江苏省南通如皋市2022-2023高三上学期期末数学试卷+答案

202－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合Axx2x3≤0，Bxylogxa，若AB，则实数a的取值范围22为()B．13，C．，1D．，1A．3，2．已知复数z满足1iz3i，则z的虚部为()A．1B．1C．iD．i)3．设等比数列a的前n项和为S，已知a3，S3S，则a(nn1637A．6B．12C．18D．484．已知向量a，b满足ab3，a2baa，则a()A．5B．1C．2D．32csin110.225．设a，b，，则(2)log32A．cbaB．bacπC．cabD．bca6．已知函数fx3sinx0的图象向左平移0个单位长度后与其导函6数yf'x的图象重合，则f的值为()3236A．0B．C．D．227．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，高三数学第1页共6页

如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是()A．8B．10C．11D．13x2y28．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是F，1ab01ab22F，点P是椭圆C上一点，点Q是线段PF靠近点F的三等分点，若OP⊥OQ，则椭圆211C的离心率的取值范围是()12，113，3D．，1A．，1B．C．22222二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有()A．中位数B．平均数C．众数D．标准差10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A：第一次取出的是红球；事件A：第一次取出的是白球；事件B：12取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则()A．事件A，A为互斥事件B．事件B，C为独立事件123D．PCA42C．PB5211．在棱长为1的正方体ABCD－ABCD中，设BPBD，其中01，，则()11111A．PC⊥AD11B．PA与平面ABD所成角的最大值为π3111C．若CD，则平面PAC∥平面A11223D．若△PAC为锐角三角形，则1，高三数学第2页共6页

12．设定义在R上的函数fx与gx的导数分别为fx与g'x，已知fxg3x1，f'x1g'x，且f'x关于直线x1对称，则下列结论一定成立的是()A．fxf2x0B．f'20C．g1xg1xD．g'xg'2x0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．1n的展开式中各二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为_____13．已知2x．xy2pxp0的焦点为F，过F且斜率为214．已知抛物线3直线与抛物线在第一象限交于43，则p_______．点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，若△AMF的面积为x2axax0，≤，恰有三个零点，则实数a的取值范围是_______215．已知函数fxlnxaxx0，．16．在平行四边形ABCD中，AB1，AD5，AB⊥BD，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P－BD－C的大小为120°，则四面体PBCD的外接球的表面积为_____．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．①a2a4S1；②aan12nn1．n1nnn1nn已知S为数列a的前n项和，满足a1，a0，_____．nn1n（1）求数列a的通项公式；n（2）设bScosnπ，求数列b的前2n1项和T．nnn2n1高三数学第3页共6页

18．(本小题满分12分)为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表：不合格合格合计女生男生合计100501203022080150150300（1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由．（2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工311达人”．已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本423学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望E(X)．nadbc2参考公式：，nabcd．2abcdacbd0.0250.0100.0050.001P≥x205.0246.6357.87910.828x0高三数学第4页共6页

19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠ACB的平分线CM与边AB交于点M，且AM＝CM＝1．π（1）若A，求△ABC的面积S；6（2）求AMMCBM的最小值．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，AC＝AB，11111平面ABC⊥平面ABC，M是棱BC的中点．111（1）证明：AC∥平面ABM；113（2）若四棱锥A－BCCM的体积为，求二面角A－BM－C的余弦值．2111C1MA1B1CAB高三数学第5页共6页

21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：x2y4和定点F2，0，P为圆E上的动22点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(－1＜t＜1)的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线x＝t分别交于点G，H．若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值．22．(本小题满分12分)x已知函数fxalnx，gxx1e，其中a为实数．（1）若函数fx，gx的图象在x1处的切线重合，求a的值；（2）若ae，设函数hxfxgx的极值点为x．0求证：①函数hx有两个零点x，x(x＜x)；②3x0xx1．121212高三数学第6页共6页

2022－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．题号12345678答案CABDADBA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABCACDABDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．题1−，0答案8πe四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)【解】（1）选①，a+2a=4S−1，则a+2a=4S−1，22nnnn+1n+1n+1()故a−a+2a−2a=4a，即a−a=2a+a，2222n+1nn+1nn+1n+1n+1nn因a0，a+a0，所以a−a=2为定值，nnn+1n+1n故数列是首项a=1，公差为d=2的等差数列，a1n所以a=2n−1．……5分n111an+1aan+1a选②，因为−=，故−=−，()nnn+1nnn+1n+1nnn+1第1页共10页

