2022-2023学年海南省琼海市高一年级下册学期5月期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年海南省琼海市高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．设全集为，集合，，则等于（

）A． B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【答案】C【分析】先算出，再算出即可．【详解】解：因为全集为，集合，所以：＝{1，3，5，6}，∴＝{2，4，7}.故选：C．【点睛】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用由复数的乘法法则计算即可得出答案.【详解】故选：A3．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零求解即可【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故选：C4．若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得.联立方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，.由可得，.故选：B.5．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，得出三角形是直角三角形，求出两直角边的长，再计算三角形面积即可求解.【详解】由直观图作出原图如图所示：直观图中：是等腰直角三角形，，所以在原图中，，，且，所以原三角形面积是，故选：B6．若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出长方体的体对角线长，即可得出球的半径，根据面积公式，即可得出答案.【详解】设球的半径为，由已知可得，长方体的体对角线长为，所以，，所以，球的表面积为.故选：A.7．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【详解】依题意在上的投影向量为.故选：A.8．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（

）A． B．2 C．0 D．5【答案】D【分析】由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和，可求得结果.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，所以的周期为6，所以，故选：D二、多选题9．已知复数：，则（

）A． B．的虚部为C．的共轭复数为 D．是方程的一个根【答案】ACD【分析】化简求出，根据复数的概念可判断A、B、C，代入化简可判断D.【详解】对于A，，所以，故A项正确；对于B，由A可得，，的虚部为，故B项错误；对于C，由A可得，，的共轭复数为，故C项正确；对于D，由A知，，则，所以是方程的一个根，故D项正确.故选：ACD.10．在中，内角A、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若点为的重心，则D．若点为的重心，则【答案】AC【分析】根据余弦函数的单调性以及余弦函数在各个象限的符号，即可判断A项；根据正弦定理，即可判断B项；作图，根据向量加法的几何意义，以及重心的结论，即可判断C项；假设成立，由结论出发得出的点位置与已知无关，即可判断D项.【详解】对于A项，若都为锐角，根据余弦函数的单调性可知，成立；若为钝角，为锐角，则有.综上所述，，故A项正确；对于B项，若，则，根据正弦定理可知，，故B项错误；对于C项，如图1，设为的中点，以为邻边构造平行四边形.

由已知可得，，，所以.根据向量加法的法则可知，.又方向相反，且，所以，所以，，故C项正确；对于D项，假设点为的重心，则成立.由可得，，所以.同理可得，，.所以，点为的垂心，与重心无关，故假设不正确，故D项错误.故选：AC.11．如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（

）

A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形C．当时，为六边形D．当时，的面积为【答案】ABD【分析】对于A、B，延长交于点，连接并延长交于，连接.即可得出截面形状，判断A、B；对于C项，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，即可得出截面形状；对于D项，作出截图，求出平行四边形的边长与夹角，根据面积公式，即可得出答案.【详解】对于A，如图1，延长交于点，连接并延长交于，连接.

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，则四边形即为所求截面，故A项正确；对于B项，如图2，延长交于点，连接并延长交于，连接.

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为分别为的中点，所以.又，所以点与点重合，所以，截面即为梯形.又，，，所以，，所以，所以，截面四边形为等腰梯形，故B项正确；对于C项，如图3，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，交于点，连接.

可知，截面为五边形，故C项错误；对于D项，如图4，截面即为四边形.

易知.又，在中，，所以，，所以，的面积为，故D正确.故选：ABD.12．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（

）

A． B．是等边三角形C．平面平面 D．二面角的正切值为【答案】ABD【分析】利用面面垂直的性质定理易证平面，从而可知，可判断A；利用勾股定理可求得，从而可判断B；作出平面与平面的二面角的平面角，利用平面，可知为直角，因此不是直角，从而可判断C；作出二面角的平面角，设为，可求得，从而可判断D.【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，为的中点，，又平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故A正确；由A知，平面，平面，，又，由勾股定理得：，又，是等边三角形，故B正确；

为等腰直角三角形，取斜边的中点，则，又为等边三角形，连接，则,为平面与平面的二面角的平面角，由平面可知，为直角，因此不是直角，故平面与平面不垂直，故C错误；

由题意知，平面，过点作于点，连接，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确;故选：ABD.三、填空题13．已知，则.【答案】【分析】由，再利用二倍角公式计算出结果.【详解】.故答案为：14．已知一个正方体与一个圆柱的高度均为1，且正方体的表面积与圆柱的侧面积相等，则圆柱的体积为.【答案】【分析】设圆柱底圆半径为r，由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等求得r，由体积公式即可求【详解】设圆柱底圆半径为r，由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等得，故，故圆柱体积为.故答案为：四、双空题15．如图，在正方体中，为中点，则与平面所成角的大小为；CD与AE所成角的余弦值为.【答案】45°【分析】由CD⊥，得是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的大小；由CD∥AB，得∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），由此能求出CD与AE所成角的余弦值．【详解】在正方体中，E为中点，∵CD⊥，∴是与平面所成角，∵CD＝，CD⊥，∴＝45°，∴平面与平面所成角的大小为45°；∵CD∥AB，∴∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），∵AB⊥，在中不妨设AB＝2，则，∴CD与AE所成角的余弦值为．故答案为：45°；．五、填空题16．已知函数，则函数在上的单调减区间为.【答案】【分析】化简函数，再由，可得，令即可求出答案.【详解】，当时，，因为在区间所以令，解得，所以函数在上的单调减区间为.故答案为：六、解答题17．若平面向量满足.(1)求与的夹角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，由平面向量的数量积运算，求得，即可求解；（2）根据，利用平面向量的数量积公式，即可得结果.【详解】（1）解：由题意，向量，可得，即，所以，又由，所以．（2）解：向量且，可得.18．在中，角A、、所对的边为、、，.(1)求角的大小；(2)若面积为，周长为5，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角整理可得出，然后根据的范围，即可得出答案；（2）根据面积公式得出，进而即可根据余弦定理得出答案.【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得，.又，代入整理可得，.因为，所以.又，所以.（2）由及可得，.又周长为5，则，所以.根据余弦定理可得，，整理可得，.19．如图，正三棱柱中，，，是延长线上一点，且.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据三棱柱的性质，可以证出，结合线面平行的判定定理可以证出直线平面；（2）过作于，利用面面垂直的性质定理，可得平面，即等于点到平面的距离．利用等边三角形计算出的长为，结合三角形的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥的体积．【详解】解（1）因为，且又四边形是平行四边形，可得.又，所以.（2）过作于，又，则且又，所以，即为点到平面的距离.因为正三角形中，，所以三棱锥的体积.【点睛】本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．20．如图，在三棱锥中，底面．(1)求证：平面平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直.（2）利用几何法找线面角，然后在三角形中求正弦值.【详解】（1）底面．又ACB=，；又平面，又平面，∴平面（2）取PC的中点O，连接AO、BO；又∵平面平面且交线为，平面，直线AB在平面PBC中的射影为OB，为AB与平面PBC所成的角在直角中，AB=，，21．如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4.(1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；(2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22，BC=16，求假山的高度（精确到0.1）.附：.【答案】(1)4.2m(2)4.3m【分析】（1）令假山的高度为.根据正弦定理求得，再根据即可求解；（2）根据余弦定理求得，则，再根据即可求解.【详解】（1）令假山的高度为.由题意可知，，则，根据正弦定理可得，，即，所以，而，所以故假山的高度大约为4.2m.（2）根据余弦定理，可得，则，所以故假山的高度大约为4.3m.22．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点