小学数学-图形密铺的再探究教学设计学情分析教材分析课后反思

数学教学与研究《图形密铺的再探究》教学设计【目标确定的依据】1.相关课程标准陈述《数学课程标准》在“总目标”提出：学生能体会数学知识之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。《数学课程标准》在“学段目标”提出：●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形和几何的基础知识和基本技能。●在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，经历与他人合作交流解决问题的过程，能进行有条理的思考，尝试清楚地表达自己的思考过程和结果。●会独立思考，体会一些数学的基本思想。●初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质。核心素养点：抽象思维、推理思维、空间观念学科德育点：理性精神主要体现在独立思考、勇于质疑、探索创新思维严谨主要体现在有理有据、思维缜密两方面2.教材分析本节课的教学内容可以作为四年级数学上册第四单元综合实践课《图形的密铺》的一节延伸课。学生已经知道密铺的特点，了解了哪些平面图形可以密铺，哪些平面图形不能密铺，并能尝试设计简单的密铺图案。通过本课时的学习，学生经历观察、猜想、验证、得出结论的学习过程，探究“平面图形密铺与角的关系”，在研究的过程中落实数学核心素养中的关键能力：抽象思维、推理思维、空间观念；数学品质中的思维严谨（有理有据、思维缜密）、数学品格（独立思考、勇于质疑、探索创新）。3.学情分析学生已经学习了密铺的概念，能通过平移、旋转等操作进行简单的密铺，具备了简单平面图形密铺的活动经验。四年级学生积累了一些用多边形的知识解决问题的经验，具备用语言表达简单推理的能力。通过课前前测，发现学生学习本节课的障碍是⑴因为年龄特点，推理过程有时表现为不够严谨，语言不够简练。⑵用数学语言表述生活问题的能力、归纳能力、推理能力部分同学有待提高。【教学目标】（1）通过探索“多边形密铺公共顶点处所有角的和是360”，建立多边形密铺的数学模型，并能用这一模型解决实际问题，在探究过程中强化三边形内角和及有关几何事实的应用。（2）学生经历从特殊到一般的学习过程，在这一过程中，养成有理有据、思维严谨和勇于质疑的学习品格，进一步发展学生的推理能力，培养学生创新精神、团结协作精神。（3）使学生感受数学与生活的密切联系，学会用数学的眼光发现、用数学语言表达生活中的现象。【教学重点】探究多边形密铺时，公共顶点处所有角的度数和。【教学难点】运用多边形的有关知识，解决不规则三角形、不规则四边形密铺的问题【评价设计】1.在“情景导入”环节、“实践应用”环节，学生感受数学与生活的紧密联系，学会用数学眼光发现问题。达成教学目标3。评价方式：在全班交流时倾听。2.在“合作探究”环节，学生经历从简单到复杂，从特殊到一般的探究过程，尝试用数学语言表达生活现象，发展学生的抽象能力，合情推理能力，达成教学目标2评价方式：教师在学生展讲时深入倾听，学生讨论时教师巡视查看。3.在“实践应用”环节，学生尝试用“多边形密铺公共顶点处所有角的和是360度”来解决问题。达成教学目标1评价方式：在全班交流时倾听。【课前准备】学生用学过的正方形、长方形、平行四边形、梯形、不规则三角形、不规则四边形、圆形、正五边形、正六边形进行充分的操作，熟练掌握那些能密铺图形和不能密铺图形。【教学过程】一、复习导入课件呈现密铺操作图片，回顾梳理密铺相关知识，按照图形能否密铺进行分类，根据分类信息提出问题：为什么有的图形能密铺，有的图形不能密铺？【设计意图：情景导入，唤醒学生的知识经验，为后面探索平面图形密铺条件做好知识准备。为学生提供观察、比较的机会，让学生有足够的时间去独立思考，发现新问题，养成独立自主思考问题的习惯。在梳理的过程中，养成反思的意识习惯。】二、合作探究（一）初步猜想密铺与图形哪些因素有关教师先引导学生猜想平面图形能否密铺可能与图形的什么有关。然后学生基于个体经验猜想平面图形能否单独密铺可能与边数、边长、角的大小有关。教师肯定学生的猜想，然后引导学生重点探究平面图形密铺与平面图形角的关系。【设计意图：平面图形密铺的条件学生个人会有说不清，道不明感觉，让学生猜想它可能与图形的什么有关，先让学生头脑中模糊的感觉在数学中具体的“边”、“角”上“落地”。】（二）提供素材，按照从特殊到一般的方法探究多边形密铺时与角的关系。1.多边形单独密铺（1）正方形、长方形、等边三角形单独密铺借助探究单（一），小组合作.合作要求：探究图形单独密铺时，公共顶点处，拼接在一起的各个角的和是（）度。各小组自主选择图形通过计算得出：公共顶点处每个角的度数和。各小组展示交流图（3）预设：0处有两个直角和一个平角，所以公共顶点0处，所有角的和是90×2+180=360度。图（4）预设：公共顶点0处，所有角的和是60×6=360度。教师提问：为什么每个角的度数是60度？预设：三角形内角和是180度，等边三角形每个角相等，所以用180÷3=360各个小组得出共同的结论：探究图形单独密铺时，公共顶点处，拼接在一起的所有角的和是360度。（2）不规则三角形，不规则四边形单独密铺探究不规则三角形、不规则四边形单独密铺是否也存在“公共顶点处，拼接在一起的所有角的和也是360度”小组合作，利用多边形的相关知识通过推理计算得出：公共顶点处每个角的度数和。小组展示交流。预设组1：不规则三角形密铺，三条直线经过O，一条直线，在O点可以看作两个平角，一个平角是180度，∠1+∠2+∠3=180度，两个180度是360度。预设组2：O点处由两个∠1、两个∠2、两个∠3拼成的，∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角，所以∠1+∠2+∠3=180度，所以（∠1+∠2+∠3）×2=360度教师提出问题：在说明∠1+∠2+∠3=180度，哪种方法严谨？预设:根据三角形内角和是180度说明∠1+∠2+∠3=180度严谨，因为那里是“拼”出来的，看着像直线，不能就认为是直线”。得出共同的结论：不规则三角形，不规则四边形单独密铺时，公共顶点处，拼接在一起的所有角的和是360度。【设计意图：小组合作，在“你说我辩”中逐渐辨析问题的本质，达到拨开迷雾见天日的效果，探究“拼接在一起的所有角的和是360度。”这个环节的设计培养了学生有理有据、思维缜密的思考问题的习惯，锻炼了学生的数学语言表达能力，拓宽发展学生推理能力的空间。】2．多边形组合密铺多边形单独密铺时，在公共顶点处，拼接在一起的各个角的和是360度。那多边形组合密铺，是否也满足这样的规律，利用自主探究单，独立完成。学生通过计算得出结论：公共顶点处，拼接在一起的所有角的和是360度。（三）归纳结论，引导学生反思：为什么密铺时，公共顶点处，所有角的和都是360度？预设1：因为公共顶点处，可以看作一个周角，密铺刚好把这个周角铺满，所以公共顶点处，拼接在一起的所有角的和是360度。预设2：如果不是360度，就会出现重叠和有空隙的情况，小于360度，会有空隙；大于360度，会重叠。正五边形（每个角是108度）为什么不能密铺？预设：公共顶点处，如果有三个角108×3=324度，会出现空隙。如果铺4个就是108×4=432度。所以正五边形不能密铺。三、回顾梳理引导学生对本节课所学知识和方法进行梳理。【设计意图：通过对这节课的知识和方法的梳理，促使学生养成回顾反思的习惯，提升活动价值。】四、实践应用1.如果只用正六边形作平面密铺，而且在每一个正六边形的公共顶点周围都有3个正六边形，则正六边形的每个角度数为()度A.120B.90C.60D.452.小明的妈妈决定用一幅美丽的图案铺玄关地板，这幅图案在某个顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形．那么另外一个为（）。