a+1a+1a1是常数列，+，故数列nn=所以n+1nn+1na+1a+1==a=2n−12，故n所以n．……5分11n（2）由（1）知a=2n−1，S=n，2nn()故b=ncosnπ=−1n，n22n()()所以T=−1+2−3+4−+−12n−122n−122222n−1()()()()=−1−2+3−4+5−−2n−2+2n−1()()=−1−2+3+4+5++2n−2+2n−1()()2n−22+2n−1=−1−2=−2n+n．……10分218．(本小题满分12分)【解】（1）提出假设H：性别与作品合格与否无关．0300(12050−30100)26.8186.635，150150220802=()当H成立时，≥6.635=0.01，2P0所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关．……5分（2）X的所有可能值分别为0，1，2，3．()1121PX=0==，42312()3121121113PX=1=++=，4234234238()3123111115，PX=2=++=42342342312()3111PX=3==．……9分4238故X的概率分布为XP01231385181212第2页共10页

()135119EX=0+1+2+3=，812……11分1281219所以参赛者在3轮挑战中成功的次数X的数学期望为次．12……12分19．(本小题满分12分)ππ，6=，ACM=所以【解】（1）在△AMC中，AM＝CM＝1．A6又CM是∠ACB的平分线，ππ，6所以ACB2ACM==，BCM=3π，2=−−ACB=故BπAπ在Rt△CBM中，CM＝1，BCM=，613BC=故BM=，，22111333．=+所以△ABC的面积SABBC=1=82222……5分（2）设A=，则ACM=BCM=，CMB=2，B=π−3，所以02π，解得00π−3π，0π，π，3……7分BMCM，=在△CBM中，据正弦定理，得sinBCMsinBsin得BM=CMsinBCMsinB=，sin3sin()=sinπ−3所以AMMC+BM=AMMCcosCMB+BMsinsinsincos2+cossin2=cos2+=cos2+sin3sin=cos2+sincos2+2sinsin211=cos2+=cos2+2cos2+1cos2+2cos22cos2+1+11=−……10分cos2+122第3页共10页

2cos2+1≥211=−cos2+12122−，22cos2+1=11+2时，不等式取等号．cos=，即2当且只当22cos2+11所以AMMC+BM的最小值为−．……12分2220．(本小题满分12分)【解】（1）连接AB交A，B于N，连接MN．1在三菱柱ABC－ABC中，四边形ABBA平行四边形，11111C1M又ABAB=N，所以N是AB中点，111A1B1在△ACB中，M是的BC中点，1111所以MN∥AC，1NC又MN面ABM，AC面ABM，111AB所以AC∥平面ABM．11……5分（2）法一：取BC的中点O，连接OA，OA．1在△ACB中，AC=AB，O为BC的中点，所以AO⊥BC，1111又面ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，1111所以1AO⊥面ABC．……7分在三菱柱ABC－ABC中，四边形ABBA是平行四边形，z11111C1M=1S因为M是棱BC的中点，故S，BCCM1A1113B1MBB13=又VA1−BCCM1，2N11C所以VA1−BMB1=V=，312A1−BCCM1AO11B所以VB−AMB1=，即SAO=，x232AMB11y111=S2113而S=23=，所以AO=3．1222AMB11ABC……9分第4页共10页

以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建OAOBOA1立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，()()()()()故O0，0，0，B0，1，0，A0，0，3，C0，−1，0，M−3，0，3．1()()BA=0，−1，3，BM=−3，−1，3．1所以()设平面1ABM的法向量m=x，y，z，−y+3z=0，，=0，m⊥BAx则即取z=1，得1y=3，⊥−3−+3=0，xyz()m=0，3，1是平面ABM的一个法向量，1所以()同理n=1，0，1是平面BMC的一个法向量，mn=01+30+112=，所以，cosmn=()2+11+0+12222mn40+3A−BM−C的大小为，1设二面角2由图可知，cos=cosm，n=，42所以二面角1A−BM−C的余弦值为．……12分4法二：取BC的中点O，连接OA，OA．1在△ACB中，AC=AB，O为BC的中点，所以AO⊥BC，1111又面ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，1111所以1AO⊥面ABC．……7分z以O为坐标原点，OA，OB，OA所在直线分别为x轴，y1立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，()()()故O0，0，0，B0，1，0，C0，−1，0．()x()设A0，0，h，则M−3，0，h，h0，1()n=x，y，z，设平面BCCM的法向量1第5页共10页

