【八年级下册数学湘教版】第二章 四边形（压轴题专练）

第二章四边形（压轴题专练）一、选择题1．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G是，，的中点．下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（

）

A． B． C． D．25．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，则且；（3）的面积为18，且被直线平分；（4）若连接，则四边形的面积为90．其中正确的说法个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）如图，正方形中，点P为D上一点，线段的垂直平分线交于点N，点M垂足，交两边于点E、F，连接，则下列结论：①；②；③为常数；④，其中正确的结论个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023上·广东深圳·九年级坪山中学校联考阶段练习）如图，在正方形中，点为延长线上任一点，连接．过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（

）A．①②③ B．①② C．②③ D．①9．（2023下·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①；②；③连接，则；④；正确的结论为（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③11．（2023下·重庆开州·八年级校考期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．412．（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④13．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，在正方形纸片中，点为正方形边上的一点（不与点，点重合），将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接、，交于点下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．414．（2023下·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：①；②；③若平分，则；④；⑤四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空题15．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是_________．16．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图为边长为的正方形，点是边上的动点（点不与点，重合），连续，过点作交延长线于点，连接，点为的中点，连接和，当时，的长为_____．17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点P是上一点，连接与，若，则的最小值是________．

18．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边向外作正方形，点H是的中点，连接，则的最小值为_________．

19．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为_____．三、解答题20．（2023·湖南株洲·校联考三模）四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F．(1)如图1，若点F在边上，求证：；(2)以为邻边作矩形，连接．①如图2，若，求的长度；②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．21．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）【问题背景】如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处．【问题探究】（1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G．①求的值，并说明点M是的中点；②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值．22．（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，E，F分别在直线，上，且，连接．

(1)当E，F分别在边，上时，如图1．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；(2)当E，F分别在，的延长线上时，如图2．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．23．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）在矩形中，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点的对应点分别为点、点、点．(1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为______．(2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，①求证：②线段的长度为______．(3)如图③，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为______．24．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧．【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明．（2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积；（3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系．25．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）数学实验：对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．变式拓展：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕、线段．提出问题：（2）已知，求的长．（3）若点是线段上一动点，当周长最小时，________．26．（2023上·四川成都·八年级校考期中）在矩形中，．(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．27．（2024上·重庆丰都·九年级统考期末）如图，已知菱形边长为，，是对角线，把一个含（的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺（的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角尺绕点按逆时针方向旋转（旋转角小于）．旋转过程中三角尺的两边与菱形的两边、相交于点、．

(1)、有何数量关系，并证明你的结论．(2)连接，求面积的最大值．(3)连接，在旋转过程中三角尺的两边分别与相交于点、，是否存在以、、为边的直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．28．（2023上·山东青岛·九年级期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且．应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O．（1）求证：和是“友好三角形”；（2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积．探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积．29．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）取一张矩形纸片，E为边上一动点，将沿直线折叠得．

(1)如图1，连接，，，当时，试判断的形状；(2)如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；(3)如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接CH，试探究线段与CH的数量关系．