A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【设计意图：这一环节的设计，鼓励学生运用图形密铺的特点进行设计，使学生进一步加深对图形密铺的认识，发展空间想象力。学生在这一过程中，把学过的知识运用于实践，培养学生实践精神、创新精神，获得了成功的体验，增强了学习数学的自信心。】五．课后延伸1．从正三角形、正四边形、正六边形中任选两种图形设计密铺图案．我的设计方案：（1）你选择的两种图形是（）和（）（2）这两种图形的个数分别是（）个（），（）个（）。（3）我设计的图案是：附：数学源于生活。数学就在我们身边。有关图形密铺的知识还有很多。老师制作了一个小微课“你知道吗”已经发至班级空间，欢迎同学们欣赏。相信当你欣赏结束，你会发现：数学很奇妙，我要好好学数学!【设计意图：通过知识的拓展与延伸，进一步丰富学生对密铺的认识，起到课止思考不止的作用效果。】板书设计图形密铺的再探究角特殊一般在公共顶点处拼接在一起的各个角的和是360度《图形密铺的再探究》学情分析【知识基础】前测题设计意图1.了解学生对“密铺的定义”“多边形单独密铺”和“多边形相关几何知识”的掌握情况。2.了解学生的推理能力发展水平。前测样本（1）能单独密铺的图形有（）,不能单独密铺的图形有（）。（只填序号）A正方形B长方形C平行四边形D梯形E直角三角形F等边三角形G正六边形H正五边形I不规则三角形J不规则四边形K圆形（2）三角形的内角和是（）度（3）等边三角形每个角的度数是（）度，为什么？。（4）你能根据三角形的内角和是180度，发现不规则四边形的所有角的和是（）度。前测结果及分析通过前测，发现91.1%的同学能准确填写能单独密铺图形和不能单独密铺图形，对于“三角形内角和是180度“”，100%的同学能够做对，87.4%的同学能够通过推理得出“等边三角形的每个角是60度”，15%的同学根据三角形的内角和发现“不规则四边形的所有角的和是360度”没有做对的同学通过其他同学的讲解也能快速掌握。合适读书合适有了相应的知识储备。所以可以运用旧知进行迁移，认识图形，掌握特性。由此看来在新旧知识间搭建桥梁，采取由特殊到一般的策略能够引导学生通过合作探究、自主探究，发现“密铺时，拼接在一起的所有角的和是360度”，给学生充足的时间进行合作探究、自主探究，通过展讲，充分展示学生的思考过程，培养学生严谨、有理有据、勇于质疑的思维品质是本节课教师的重要任务。【年龄特点】四年级学生积累了一些用多边形的知识解决问题的经验，具备用语言表达简单推理的能力。但因为年龄特点，推理过程有时表现为不够严谨，语言不够简练。【思维特点】四年级是学生数学推理能力发展的关键时期，大部分小学生在四年级达到较高水平，在四年级进行数学推理能力的强化培养，会在一定程度上提高学生的数学推理能力。【突破策略】1.采用从简单到复杂和分类研究的学习策略。（1）先从正方形、长方形、等边三角形等特殊四边形、特殊三角形开始研究，然后再研究不规则三角形，不规则四边形。（2）先研究多边形单独密铺，又研究了多边形组合密铺。2.自主探索、合作交流有机结合。教学中我尽量做到：问题由学生提，算法让学生想，道理让学生讲，疑难让学生研讨。教师只起组织、引导、合作的作用，真正让学生成为数学学习的主人。《图形密铺的再探究》教学效果分析【试题结构特点】这份试题考查的内容包括知识点（第1、2题）和应用（第3题）两种类型。其中意义部分占50％，应用部分占50％。从难度值分析，简单题占25％，中等题占25％，拓展拔高占50％，题目数量适中，难易适中。【试题检测情况分析】1.填一填如果只用正六边形作平面密铺，而且在每一个正六边形的公共顶点周围都有3个正六边形，则正六边形的每个角度数为()度。从检测结果来看，第一题学生掌握得很好，正确率达到97.5%，可以看出学生“多边形单独密铺角的规律”这一知识点掌握的非常好。2.选一选在公共顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形。那么另外一个图形是（）。