y0，==xh，z=3，n⊥OB，则即−取x=h，得n⊥OM，3xhz0+=，()n=h，0，3是平面BCCM的一个法向量，1所以OAn3h所以点1A到平面BCCM的距离d=1=，+1nh32311()3h3=，所以321+2h+3=，解得h=3，因为V22+h322A1−BCCM1()()故M−3，0，3，n=h，0，3，……9分()同理可得m=0，3，1是平面ABM的一个法向量，1mn=cosm，n=01+30+112所以()2+11+0+12222=，mn40+3角A−BM−C的大小为，1设二面2由图可知，cos=cosm，n=，42所以二面1角A−BM−C的余弦值为．……12分4O，连接OA，OA，OM，过A作AG⊥OM，AH⊥BM，法三：取BC的中点G，H，连结GH．在△ACB中，AC=AB，O为BC的中点，所以1111垂足分别为AO⊥BC，1111C1又面1ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，M111A1B1所以1AO⊥面ABC．……7分H又OA面ABC，所以OA⊥OA．1GC设OA=a，则AA=a+3．21OAB1在等边△ABC中，O为BC的中点，所以OA⊥BC，又OAOA=O，OA，OA面OAA，所以BC⊥面OAA，1111面OAA，所以BC⊥AA，因为AA111在三菱柱ABC－ABC中，AA∥CC，四边形BCCB是平行四边形，1111111第6页共10页

所以四边形BCCB是矩形，CC＝AA＝OM＝a+3，211111()+=3+故四边形BCCM的面积为12a232+3．a212AO⊥ABC因为面，故面，AO⊥ABC11111ABCAO⊥AM又面，所以．AM111111OAAM==3a在Rt△OAM中，AG．111a2+31OM⊥因为面OAA，即面，面OAA，所以⊥OAAMAGM1AG⊥BC，BCBC1111又AG⊥OM，=，OM，BC面BCCM，所以OMBCOAG⊥面BCCM，1111133a3A－BCCM的体积为a+3=，解得a=3，所以四棱锥211322a+326所以AG=1，AB=2，CC=6，BM=BB+MB=7，2221111ABAM=221．1所以AB+AM=BM，AB⊥AM，所以AH=2221711111BMAG⊥面BCCM，BM面BCCM，所以BM⊥AG，1因为111又BM⊥AH，AGAH=A，，AH面AGH，AG1111111所以BM⊥面AGH，1又GH面AGH，所以BM⊥GH，1所以……10分AHG是二面角A−BM−C的平面角．116144A1G=AH2在Rt△AGH中，sinAHG==，1221711所以cosAHG1=1−sin2AHG1=−1=1422．442所以二面角A−BM−C的余弦值为．……12分4121．(本小题满分12分)【解】（1）因为Q在线段PF的中垂线上，所以QP=QF，第7页共10页

故QE−QF=QF−EP−QF=2=2EF=4，所以点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距2c=4，c=2，a=a=1b=c−a=3，且22，，故222y2所以曲线C的方程为x−=1．……5分23()()xmyt（2）设直线l：=+，Mx，y，Nx，y，1122组x=my+t，()联立方程2整理得3m−1y+6mty+3t−3=0，，222y2x−=136mt，y+y=−−3m10，3m−12212()()则且=36mt−43m−13t−30，3t−3．yy=222223m−1122……7分因为F，A，G，H四点共圆，所以HAF+HGF=π，又HAF+TAH=π，所以TAH=TGF，THTF故RtTAHRtTGF，所以，即TATF=THTG，=TATG()()所以1−t2−t=yy．GH()t−1y()yx−11又直线AM：y=x−1，令x=t，得=，yG11x−11()t−1y同理y=H，2x−12()()2(yyx−1x−1yy)(故yy=t−1=t−12()())1212my+t−1my+t−1GH12123t−32()3m−1t1=−m223t−3()−6mt+(t−1)223m−1+mt−13m−1222()()3t+1()=t−1=3t−1=31−t，其中−1t1，2()22−t−1()−=−，解得t=−1，tt3124()()−t2所以1第8页共10页

1−所以实数t的值为．……12分422．(本小题满分12分)()()()，故f'1a，=【解】（1）fx=alnx，x0，f'x=ax()()()()g'1=e，gx=x−1e，g'x=ex，xx()()因为函数fx，gx的图象在x=1处的切线重合，()()f'1=g'1，，解得a=e．故……2分()()f1g1=，()()()()（2）①hx=fx−gx=alnx−x−1e，x0，x()a=−则'xe，其中ae，hxxx()()()a=−−ex+x又''()hx10，故h'x在0，+上单调递减，x2()()据h'1=a−e0，h'a=1−ae0，a()故x1，a，0()()()()且当x0，x时，h'x0，hx在0，x上单