第二章四边形（压轴题专练）答案全解全析一、选择题1．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G是，，的中点．下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设和的交点为点P，根据三角形中位线定理可得，且，然后根据平行四边形的性质可得，可证得，故②正确；再证明△AGP△EFP，可得垂直平分，从而得到，故①正确；再根据等腰三角形的性质，可得平分，故④正确；可证得四边形为平行四边形，而无法得到四边形为菱形，故③错误；即可求解．【详解】解：设和的交点为点P，如图，∵E、F分别是，的中点，∴，且，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，∴，∵点G为的中点，∴，在和中，，∴，故②正确；∴，∴，∵，，∴，点O为平行四边形对角线交点，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∵E为中点，∴，∴，∴垂直平分，∴，故①正确；∴平分，故④正确；∵，，∴四边形为平行四边形，而无法得到四边形为菱形，故③错误；故选：C．2．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据SAS证明可判断①；根据全等三角形的性质和互余可判断②；以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，证明四边形是平行四边形可判断③；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．先证明，再结合三线合一证明，然后证明，利用勾股定理求出的值，证明求出的值，进而求出的面积可判断④．【详解】解：①∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，故①正确；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故②正确；③如图，以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，故③正确；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．∵，∴，，∵，∴，∵，∴．由等腰三角形三线合一知，，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，故④正确．故选D．3．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】解：①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H，先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④．【详解】解：①∵四边形为正方形，，∴，∴，，设，在中，，在中，，∴，故①正确，符合题意；②过点C作于点H，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，故②正确，符合题意；③连接，∵，∴，∴，∴，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正确，符合题意；④过点E作于点N，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴点N为中点，则，∵，∴，∵点为中点，∴，∴，∴四边形的面积，故④不正确，不符合题意，综上：正确的有①②③，故选：A．4．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是．【详解】解：连接，如图，

沿翻折至，，，，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，四边形是矩形，，，，，长度的最小值，设，则，，，，，解得，，的面积是，故选：．5．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，则且；（3）的面积为18，且被直线平分；（4）若连接，则四边形的面积为90．其中正确的说法个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方形的性质可得，再由，，即可判断（1）；证明即可得到，再根据角之间的关系可得，即可判断（2）；作交于，交于，证明，，，得到三角形之间的面积关系，即可判断（3）；作交于，交于，则，证明，，得到三角形之间的面积关系，再由，进行计算即可得到答案．【详解】解：四边形和都是正方形，，，，，，，故（1）正确，符合题意；在和中，，，，，如图，令和交于点，和交于点，，，，，，，，故（2）正确，符合题意；作交于，交于，四边形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，，故（3）正确，符合题意；作交于，交于，则，四边形为梯形，同理证得：，，，，，，，，，故（4）正确，符合题意；综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个，故选：D．6．（2023下·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）如图，正方形中，点P为D上一点，线段的垂直平分线交于点N，点M垂足，交两边于点E、F，连接，则下列结论：①；②；③为常数；④，其中正确的结论个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】证明四边形是平行四边形，可得，再由垂直平分，可证，从而证明，即可判断①；过点N作，延长交于点G，连接，，根据矩形的判定与性质可得，，利用勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而证明，可得，再根据等腰三角形的判定与性质可得，即可判断②；延长到点T，使，证明，从而可证是等腰直角三角形，可得，即可判断③；设与交于点O，由，，即可判断④．解：①作，交于Q．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，故①正确；

②过点N作，延长交于点G，连接，，又∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵垂直平分，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，故②正确；③延长到点T，使，∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，故③正确；设与交于点O，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故④正确．故选：D．7．（2023上·广东深圳·九年级坪山中学校联考阶段练习）如图，在正方形中，点为延长线上任一点，连接．过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．其中正确的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】在上取一点，使，连接，证明，可得，，有，进而可得四边形是平行四边形，，可判断（1）正确；连接，证明四边形是平行四边形，得，，可得，可判断（3）错误；连接交于，可证明得，从而判断（2）错误；设，，则，可得，，若，则，即可得，可以判断（4）正确，从而得到答案．【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，故（1）正确；连接，

由（1）知：，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，即，，，故（3）错误；连接交于，四边形是正方形，，，，，，，，即，故（2）错误；设，，则，，，，，，若，则，，即，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）、（4），共2个，故选：B．8．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（

）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①【答案】A【分析】设交于K，由及将绕点B按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确．【详解】解：设交于K，如图：

∵四边形是正方形，∴，∴，∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；∵将绕点B按顺时针方向旋转，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，故②正确；如图，过点D作于H，

∵，，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵将绕点B按顺时针方向旋转，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．9．（2023下·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④．【详解】解：是正方形的对角线，，，∵，∴，四边形是矩形，，，，故①正确，，，，又是的中点，，，，，在和中，，，，又，，，，故②正确，∵，，在和中，，∴，故③正确；∵，，为等腰直角三角形，，，，过点作于点，如图所示：设，则，，，，，则，，，故④正确；故选：D．

