新高考数学通用版总复习一轮课件第五章第3讲等比数列

第3讲等比数列1.等比数列的定义公比

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示. 2.等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3.等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，则G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质

(4)已知等比数列{an}， ①若首项a1>0，公比q>1或首项a1<0，公比0<q<1，则数列{an}单调递增； ②若首项a1>0，公比0<q<1或首项a1<0，公比q>1，则数列{an}单调________；递减③若公比q＝1，则数列{an}为常数列；④若公比q<0，则数列{an}为摆动数列.a1(1－qn)5.等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn.当q＝1时，Sn＝________；na1当q≠1时，Sn＝1－q＝________.a1－anq

1－q

6.等比数列前n项和的性质

若q≠－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n

仍是等比数列.题组一走出误区1.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下列数列中)一定是等比数列的有(定为同一个常数，即{lgan}不一定为等比数列，故C错误； 若an＝(－1)n为等比数列，公比－1，则Sn

有可能为0，不一定成等比数列，故D错误.

故选AB.

答案：AB题组二走进教材

2.(必修5P54A组第8题改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.

解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.

答案：12，483.[必修5P68B组第1(2)题改编]设等比数列的前n项，前

2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则()A.A＋B＝CC.(A＋B)－C＝B2B.B2＝AC

D.A2＋B2＝A(B＋C)

解析：等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则(B－A)2＝A(C－B)，∴A2＋B2＝AC＋AB，故选D.

答案：Da3＝12，a6－a4＝24，则＝(－2n－11－n－1题组三真题展现4.(2020年全国Ⅱ)记

Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－Sn)n－1－21－nan解析：设等比数列的公比为q，答案：B5.(2020年全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()

解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，

a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2， 因此，

a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝

q5＝32.故选D.

答案：D考点1等比数列的基本运算自主练习

1.(2018年全国Ⅰ)记

Sn

为数列{an}的前n项和，若Sn

＝2an＋1，则S6＝____________.

答案：－63

2.(2016年全国Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.

解析：方法一，设等比数列{an}的公比为

q，方法二，设等比数列{an}的公比为q，

所以当

n＝3或

n＝4时，a1a2…an最大，最大值为26＝64.答案：643.(2019年全国Ⅰ)记

Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝4.(2020年全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(

)解析：在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴an＋1

an＝2，

∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，答案：C

5.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn

是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(

)A.q＝2B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lgan}是公差为2的等差数列解析：∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q为整数，∴a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12，

∴Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； 而lgan＝lg2n＝nlg2，故数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故D错误.故选ABC.

答案：ABC

【题后反思】在解决等比数列问题时，已知a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和q是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法.考点2等比数列的基本性质及应用师生互动[例1](1)(2019年江西新余模拟)已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝()A.±64

解析：因为a2＝2，a6＝8，所以由等比数列的性质可知a2a664.故选B.

答案：B(2)等比数列{an}的前

n项和为

Sn，S2＝7，S6＝91，则

S4为为()D.28或－21

解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得

S4＝28或

S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.故选A.

答案：A(3)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5

的值为()答案：A

【题后反思】(1)解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，再考虑基本量法.

(2)等比数列前n项和的性质：若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比数列.【考法全练】(2020年押题导航卷)等比数列{an}的各项均为正数，且

a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()＋log35

解析：由等比数列的性质可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.

a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9.则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a10)5＝5log39＝10，故选B.

答案：B考点3等差与等比数列的混合运算多维探究

[例2](2017年全国Ⅰ)记

Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.

解：(1)设{an}的公比为q，故{an}的通项公式为

an＝(－2)n.

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.

【题后反思】从近几年的高考试题分析，对等差(比)数列的性质的考查每年必考，通常是一题中等差、等比同时考查，这就要求我们要熟练掌握等差、等比的概念、通项公式、前n项和公式及其性质.【考法全练】答案：D⊙转化化归思想在数列中的应用

【策略指导】本题考查了数列的递推关系的运用，考查了等比数列的通项公式，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

【高分训练】

设

Sn是数列{an}的前

n项和，且

a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，则Sn＝__________.

解析：∵(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn.一个推导：等比数列的前n项和的推导方法是错位相减法.

两条性质：(1)在等比数列{an}中m＋n＝p＋q⇔am·an＝ap·aq.

(2)等比数列{an}的前

n项和为

Sn，若

Sm≠0，则

Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列.四种方法：等比数列判定的四种方法：(1)定义法：an＋1

an＝q(q为非零常数).

(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均为非零常数，n∈N*). (4)前n项和公式法：Sn＝A－A·qn(k、q为常数k≠0，q≠0，1). (注：(1)(2)可用于证明，(3)只能用于选择题、填空题中的判断)四点