1.2.2 同角三角函数的基本关系(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.2同角三角函数的基本关系(优秀经典公开课比赛教案)

备课教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、刘世杰、王焕刚、沈良宏教学目标：1.理解同角三角函数的基本关系式，会用解方程组的通法求三角函数值；2.培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；3.培养学生思维的灵活性及思维的深化；4.注意培养学生分析问题的能力，在恒等式证明的教学过程中，提高逻辑推理能力；5.通过对同角三角函数的基本关系式的学习，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养。教学过程：1.复习：单位圆和三角函数线；三角函数定义和勾股定理。教师提出问题，推出学生回答。复习内容包括单位圆和三角函数线，三角函数定义和勾股定理。2.引入同角三角函数的基本关系式的深化理解。教师提问：1.何谓“同角”？2.同角三角函数的基本关系式的作用，它可以用来解决哪些问题？这两个问题是同角三角函数基本关系式的引入和深化理解。同角的概念与角的表达形式无关。当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用同角三角函数关系式和三角函数定义，就可以求出这个角的其余三角函数值。此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。需要注意的是，上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。3.应用举例例1：已知sinα=4/5，且α是第二象限角，求α的其他三角函数值。例2：让学生讨论解决出一个角的其他三角函数值的简单应用，体现分类讨论的思想。4.总结归纳通过本节课的学习，学生可以更好地理解同角三角函数的基本关系式及其功能。当我们知道一个角的某一三角函数值时，可以利用同角三角函数关系式和三角函数定义来求出这个角的其余三角函数值。此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。需要注意的是，上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。例2：已知$\cos\alpha=-\frac{1}{8}$，求$\sin\alpha$、$\tan\alpha$的值。分析：由于$\cos\alpha<0$，所以$\alpha$是第二或第三象限角。因此要对$\alpha$所在象限分类。当$\alpha$是第二象限角时，$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{15}{17},\quad\tan\alpha=-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{15}{8}.$$当$\alpha$是第三象限时，$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\frac{15}{17},\quad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{15}{8}.$$例4：化简$\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\tan\theta-1}$。解：原式$=\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}=\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\cos\theta}}=\cos\theta$。例5：化简$1-\sin440^\circ$。解：原式$=1-\sin(360^\circ+80^\circ)=1-\sin80^\circ=\cos280^\circ=\cos80^\circ$。例6：证明恒等式$\sin\alpha-\cos\alpha=2\sin\alpha-1$和$\tan\alpha-\sin\alpha=\tan\alpha\sin\alpha$。证明1：对于第一个恒等式，$$\sin\alpha-\cos\alpha=2\sin\alpha-1\Longleftrightarrow\sin\alpha=1-\cos\alpha+2\sin\alpha\Longleftrightarrow\sin\alpha=1+\sin\alpha-\cos\alpha.$$由于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，所以$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$。当$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$时，$$\sin\alpha=1+\sin\alpha-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\Longleftrightarrow\sin^2\alpha=4\sin^2\alpha-2\sin\alpha\Longleftrightarrow\sin\alpha(2\sin\alpha-1)=0.$$因此，$\sin\alpha=0$或$\sin\alpha=\frac{1}{2}$。当$\sin\alpha=0$时，$\cos\alpha=\pm1$，代入原恒等式可知不成立。当$\sin\alpha=\frac{1}{2}$时，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原恒等式可知成立。对于第二个恒等式，$$\tan\alpha-\sin\alpha=\tan\alpha\sin\alpha\Longleftrightarrow\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha\Longleftrightarrow\sin\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)=0.$$因此，$\sin\alpha=0$或$\cos\alpha=\sin\alpha$。当$\sin\alpha=0$时，恒等式成立。当$\cos\alpha=\sin\alpha$时，$\alpha=45^\circ+k\cdot180^\circ$，代入原恒等式可知成立。证明2：对于第一个恒等式，$$\sin\alpha-\cos\alpha=(\sin\alpha-1)+(\cos\alpha-1)=2\sin\alpha-1.$$对于第二个恒等式，$$\tan\alpha-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha}=\sin\alpha=\tan\alpha\sin\alpha.$$使用方法教师可以在证明思路和解题规范上给予指导，例如使用等式两边差异来促成统一。对于下面的等式cosα1+sinα=1-sinαcosα，可以采用多种思路进行分析和证明。其中一种思路是将左边的分子和分母都乘以cosx，然后利用公式变形。另一种思路是将左边的分子和分母都乘以1+sinx，以满足右边分子的要求。还可以使用作差法、作商法、乘积式转化为比例式等方法。综合运用这些方法可以得到证明。具体证明如下：1.对于等式sinα-cosα=2sinα-1，可以通过展开左边的式子并化简得到右边，因此等式成立。2.对于等式tanα-sinα=tanαsinα，可以将右边的式子化简得到左边，因此等式成立。3.对于等式cosx/(1-sinx)=cosx/(1+sinx)，可以采用多种证明方法。一种方法是将左边的分子和分母都乘以1+sinx，将右边的分子和分母都乘以1-sinx，然后将式子化简得到左右两边相等。另一种方法是将左边的分子和分母都乘以cosx，将右边的分子和分母都乘以cos2x，然后将式子化简得到左右两边相等。还可以使用作差法、作商法、乘积式转化为比例式等方法。综合运用这些方法可以得到证明。1-sin2xcos2x=cosx(1-sinx)(1-sinx)cosx因为等式左右两边相等，所以原等式成立。证法6：由于(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx，因此cosx(1+sinx)=cosx·cosx/(1-sinx)=cos2x/(1-sinx)。证法7：由于sin2α+cos2α=1，所以cos2x=1-sin2x。因此cosx·cosx=(1-sinx