10．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①；②；③连接，则；④；正确的结论为（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③【答案】C【分析】①过点作于点，求出，证明，然后可得，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；②由三角形中位线定理知，，，然后可得结论；③先证，由点是的中点，得，，从而得，进而即可判断③错误；④根据四边形是正方形，是的平分线可求出，进而得到，再由是中点，可得，求出即可得出结论．【详解】解：①过点作于点，则，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，,∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴（），∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴是的中位线，∴，故①正确；②∵点为正方形的中心，，，∴，∵是的中位线，,∴,,∴,∴，∴，故②正确；③如图，

∵，∴，∵点是的中点，∴，∵，,∴，∵，∴，故③错误；④∵四边形是正方形，是的平分线，∴，∵，∴，∵是中点，∴，∴，∴，故④正确；故选：C．11．（2023下·重庆开州·八年级校考期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，故①正确；，，，，在的垂直平分线上，在和中，，，，点在的垂直平分线上，垂直且平分，故②正确；平分，，，，又，不可能是等边三角形，，错误；故③错误；，，，，，，故④错误；，，为等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，故⑤正确．故选：C．12．（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④【答案】A【分析】①取的中点G，连接，可证得是等边三角形，推出，利用勾股定理可得，根据平行四边形性质可得，可判断①正确；②由题意得，即，根据平行四边形性质可得，利用等腰三角形性质可得，可判断②正确；③过点E作，交的延长线于H，设，则，利用直角三角形性质和勾股定理可得：，，由勾股定理可得，求得，可得，再由勾股定理可得，得出，可判断③错误；④由于，可判断④错误．【详解】解：①如图，取的中点G，连接，则，

∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，故①正确；②∵的周长等于周长的一半，周长的一半，的周长，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，即，故②正确；③如图，过点E作，交的延长线于H，则，设，则，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，解得：，∴，，而，∴，∵，，，∴，故③错误；∵，∴，故④错误；综上所述，说法正确的是①②．故选：A．13．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，在正方形纸片中，点为正方形边上的一点（不与点，点重合），将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接、，交于点下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据翻折不变性可知∶，即可判断①正确；过点作于．设交于，证明，可以判断②正确；根据翻折的性质证明，可以判断③正确；根据与不全等，可得，进而可以判断④错误；过点作于点，证明，可得，，再证明，得，进而可以判断⑤正确．【详解】解∶根据翻折不变性可知∶，∴是等腰三角形，故①正确；如图，过点作于，交于，设交于．

∵，∴四边形是矩形，∴，由折叠可知∶，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故②正确；∵，∴，由折叠可知∶，∴，∵，∴，∴平分，故③正确；∵，∴，∵与不全等，∴，故④错误；如图，过点作于点，．

∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故⑤正确．综上所述∶结论正确的有∶①②③⑤，共4个．故选∶D．14．（2023下·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：①；②；③若平分，则；④；⑤四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】B【分析】先证明，可得，再证明，可判断①；可得，，则，可判断②；设正方形的边长为，则，记到的距离为，证明，，从而可判断③；显然随位置的变化而变化，的长度是变化的，而是不变的，可判断故④不符合题意；证明，可得，从而可判断⑤.【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，故①符合题意；∴，∴，∴，即，故②符合题意；设正方形的边长为，则，记到的距离为，∵平分，∴，∴，∴；故③符合题意；显然随位置的变化而变化，∴的长度是变化的，而是不变的，∴，故④不符合题意；同理可得：，∴，∵，∴.故⑤符合题意；故符合题意的有①②③⑤；故选B二、填空题15．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是_________．【答案】【分析】由中位线定理可得点的运动轨迹是线段，再由垂线段最短可得当时，取得最小值，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，由勾股定理求出、、的长，由三角形中位线定理得出的长，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结果．【详解】解：当点与点重合时，点在处，，当点与点重合时，点在处，，且，当点在上除点、的位置处时，有，由中位线定理可知：且，点的运动轨迹是线段，如图所示，当时，取得最小值，四边形是矩形，，，，，为的中点，，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，，．故答案为：．16．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图为边长为的正方形，点是边上的动点（点不与点，重合），连续，过点作交延长线于点，连接，点为的中点，连接和，当时，的长为_____．【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，根据正方形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，求得，推出，，三点共线，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论，正确地作出辅助线是解题的关键.【详解】连接，，过作于，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴，在与中，，∴，∴，同理，∴，∴，，三点共线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点P是上一点，连接与，若，则的最小值是________．