A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形第二题，正确率为82.5%，只有个别同学出错.原因有两个：一是正三角形、正四边形的命名让个别孩子陌生，影响了学生思考，计算无从下手，出现错误。另一方面是因为不能灵活运用，不能离开图形的支撑进行运算。3.填一填、画一画从边长相等的正三角形、正四边形、正六边形中任选两种图形设计密铺图案。我的设计方案：（1）你选择的两种图形是（）和（）（2）这两种图形的个数分别是（）个（），（）个（）。（3）我设计的图案是：第三题第一问对题率达75%，出错的原因：依赖几何直观，没有建立多边形密铺时，公共顶点处，几个角之间的关系模型，不能够用模型解决实际问题。通过后测，说明本节课教学目标达成度较高，学生基本能灵活运用所学知识解决问题，但也有个别学生思维还依赖几何直观，没有在头脑中建立密铺的算式表达模型，并灵活运用模型解决问题。《图形密铺的再探究》教材分析【教材知识逻辑体系】本单元是在学生学习了长方形、正方形和角的特征的基础上进行学习的,是今后步学习几何初步知识的基础。三角形、平行四边形、梯形的知识是图形与几何领域中的重要内容,在日常生活中有着广泛的应用。学生们在生活中会经常接触到这些图形，他们对这些图形已经有了较多的感知经验,只是这些经验是感性的,需要进一步抽象化形成简单的几何概念,发展空间观念,这对学生形成观察能力和空间观念非常重要。本单元的学习主要就是帮助学生在原有直观经验的基础上进行抽象,积累丰富的感性认识,为今后学习“图形与几何”的知识打下坚实的基础。在研究的过程中，让学生在观察、操作、归纳、类比、猜测、交流及反思中获得基本的知识和技能，发展抽象思维、归纳能力、推理能力等。【教材编写体系和编写意图】本单元在探索新知的过程中强化知识之间的内在联系，渗透了学习数学知识的一般思路和方法。比如学习平行四边形的特征时,教材提示“可以从边和角两方面来研究，提示了研究问题的基本思路。在学习三角形的特征时,除了与平行四边形相比较外,还与五边形等图形相比较。这样编排沟通了图形间的联系,加深了学生对概念本质的理解。【教学资源的取舍】对《图形的密铺》这一教学内容我们是这样理解的：第一课时重点是通过观察生活中的密铺图案认识密铺,通过操作了解哪些图形可以进行密铺,哪些不能密铺，并在研究的过程中提升学生观察、猜测、验证、推理和交流的能力,发展空间观念。在第一课时的回顾反思中,引导学生及时总结评价,并激起继续研究的愿望。通过回顾反思,学生会进一步感受密铺的神奇与有趣。“为什么四边形可以密铺,而五边形不能密铺”,这一问题的提出进一步激发学生继续研究的愿望，引入本节课的学习。边数≥5的正多边形每个角的度数需用到多边形内角和相关知识，如果都放在这节课研究，会大大增加学生学习难度，所以教师直接告知正五边形每个角是108度，正六边形每个角的度数是120度，当边数≥7时，本节课不做研究，因而也不能用极限思想解释圆为什么不能密铺，因而确定本节课的课题是《图形密铺的再探究》。本课时通过探究“多边形密铺时，公共顶点处所有角的和是360度”这一规律，引导学生体会研究问题的方法：从特殊到一般，建构多边形密铺的数学模型，在沟通数学知识的联系的过程中，培养有理有据、思维严谨，勇于质疑的思维品质，发展数学推理能力。【教学内容重难点】依据课标要求、教材编写意图级学生的认知水平，本节课拟定以下教学目标：（1）通过探索多边形密铺时，公共顶点处所有角的和是360这一知识载体，建立多边形密铺的数学模型，并能用模型解决实际问题，在探究过程中强化三边形内角和及有关几何事实的应用。（2）学生经历从特殊到一般的学习过程，在这一过程中，养成有理有据、思维严谨和勇于质疑的学习品格，进一步发展学生的推理能力。（3）使学生感受数学与生活的密切联系，学会用数学的眼光发现、用数学语言表达生活中的现象，培养学生实践精神、创新精神、团结协作精神。教学重点是探究多边形密铺时，公共顶点处所有角的度数和，建立多边形密铺的数学模型。教学难点是运用多边形的有关知识，解决“不规则三角形、不规则四边形密铺时，公共顶点处为什么是360度”的问题《图形密铺的再探究》教前评测练习【设计意图】1.了解学生对“密铺的定义”“多边形单独密铺”和“多边形相关几何知识”的掌握情况。2.了解学生的推理能力发展水平。【前测习题】（1）能单独密铺的图形有（）,不能单独密铺的图形有（）。（只填序号）A正方形B长方形C平行四边形D梯形E直角三角形F等边三角形G正六边形H正五边形I不规则三角形J不规则四边形K圆形（2）三角形的内角和是（）度（3）等边三角形每个角的度数是（）度，为什么？。（4）你能根据三角形的内角和是180度，发现不规则四边形的所有角的和是（）度。《多边形的密铺》教后评测练习【设计意图】为能及时了解学生对本节课的学习情况，依据本节课的教学重点及难点，设计符合如下题目。能力要求题号题型分数难度系数

