x＋y－2＝0，))解得x＝eq\f(1－2k,2＋k)，y＝eq\f(2＋6k,2＋k)(k≠－2).∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，∴eq\f(1－2k,2＋k)>0，且eq\f(2＋6k,2＋k)>0，解得－eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2).(2)(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0答案BD解析设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考点三对称问题角度1点关于点对称例2过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度2点关于线对称例3已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.答案6x－y－6＝0解析设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.角度3线关于线对称例4直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.答案x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.感悟提升(1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.(3)求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.训练2已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.解(1)设A′(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))即M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考点四直线系方程的应用角度1平行、垂直直线系例5(1)与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程为________.答案3x＋4y－11＝0解析由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11，因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.(2)经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________.答案x－2y＝0解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.角度2过两直线交点的直线系例6已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝eq\f(3,4)，所以直线l的斜率k＝－eq\f(4,3)，方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.感悟提升几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.训练3求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线距离相等，可得eq\f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))＝eq\f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝eq\f(29,35)或λ＝eq\f(1,3)，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.1.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()A.eq\f(1,a) B.aC.－eq\f(1,a) D.－eq\f(1,a)或不存在答案D解析设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－eq\f(1,a)；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为－eq\f(1,a)或不存在.2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为()A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7答案D解析过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7.3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为()A.eq\f(12,5) B.3 C.eq\f(29,10) D.4答案C解析因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).4.(2021·石家庄调研)若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A.－12 B.－2 C.0 D.10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，∴垂足坐标为(1，－2).又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.5.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为()A.(3，4) B.(4，5)C.(－4，－3) D.(－5，－4)答案D解析设点A(a，b)，∵点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)＋3＝0，,\f(b－2,a－1)×（－1）＝－1，))解得a＝－5，b＝－4，则点A的坐标为(－5，－4).6.(2022·广州质检)过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为()A.4x＋y－6＝0或x＝1B.3x＋2y－7＝0C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0D.3x＋2y－7＝0或x＝1答案C解析若A，B位于直线l的同侧，则直线l∥AB.∵kAB＝eq\f(3＋5,2－4)＝－4，∴直线l的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，－1)，∴kl＝eq\f(2－（－1）,1－3)＝－eq\f(3,2)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.综上，直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.7.(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是()A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C.直线l过定点(0，1)D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等答案AC解析对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，不正确.8.(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l：eq\r(3)x－y＋1＝0，则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角是eq\f(π,6)B.若直线m：x－eq\r(3)y＋1＝0，则l⊥mC.点(eq\r(3)，0)到直线l的距离是2D.过(2eq\r(3)，2)与直线l平行的直线方程是eq\r(3)x－y－4＝0答案CD解析对于A，直线l：eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝tanθ＝eq\r(3)，故直线l的倾斜角是eq\f(π,3)，故A错误；对于B，因为直线m：x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq\f(\r(3),3)，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点(eq\r(3)，0)到直线l的距离d＝eq\f(|\r(3)·\r(3)－0＋1|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝2，故C正确；对于D，过(2eq\r(3)，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，整理得：eq\r(3)x－y－4＝0，故D正确.9.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________.答案3x＋4y＋5＝0解析在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.10.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.答案x＝2或4x－3y－5＝0解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此时A到直线l的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由点到线的距离公式得d＝eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq\f(1,2).所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.11.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，则点A的坐标为________，点C的坐标为________.答案(－1，0)(5，－6)解析由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以点A的坐标为(－1，0).又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是∠A的平分线，所以kAC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1).①又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率kBC＝－2，所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1).②解①②组成的方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，))即点C的坐标为(5，－6).12.设光线l从点A(－4，eq\r(3))出发，经过x轴反射后经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，则光线l与x轴的交点为________，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.答案(－1，0)－eq\r(3)解析点A(－4，eq\r(3))关于x轴的对称点为A′(－4，－eq\r(3))，则直线A′B：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)与x轴交于点(－1，0)，所以光线l与x轴的交点为(－1，0).由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1，0)，得出折射光线所在直线方程为y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)，所以纵截距为－eq\r(3).13.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()A.eq\f(34,5) B.eq\f(36,5) C.eq\f(28,3) D.eq\f(32,3)答案A解析令A(0，2)，B(4，0)，C(7，3)，D(m，n).根据题意，得折痕为A，B的对称轴，也是CD的对称轴.AB的斜率为kAB＝－eq\f(1,2)，其中点为(2，1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，∴kCD＝eq\f(n－3,m－7)＝－eq\f(1,2)，①∵CD的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋7,2)，\f(n＋3,2)))，∴eq\f(n＋3,2)－1＝2eq\b\lc