【答案】【分析】连接，在上取一点，使，连接，，过点作于点E，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出，的最小值是的长，再由勾股定理求解即可．【详解】解：连接，在上取一点，使，连接，，过点作于点E，

∵四边形是正方形，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值是的长，在中，，，∴，∵，∴，在中，，∴的最小值是，故答案为：．18．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边向外作正方形，点H是的中点，连接，则的最小值为_________．

【答案】１【分析】由，推出，连接，容易证明，推出，当E点位于C点时，G点位于的延长线处，进而推出G点在这条线段上运动，再由点到直线的距离垂线段最短知，过H向作垂线，得到的最小值．【详解】解：连接，如下图所示：

，，，在△ADE和中，，，，当E点位于C点时，G点位于处，当E点位于A点时，G点位于C处，故E点在上运动时，G点在上运动，故由点到直线的距离垂线段最短可知：过H点作时，此时最小，又H是的中点，又，，故答案为：1．19．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质等知识，取的中点，的中点，连接，，，，通过证明，得，在中，利用三边关系即可求解，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.【详解】如图，取的中点，的中点，连接，，，，则，，，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，连接，由勾股定理得：，∴，∴的最小值为，故答案为：．三、解答题20．（2023·湖南株洲·校联考三模）四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F．(1)如图1，若点F在边上，求证：；(2)以为邻边作矩形，连接．①如图2，若，求的长度；②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②或【分析】（1）连接，由正方形的对称性得，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得；（2）①证明得，求出的长度便可；②分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．【详解】（1）证明：连接，如图，∵四边形是正方形，∴，∵四边形是正方形，，（2）解：①∵四边形为矩形，，∴四边形为正方形，∴，∵四边形为正方形，∵②当时，如图，∵当时，如图，∵，综上，或．21．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）【问题背景】如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处．【问题探究】（1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G．①求的值，并说明点M是的中点；②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值．【答案】（1）①见解析；②．理由见解析；（2）的最小值为．【分析】(1)①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证．②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可．(2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可．【详解】（1）①在正方形中，，，，，，．，，即点是的中点．②．理由：如图2，连接交于点，由折叠可知垂直平分，即点是的中点，点是的中点，是的中位线，，即．（2）如图3，在上截取，连接、，，，，，当、、三点共线时，取得最小值，．的最小值为．22．（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，E，F分别在直线，上，且，连接．

(1)当E，F分别在边，上时，如图1．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；(2)当E，F分别在，的延长线上时，如图2．试探究线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了线段和差问题及正方形的性质；关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，并熟练运用全等三角形的判定方法．（1）如图1，将绕点C逆时针旋转后，得到，根据正方形的性质，去证明，从而得出，，之间的数量关系；（2）如图2，把绕点C逆时针旋转后，得到，根据正方形的性质，去证明，从而得出，，之间的数量关系．【详解】（1）解：如图1，将绕点C逆时针旋转后，得到，

由旋转可得，，，点E，B，G在同一直线上，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴,∴，∵，∴．（2）如图2，把绕点C逆时针旋转后，得到，

