气象统计方法第七章主分量分析课件

气象统计方法主讲：温娜南京信息工程大学大气科学学院2014年9月本课件主要参考南信大李丽平老师的课件气象统计方法主讲：温娜南京信息工程大学本课件主要参考南信大第七章主分量分析/经验正交函数分解（EOF）第七章主分量分析/经验正交函数分解（EOF）重点掌握：1）EOF方法原理2）EOF方法在分析气象问题中的应用。重点掌握：一、引言

经验正交函数（EOF）方法最早由统计学家pearson在1902年提出，由Lorenz[1]（1956）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作中得到广泛应用（Craddock，1969[2]；Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。一、引言

近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方法。

EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF二、主分量分析

主分量分析是把随时间变化的气象要素场分解为空间函数部分和时间函数部分。空间函数部分概况场的地域分布特点，这部分不随时间变化；而时间函数部分则由空间点的线性组合构成，称为主分量，一般前几个主分量可以解释原有空间场总方差的很大一部分。二、主分量分析主分量分析是把随时间变化的气两个变量的主分量如图所示我们所分析的气象要素场仅有两个空间点

y1y2x1x2两个变量的主分量如图所示我们所分析的气象要通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的变化代替原场两个变量的主要变化情况。通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的主分量导出依据上例，我们希望以原变量组成一个新变量

（7.1）使它具有极大方差，即

极大（7.2）主分量导出依据上例，我们希望以原变量用（4.1）式带入（4.2）有=（4.2）模型的极大值问题转化为的极值问题。为了不同变量相互比较，对新变量中的线性组合系数通常还需加上约束条件用（4.1）式带入（4.2）有在上面条件下，问题转变成求下面函数的极值问题根据微积分学求极值有在上面条件下，上面线性方程组等价于其中S为x1和x2的协方差阵，I为单位阵，V为（v1,v2）的组合向量。

如果V有非零解，必须使

上式是矩阵S的特征多项式，因此问题就转化为求矩阵S的特征值及其对应特征向量的问题。上面线性方程组等价于因S的秩有两个，故它有两个非零特征值及其对应特征向量：由此，可得到例中两个新变量：因S的秩有两个，故它有两个非零特征值及其对应特主分量性质1、主分量的方差与它所对应的特征值相等

以第一个主分量为例，说明这一性质

（7.4）上面第一式乘

，第二式乘相加，整理得于是：

主分量性质1、主分量的方差与它所对应的特征值相等2.不同主分量之间是无关的、相互独立的

证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为零即可。

根据（7.4）式，y1和y2的协方差可写为由，得证2.不同主分量之间是无关的、相互独立的主分量的几何意义如果把x1,x2变量第i个样品看成2维因子空间中的一个点,主分量中第i个样品也可以看成是新变量空间中的一个点，那么它们可以看成是由因子空间作线性变换的一个结果，即其中

，转化矩阵主分量的几何意义如果把x1,x2变量

主分量也可以看成由原变量组成的坐标系旋转变换的结果，新变量y1,y2与原变量的变换关系式可写为对例中坐标旋转角。寻找主分量原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投影有极大方差。主分量也可以看成由原变量组成的坐标系旋转变气象统计方法第七章主分量分析课件多个变量的主分量

如果我们要研究对象是某一气象要素场，场中有个空间点，样本容量。由这变量线性组合成一个新变量：则（7.6）式

还可以写

（7.7）其中

（7.6）多个变量的主分量如果我们要研究对象是某一气象要素气象统计方法第七章主分量分析课件主分量导出我们希望主分量有极大方差，即

（7.8）将新变量带入（7.8）式，其中

主分量导出我们希望主分量有极大方差，即

在条件下的极值问题，转化为求的极值问题，即有整理得。要使V有非零解，必须由于S为mxm的协方差阵，设它的秩为m，则它有m个非零特征值及其对应的m个特征向量

在条件下的极值问主分量的性质1.各主分量的方差分别与原m个变量的协方差的特征值相对应。原场m个变量方差和等于其对应协方差特征值之和主分量的性质1.各主分量的方差分别与原m个变量的协方差的特第K个主分量解释方差：前P个主分量累积解释方差：第K个主分量解释方差：2.主分量之间是正交的，彼此无关。2.主分量之间是正交的，彼此无关。三、EOF分析方法原理将某气候变量场的观测资料以矩阵形式给出m是空间点，n是时间序列长度。三、EOF分析方法原理将某气候变量场的观测资料以矩阵形气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函数Z和空间函数V两部分,即或

含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以看作是m个空间函数和时间函数的线性组合。气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函数Z和空间函其中，

是第j个典型场，只是空间的函数。其中，第t个空间场可表示为或者第t个空间场可表示为

上式表明，第t个场可以表示为m个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。

上述分解要求满足下列两个条件：上式表明，第t个场可以表示为m个空间典型场性质性质分解方法

A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有或者分解方法

V的列就是A的特征向量，是A的特征值组成的对角矩阵。即Z就是时间系数矩阵，第i个特征向量对应的时间系数序列的第t个值。V的列就是A的特征向量，是A的特征主分量分析/经验正交函数经验正交函数：主分量分析：主分量分析/经验正交函数经验正交函数：要素场的拟合

其中

是拟合场.可以证明误差要素场的拟合第i个特征向量对X场的贡献率

（解释方差）前p个特征向量对X场的贡献率

（累积解释方差）第i个特征向量对X场的贡献率计算中的时空转换当时，先求出的特征值，然后求的特征向量，这种方法叫时空转换。令的特征值为，其特征向量为，

的特征值也为，其特征向量为计算中的时空转换当转换关系：转换关系：1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平或者标准化距平)；2）由X求协方差矩阵；3）求A的全部特征值、特征向量，h=1~H（通常使用Jacobi法）；计算步骤

1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平或者标准化距平)；计4）将特征值作降序排列，并对特征向量序数作相应变动；

5）根据,h=1~H和X总方差，求出全部、,h=1~H；

6）由X及主要求其时间系数、h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象定；

7）输出主要计算结果。4）将特征值作降序排列，并对特征向量序数H是非0特征值总个数，对实际问题

需要强调的是，第1）步很重要。在大多数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对象。H是非0特征值总个数，对实际问题经验正交函数的物理意义第一特征向量（第一空间典型场）是与n张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是7月份50年实测降水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这50年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。经验正交函数的物理意义第一特征向量（第一空间典型场）是与n张EOF分析实例EOF分析实例例1：现有北京1951-1976年12月~2月气温资料，变量个数m=3,容量=26。对以上资料进行主分量分析。例1：现有北京1951-1976年12月~2月气温资料，变量1.计算变量的协方差阵2.求解实对称阵特征值及特征向量1.计算变量的协方差阵3.计算三个距平主分量4.计