认知水平

了解理解掌握灵活运用掌握多边形密铺角的规律1填一填100.5

√

掌握多边形密铺角的规律2算一算10０.７

√灵活运用密铺时角的规律，凑数、试填、修正，自我反思3填一填画一画10１

√√

√【后测习题】1.填一填如果只用正六边形作平面密铺，而且在每一个正六边形的公共顶点周围都有3个正六边形，则正六边形的每个角度数为()度。2.选一选在公共顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形。那么另外一个图形是（）。

A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形3.填一填、画一画从边长相等的正三角形、正四边形、正六边形中任选两种图形设计密铺图案。我的设计方案：（1）你选择的两种图形是（）和（）（2）这两种图形的个数分别是（）个（），（）个（）。（3）我设计的图案是：《图形密铺的再探究》教学反思主要亮点一、尊重学情，使学生学懂《课标解读》中强调“在数学内容的选择上,既要关注遵循数学知识的逻辑关系与结构,也要有利于学生的理解,为学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动提供适宜的学习素材。通过多样化的活动，发展合情推理和演绎推理能力，清晰表达自己的观点。”虽然“为什么有的多边形可以密铺，有的多边形不能密铺”，第二学段中并没有相应的课时安排，但是它对培养小学生独立思考、有理有据、思维缜密、勇于质疑的思维品质等有着积极的作用。但是执教者也没有仅仅因为文本的教育价值而不顾学情“硬”塞给学生，而是在充分分析学情，关注学生的学习起点的基础上，把问题的难易程度与学生的接受水平结合起来进行教学设计。为了引导学生主动发现新问题，老师在课前让学生充分操作，上课伊始，引领学生对能密铺图形和不能密铺图形进行分类，学生根据分类信息自然想到问题：为什么有的多边形能密铺，有的多边形不能密铺？。但是这个问