由旋转可得，，，点A，G，B在同一直线上，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．23．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）在矩形中，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点的对应点分别为点、点、点．(1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为______．(2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，①求证：②线段的长度为______．(3)如图③，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为______．【答案】(1)(2)①见解析，②(3)【分析】（1）如图①中，在中，利用勾股定理即可解决问题；（2）①证明：如图②中，根据即可证明；②如图②中，由，推出，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；（3）存在．连接，作于M．当与共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案．【详解】（1）解：如图①中，∵四边形是矩形，，∵矩形是由矩形旋转得到，，在中，，，故答案为：．（2）①证明：如图②中，∵当点E落在线段上，，在和中，，；②如图②中，，，，设，在中，，，，，故答案为：．（3）解：如图③中，连接，作于M．当与共线，且时，面积最大，由题意：，，，，，则，的面积的最大值为，故答案为：．24．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧．【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明．（2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积；（3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）本题根据方法前置将△ADE绕点逆时针旋转90°到△CDM的位置，得到，，再利用正方形的性质和全等三角形的性质，证明，得到，再结合线段的和差，即可解题．（2）本题根据正方形的性质得到，，由推出，设则，，在中，利用勾股定理，求出，最后利用，即可解题．（3）本题根据（1）中可得方法将△ADE绕点逆时针旋转90°到的位置，连接，同理可证得，，得到线段，，最后利用勾股定理即可解题．【详解】（1）解：根据方法前置将△ADE绕点逆时针旋转90°到△CDM的位置，如图所示：由旋转的性质可知，，，，，，，，，，，．（2）解：正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．，∠B=90°，，，设，则，，在中，有，解得，，，又（），儿童活动区的面积为（3）解：、和之间的数量关系为，理由如下：将△ADE绕点逆时针旋转90°到的位置，连接，如图所示：由（1）同理可证得，，，，，四边形是正方形，为其对角线，，，，，．25．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）数学实验：对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．变式拓展：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕、线段．提出问题：（2）已知，求的长．（3）若点是线段上一动点，当周长最小时，________．【答案】（1）．（2）．（3）．【分析】（1）根据翻折的性质、等边三角形的判定和性质证明即可；（2）由折叠可知：，，再证明四边形是矩形，可得，，根据勾股定理列出等式即可求出．（3）由垂直平分，可得，即，当、、三点共线时，最小，此时周长最小，再证明，得出，即可求得答案．【详解】解：（1）猜想：，理由如下：如图，连接，四边形是矩形，，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，垂直平分，，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，，，，是等边三角形，，，，．（2）如图2，由折叠可知：，，，四边形是矩形，，，，，，，由折叠可知：，，在中，根据勾股定理得：，，．（3）如图3，连接，由（2）知：垂直平分，，，当、、三点共线时，最小，此时周长最小，在和中，，，，，故答案为：．26．（2023上·四川成都·八年级校考期中）在矩形中，．(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解答(2)的长是，OF的长是(3)的最大值为6，最小值为【分析】（1）由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则；（2）连接、，由，得，则，因为垂直平分，所以，由勾股定理得，求得，则，由，求得，而，则；（3）当点与点重合时，的值最小，由垂直平分，得，则，所以；当点与点重合时，的值最大，此时，所以的最大值为6，最小值为．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，由折叠得，（2）解：如图②，连接、，∵，由折叠得点与点关于直线对称，垂直平分解得，解得，∴的长是，的长是．（3）解：如图③，当点与点重合时，的值最小，∵点与点关于直线对称，∴垂直平分，；如图④，当点与点重合时，的值最大，且∴的最大值为6，最小值为．27．（2024上·重庆丰都·九年级统考期末）如图，已知菱形边长为，，是对角线，把一个含（的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺（的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角尺绕点按逆时针方向旋转（旋转角小于）．旋转过程中三角尺的两边与菱形的两边、相交于点、．

(1)、有何数量关系，并证明你的结论．(2)连接，求面积的最大值．(3)连接，在旋转过程中三角尺的两边分别与相交于点、，是否存在以、、为边的直角