17 勾股定理的逆定理（练习巩固）人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理（练习巩固）一、单选题1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a2．如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（）cm.A．122 B．20C．24 D．283．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个①在△ABC中，若三边长a:b:c=4:5:3，则ABC是直角三角形；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2+c2=b2，则∠C=90°：④在△ABC中，∠A：∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形。A．1 B．2 C．3 D．44．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是（）A． B．C． D．5．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm6．坐标轴上到点P(−1，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点.且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．43 B．23 C．458．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=13S矩形ABCDA． B． C． D．9．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）A．317cm B．10cm C．5510．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝()A．86 B．64 C．54 D．48二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm.12．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为m213．学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！14．如图，直线l：y=﹣43x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为15．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）三、解答题16．如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（3≈1.73，结果精确到0.1）17．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?18．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．四、综合题19．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm.（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度.20．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：（1）如图（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；（2）如图（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？22．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．23．请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的高为5dm，底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为l1，则l路线2：高线AB+底面直径BC.如上图（1）所示：设路线2的长度为l2，则l∵l1∴l∴l1所以要选择路线2较短.（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12路线2：l2∵l12∴l1l2（填>或<）所以应选择路线（2）请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=°，∠D=°（2）在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

参考答案1．【答案】B【解析】解：（A）∵（5）2=5，（3）2+（4）2=7，∴（5）2≠（3）2+（4）2；（B）∵（3）2=3，（2）2+12=3，∴（3）2=（2）2+12；（C）∵（8a）2=64a2，（6a）2+（7a）2=85a2，∴（8a）2≠（6a）2+（7a）2；（D）∵（4a）2=16a2，（2a）2+（3a）2=13a2，∴（4a）2≠（2a）2+（3a）2；故答案选：B2．【答案】B【解析】如图：过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，连接SB，则SB即为最短距离，由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半，SC=1FD=BD=2，∴BC=16(cm)，∴SB=S故答案为：B．3．【答案】C【解析】①因为32+42=25=52，所以在△ABC中，若三边长a:b:c=4:5:3，则ABC是直角三角形，正确；②设三角形三个角为x、y、z，其中x=y+z，则x+y+z=2x=180，所以x=90，因此三角形为直角三角形，正确；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2+c故答案为：C4．【答案】C【解析】7²+24²=25²15²+20²=25²，由勾股定理逆定理得答案C5．【答案】B【解析】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm.故答案为：B.6．【答案】D【解析】解：如图，点P(−1，0)，∴A(−5∴OC=∴C(0故答案为：D7．【答案】C【解析】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）.∴AE＝BF.所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点.根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH.在Rt△ADH中，DH＝AH∴BF+DE最小值为45.故答案为：C.8．【答案】D【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB•h=13AB•AD，∴h=2在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=59．【答案】D【解析】解：沿着上面和棱将A点翻折至A′将容器展开：AAA∵113∴蚂蚁需爬行的最短距离是113故答案为：D10．【答案】C【解析】设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．在图1，可得S1=3a24，S3=3b24，S2=3c2故答案为：C.11．【答案】25【解析】【解答】解：如图所示．∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．12．【答案】24【解析】解：如图，连接AC由勾股定理可知AC=AD又AC2+BC2=52+122=132=AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=12×5×12−113．【答案】4【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，则AB=32少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．故答案为：4．14．【答案】−【解析】解：∵点A1坐标为（﹣3，0），∴OA1=3，∵在y=﹣43x中，当x=﹣3时，y=4，即B1∴由勾股定理可得OB1=32+42=5，即OA同理可得，OB2=253，即OA3=253=3×（53OB3=1259，即OA4=1259=3×（53以此类推，OAn=3×（53）n﹣1=5n−13n−2，即点A当n=2016时，点A2016坐标为（﹣52015故答案为：（﹣5201515．【答案】3【解析】如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=AB2+BC2故答案为：3π16．【答案】解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵∠BAD=30°，BD=120km，∴AB=2BD=240km，根据勾股定理得：AD=AB2−B∵3≈1.73，∴从A到D处需要120330=417．【答案】解：将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面DCHG在同一个平面内,连接AM，如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM=529cm,将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM=537cm,∵25＜529＜537,则需要爬行的最短距离是25cm.18．【答案】解：如图，连接AC，∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，∴AC=32∴S△ACD=6，在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∴Rt△ABC的面积=30，∴四边形ABCD的面积=30-6=24．19．【答案】（1）证明：∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足BD根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB（2）解：设腰长为x，则AD=x−12，由上问可知AD即：(x−12)2+20．【答案】（1）解：如图，连接AC，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∴AB⊥BC（2）解：∠α+∠β=45°．证明如下：如图，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β=45°．21．【答案】（1）解：PQ的长度16×1.5=24(nmile)，PR的长度12×1.5=18(nmile).（2）解：∵RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向（或北偏西45°）航行22．【答案】（1）解：小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）解：①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下：设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为34因为，若边长a为整数，那么面积34所以不存在等边“整数三角形”；②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：23．【答案】（1）25+π2；49；＜；＜；1（2）解：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，∴l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]，当r[（π2-4）r-4h]＜0时，r＜4ℎπ2−4，此时l12＜l22，即l1当r[（π2-4）r-4h]=0时，r=4ℎπ2−4，此时l12=l22，即l1当r[（π2-4）r-4h]＞0时，r＞4ℎπ2−4，此